俞 鋒，許 賢，羅堯治

(浙江大學空間結構研究中心，浙江，杭州 310058)

剪式鉸機構最早由西班牙建筑師Pinero[1]提出，組成剪式鉸機構的剪式鉸單元由兩根桿件通過中部的轉動副連接而成。剪式鉸機構具有一個內(nèi)部轉動自由度，其形態(tài)改變易于控制，為可展結構的一個重要分支，常被用于移動帳篷、衛(wèi)星天線、血管支撐架等小微型結構中。此類結構重點關注機構的展開形狀和可動性，對機構的承載能力要求不高。現(xiàn)有文獻對剪式鉸機構的研究主要集中在幾何構造和運動特性上。文獻[2 - 3]分別給出了平面開環(huán)型剪式鉸機構和空間網(wǎng)格剪式鉸機構的設計方法。文獻[4 - 5]論述了平面閉環(huán)型剪式鉸機構的可動性。文獻[6 - 7]研究了平面閉環(huán)型剪式鉸機構的運動軌跡和運動奇異性。用平板代替平面閉環(huán)型剪式鉸機構中的組成桿件可得到一類板式可展結構，文獻[8 - 10]給出了板面設計方法使設計得到的板式可展結構在開合過程中滿足幾何相容性。

將剪式鉸機構作為建筑結構主要承重構件的工程應用較少，相應剪式鉸機構的力學性能研究也不多。文獻[11]利用剪式鉸單元的運動特性將剪式鉸機構應用于預應力索拱開合結構中。文獻[12]在幾何線性假定下推導了直線排列剪式鉸柱的抗壓和抗彎剛度。采用該抗壓和抗彎剛度，文獻[13]將剪式鉸柱等效成由彎曲剛度無限大的桿和桿間彈簧連接而成的分段柱，并給出了分段柱抗壓屈曲承載力的計算方法。采用類似的等效方法，文獻[14]研究了考慮自重的剪式鉸柱的抗壓屈曲承載力。圖1 為剪式鉸柱受壓變形及受力分析圖，隨組成剪式鉸單元數(shù)量的增加，剪式鉸柱的受力變形存在較強幾何非線性(圖1(b))：一方面，豎向力向下傳遞過程中，下部單元需為相連的上部單元提供水平約束力，且該水平約束力會不斷累加(圖1(a))，致使下部桿件彎曲變形變大；另一方面，下部桿件的彎曲變形會進一步加劇上部單元的轉動變形。

圖 1 剪式鉸柱受壓變形分析Fig. 1 Compression deformation analysis of scissor column

文獻[15]對剪式鉸柱的受壓變形進行了幾何非線性分析，結果表明：柱的軸向變形主要來自剪式鉸單元的內(nèi)部轉動，并且提出可以通過增加橫桿的方式減小柱軸向變形(圖1(c))?？梢娂羰姐q單元的內(nèi)部轉動特性極大消減了成形后的結構剛度，并會在結構內(nèi)部增加垂直力傳播路徑上的內(nèi)力，且該增加內(nèi)力會向支座附近的桿件累積。增加橫桿約束可提高柱的軸向剛度，但會破壞剪式鉸機構的可展性。

實際應用中，常在相鄰剪式鉸單元之間設置伸縮桿來強化剪式鉸機構。如在剪式鉸單元構成的升降機中，通過調(diào)整伸縮桿的長度來控制剪式鉸機構的運動，并利用伸縮桿的約束來提高成形后的剪式鉸機構的承載能力。此強化方法，不僅需要多個伸縮桿，且每個伸縮桿伸縮量的同步性需要額外的控制設備來保證。

本文采用索來強化剪式鉸機構，利用索只受拉不受壓的特性，在不影響機構運動的基礎上，通過連續(xù)索提高展開成形后剪式鉸機構的剛度和承載能力。文中首先介紹了索強化的剪式鉸單元模型，并對索強化剪式鉸單元的拉壓剛度進行理論推導，闡明了索在提高剪式鉸單元軸向剛度中所起的作用；然后在有限質(zhì)點法計算框架下給出了連續(xù)索和剪式鉸單元的計算方法以形成通用的索強化剪式鉸單元受力分析方法，并通過數(shù)值算例驗證了計算方法的準確性和合理性；最后對索強化剪式鉸單元組成的半圓拱進行加載和連續(xù)索斷裂分析，以探明連續(xù)索對剪式鉸機構剛度和承載力的影響。

1 索強化的剪式鉸單元

1.1 索強化剪式鉸單元模型

根據(jù)組成桿件形狀的不同，剪式鉸單元可分為直桿剪式鉸單元和折桿剪式鉸單元(圖2)。根據(jù)桿端連線夾角β(圖2)的變化情況，直桿剪式鉸單元可細分為相交和平行(β=0)兩類；折桿剪式鉸單元可細分為可變角和不變角(β 恒定不變)兩類?，F(xiàn)有剪式鉸機構的構造均基于這幾類基礎剪式鉸單元。

將剪式鉸單元組成桿件的四個端點用索進行連接，可得到一個自平衡體系(圖3(a))，相應的剪式鉸單元將失去內(nèi)部轉動自由度。四條連接索根據(jù)其在剪式鉸單元轉動過程中的長度變化情況分成兩組，變化趨勢相同的歸為一組。若將其中的一組索通過沿剪式鉸單元桿件方向布置的索進行連接并形成連續(xù)索，便可利用該連續(xù)索的縮放來控制剪式鉸的開合以及預應力的施加。如圖3(b)所示，CA和DB為分段索；CB和AD為壓桿，通過轉動副O(jiān)連接；CDAB為連續(xù)索，連續(xù)索和壓桿AD的兩端采用滑輪連接以減小連續(xù)索滑移時的摩擦力。該單元最早被用于可展天線的設計中[16-18]，以提高展開后剪式鉸天線的剛度。

圖 3 索強化剪式鉸單元Fig. 3 Cable-strengthened scissor unit

對于索強化的直桿剪式鉸單元，連續(xù)索的拉力不會增加桿段的彎矩以及中部轉動副的剪力。本文將主要對直桿剪式鉸單元進行索強化分析。分析時假定材料處于彈性階段，并忽略索桿在節(jié)點處的偏心、桿件的軸向變形以及連續(xù)索和桿端間的摩擦力。

1.2 索強化剪式鉸單元力學性能分析

通過張拉連續(xù)索施加預應力，當連續(xù)索的預應力為f時，索強化剪式鉸單元各構件的內(nèi)力可通過力平衡求解得到：

式中：下標字母對應構件連接節(jié)點；fADc為連續(xù)索段AD的內(nèi)力；fADb為連續(xù)索經(jīng)過的桿件AD的內(nèi)力。本節(jié)的力、長度、面積、彈性模量、抗彎剛度分別采用如下單位：N、m、m2、N/m2、Nm2。

以外力施加方向為索強化剪式鉸單元的軸向，對施加完預應力的索強化剪式鉸單元進行軸向受力分析(圖4)。在軸向力的作用下，剪式鉸單元內(nèi)的桿件有發(fā)生相對轉動的趨勢，從而引起索長(索內(nèi)力)的改變，以此來抵抗軸向力的作用。

圖 4 索強化剪式鉸單元軸向受力分析Fig. 4 Axial force analysis on cable-strengthened scissor unit

在微小轉動條件下，展開角度α(圖4)可認為保持不變。以單元中點O作為參考點，則單元在軸力作用方向上的長度變化量Δ和D節(jié)點在軸力作用方向上的變形δ1以及垂直軸力作用方向的變形δ2存在以下關系：

式中：Ec為索的彈性模量；Ac1為分段索截面積；Ac2為連續(xù)索截面積。L1和L2為分段索和連續(xù)索的索原長：

式中，l為剪式鉸桿段長度。

對D節(jié)點進行受力平衡分析，當連續(xù)索索段CD和分段索BD均受拉時：

當連續(xù)索索段CD松弛退出工作時，力平衡方程變?yōu)椋?/p>

上述分析可得，索強化后的剪式鉸單元將具有軸向剛度，軸向剛度的大小與分段索和連續(xù)索的抗拉剛度、單元的展開角度以及預應力有關。式(7)、式(9)、式(11)表明：施加預應力后索強化剪式鉸單元的軸向剛度分三個階段：當拉壓力較小時，分段索和連續(xù)索共同抵抗軸向力作用，此時單元的軸向剛度最大；隨軸向拉力或壓力的增加，連續(xù)索或分段索將退出工作，單元的軸向剛度隨之退化。單元三個階段的軸向剛度值和預應力大小無關，但預應力的大小決定了單元軸向剛度的退化節(jié)點。當無預應力作用時，單元軸向剛度將只存在兩個階段，單元的受拉剛度和受壓剛度分別由分段索和連續(xù)索提供。

索強化剪式鉸單元在彎矩作用下的彎曲變形如圖5 所示。彎矩通過在A、C節(jié)點施加拉力，B、D節(jié)點施加壓力模擬，施加彎矩M=Plcosα。以單元中點作為參考點，B、D節(jié)點和A、C節(jié)點在力作用方向變形δ11、δ21和垂直力作用方向變形δ12、δ22存在以下關系：

圖 5 索強化剪式鉸單元彎曲受力分析Fig. 5 Bending force analysis on cable-strengthened scissor unit

索強化剪式鉸單元的等效抗彎剛度(EI)e可表示為：

可見在分段索BD退出工作前，索強化剪式鉸單元的抗彎剛度和桿段的抗彎剛度、分段索的抗拉剛度以及展開角度相關，和連續(xù)索的抗拉剛度及預應力的大小無關。但預應力大小關系到分段索何時退出工作。

通過對一個規(guī)則索強化剪式鉸單元受力性能的理論分析，得到了此類單元的各組成構件在抵抗外荷載時所起的作用，揭示了此類單元受力的一般規(guī)律。但對幾何條件更為一般的索強化剪式鉸單元，構件內(nèi)力無法顯式表達，且索強化剪式鉸單元在外力作用下具有較強的幾何非線性，需要采用數(shù)值計算方法來分析。

2 基于有限質(zhì)點法的索強化剪式鉸單元受力分析方法

索強化剪式鉸單元的幾何非線性主要來自兩部分：連續(xù)索在接觸點處的滑移；剪式鉸兩桿間的相對轉動。本文采用有限質(zhì)點法對索強化剪式鉸單元的力學性能進行數(shù)值分析。有限質(zhì)點法是基于點值描述和向量力學的結構行為分析方法，它采用質(zhì)點對結構進行空間上的離散，以向量力學運動定律作為質(zhì)點的運動準則，通過質(zhì)點的位置參數(shù)求解結構的幾何變形和內(nèi)力[19-21]。

采用質(zhì)點對結構進行離散時，使用的質(zhì)點數(shù)量越多，結構的形態(tài)描述越接近實際情況，但計算量會隨之增加。當重點關注桿件軸向變形時，可根據(jù)結構的拓撲關系進行離散，將質(zhì)點設置在拓撲節(jié)點上。

質(zhì)點的平動、轉動滿足牛頓運動定律：

為避免隱式解法帶來的復雜迭代，有限質(zhì)點法采用顯式中央差分法求解質(zhì)點運動方程：

虛擬阻尼系數(shù)的取值將影響質(zhì)點到達靜力平衡的所需時間，一般最優(yōu)的虛擬阻尼系數(shù)可以通過結構的臨界阻尼值計算得到。

2.1 連續(xù)索單元滑移分析

連續(xù)索滑移分析的關鍵是求解連續(xù)索在接觸點處的滑移問題，也即索原長在接觸點兩側的調(diào)整量[23-24]。不考慮接觸點摩擦時，連續(xù)索各索段的內(nèi)力相等，每個時間步計算結束時的各索段原長可按當前時間步各索段長度進行等比例分配。連續(xù)索各索段的內(nèi)力增量 Δf可通過連續(xù)索的總長度改變量 Δl求解：

式中：l′為根據(jù)當前計算步質(zhì)點坐標計算得到的連續(xù)索長度；l為連續(xù)索原長；A為連續(xù)索截面積；E為連續(xù)索彈性模量。

根據(jù)連續(xù)索內(nèi)力增量更新連續(xù)索各索段內(nèi)力，并將索段內(nèi)力作用至接觸點上，力作用方向由各索段的方向向量確定。當連續(xù)索松弛退出工作時，連續(xù)索對連接質(zhì)點以及經(jīng)過的接觸點均無力的作用。

2.2 剪式鉸單元轉動分析

剪式鉸單元模擬的關鍵是使兩桿在轉動副處的平面內(nèi)轉動位移相互獨立，并使面外的轉動位移及空間平動位移耦合。建立剪式鉸單元計算模型時，可在轉動副處設置兩個質(zhì)點分別連接剪式鉸單元的兩根桿件。文獻[25]采用質(zhì)點合力再分配法來處理平面剪式鉸單元中部質(zhì)點位移耦合問題。在二維平面內(nèi)，質(zhì)點不受面外力矩的作用，因此該方法未對中部質(zhì)點的合力矩分配進行處理。

圖 6 剪式鉸單元局部坐標系Fig. 6 Local coordinate system of scissor unit

2.3 索強化剪式鉸單元受力行為分析

圖7 為基于有限質(zhì)點法的索強化剪式鉸單元計算模型。剪式鉸桿件采用實心矩形鋼桿，鋼桿截面寬12.8 mm，高116.5 mm，彈性模量E=206 GPa，各桿段長l=1 m；連續(xù)索和分段索均采用10 mm直徑鋼絲繩，彈性模量E=170 GPa；展開角度α=45°；節(jié)點A和節(jié)點B分別采用固定鉸支座和水平滑動鉸支座。預應力施加完成后，桿BC、桿AD內(nèi)力分別為-39 kN、-66.575 kN，連續(xù)索和分段索內(nèi)力為27.575 kN。

圖 7 基于有限質(zhì)點法的索強化剪式鉸單元計算模型Fig. 7 Calculation model of cable-strengthened scissor unit based on finite particle method

如圖7(b)所示，離散成有限質(zhì)點法計算模型時，桿BC和桿AD分別采用質(zhì)點P2、P6、P4和P1、P3、P5描述，并使質(zhì)點P3和P6的平動位移耦合；分段索AC和BD分別采用質(zhì)點P1、P4和P2、P5描述；連續(xù)索BADC采用質(zhì)點P2、P7、P8、P9、P10、P4描述，并將質(zhì)點P1和P5作為索段P7P8和P9P10的接觸點。

有限質(zhì)點法通過動力過程來求解靜力問題，節(jié)點C和節(jié)點D外力采用階梯增長方式加載。根據(jù)文獻[26]的建議，為保證靜力解的可靠性，加載時長不應小于5 倍的結構最小自振周期。節(jié)點外力時程如圖8 所示，其中時間變量為虛擬值，僅用于加載計算。有限質(zhì)點法計算時，取時間步長Δt=1×10-5s，虛擬阻尼系數(shù)μd=10。

圖 8 節(jié)點力-時程曲線Fig. 8 Node force-time curve

以外力時程P1為例求解加載過程中剪式鉸單元的動能和應變能的比值關系。圖9 為計算結果，可見和應變能相比，剪式鉸單元的動能可忽略，說明該加載過程為準靜態(tài)過程。

圖 9 動能與應變能比值時程曲線Fig. 9 Time history curve of the ratio of kinetic energy to strain energy

外力時程P1、P2對應的D節(jié)點豎向位移時程曲線d1、d2如圖10 所示。由圖10 可見，當部分索松弛退出工作后，節(jié)點位移增速加快。

圖 10 D 節(jié)點豎向位移時程曲線Fig. 10 Vertical displacement-time curve of node D

節(jié)點D的力-位移相關曲線如圖11 所示。由圖11 可得，有限質(zhì)點法計算結果和本文推導公式計算結果基本吻合。力-位移曲線斜率反應了索強化剪式鉸單元的軸向剛度，當部分索退出工作后，單元的軸向剛度也相應減小。解析解計算時未考慮單元受力后的幾何非線性，當軸力較大時，解析解求得的單元剛度偏大。

為比較預應力大小對剪式鉸單元軸向剛度的影響，取不同預應力狀態(tài)下的剪式鉸單元進行軸向加載分析，加載采用圖8 所示的外力時程。計算得到節(jié)點D的力-位移相關曲線如圖12 所示，圖中F為不同預應力狀態(tài)下的連續(xù)索和分段索的預應力值。

根據(jù)連續(xù)索和分段索是否退出工作，可將圖12中的力-位移曲線劃分成三個階段(無預應力作用時不存在連續(xù)索和分段索均受拉的狀態(tài)，所以只有兩個階段)，初始預應力越大索退出工作所需施加的外力越大。但不同預應力條件下，處于同一階段的剪式鉸單元的力-位移曲線斜率一致，表明其軸向剛度相同。當連續(xù)索和分段索均受拉時，剪式鉸單元的軸向剛度最大，預應力可以延緩該軸向剛度的退化，但不能提高該軸向剛度值。

圖 11 節(jié)點D 力-位移相關曲線Fig. 11 Force-displacement curve of node D

圖 12 不同預應力條件下節(jié)點D 力-位移相關曲線Fig. 12 Force-displacement curve of node D under different prestress conditions

3 索強化剪式鉸機構

將索強化剪式鉸單元沿連續(xù)索方向進行疊加，并將連續(xù)索在單元之間進行連接，便可得到索強化的剪式鉸機構。通過連續(xù)索可以控制剪式鉸機構的開合，并施加全局預應力。本節(jié)將采用有限質(zhì)點法對展開成形后的索強化剪式鉸拱進行受力性能分析。

3.1 索強化剪式鉸拱模型

圖13 為展開成形后的索強化剪式鉸半圓拱，內(nèi)徑10 m，厚度1 m，由12 個索強化剪式鉸單元組成。剪式鉸桿采用實心矩形鋼桿，鋼桿截面寬12.8 mm，高116.5 mm，彈性模量E=206 GPa；上、下弦分段索和連續(xù)索均采用10 mm 直徑鋼絲繩，彈性模量E=170 GPa。上、下弦分段索原長分別為2.8716 m、2.6105 m；連續(xù)索原長為58.9776 m；剪式鉸單元中和上、下弦分段索相連的桿段長分別為1.5268 m、1.3880 m。

圖 13 索強化剪式鉸半圓拱Fig. 13 Cable-strengthened scissor-hinge semicircle arch

半圓拱通過支座Z1、Z2、Z3、Z4固定。施加預應力時僅設置支座Z2、Z3，其中支座Z2為固定鉸支座，支座Z3為水平滑動鉸支座。預應力施加完畢后將支座Z1、Z2、Z3、Z4均設為固定鉸支座。

3.2 索強化剪式鉸拱受力性能分析

拱預應力通過張拉連續(xù)索施加，施加過程中考慮結構自重作用。預應力施加完畢后，在圖13所示節(jié)點處施加豎向節(jié)點外力P，P以0.01 s 增加0.1 kN 的階梯增長方式從0 逐漸增加至10 kN。有限質(zhì)點法計算時，取時間步長 Δt=1×10-5s，虛擬阻尼系數(shù)μd=10。

預應力施加完成后，連續(xù)索內(nèi)力12 kN(應力153 MPa)，加載完成后連續(xù)索內(nèi)力增加至15.8 kN。上、下弦分段索內(nèi)力沿拱圓心角θ 的分布情況如圖14 所示，cu、cd 分別表示上、下弦分段索，“加載前”表示預應力施加完成狀態(tài)，“加載后”表示節(jié)點外力施加完成狀態(tài)。施加預應力時，支座Z3可水平滑動，自重作用下拱截面上壓下拉，跨中彎矩最大，此時下弦分段索內(nèi)力大于上弦分段索內(nèi)力。施加節(jié)點外力時，支座均固定，在節(jié)點外力作用下，拱跨中和支座附近的彎矩增量方向相反。節(jié)點外力施加完成后，跨中下弦分段索內(nèi)力增大，上弦分段索內(nèi)力減小直至松弛退出工作；靠近支座處的上下弦分段索內(nèi)力的增減趨勢正好相反。在預應力和節(jié)點外力作用下，剪式鉸組成桿件以軸向受力為主。圖15 為剪式鉸桿段軸力沿拱圓心角θ 的分布情況，bc 為連續(xù)索經(jīng)過桿段，b 為另一半桿段。受連續(xù)索的作用，bc 桿段所受的壓力普遍比b 桿段的大。相同圓心角對應的bc 桿段和b 桿段的壓力之和從拱頂向支座處增加，且整體隨外荷載的增加而增大。

圖 14 加載前后上下弦索內(nèi)力分布Fig. 14 Internal force distribution of upper and lower cables before and after loading

圖 15 加載前后剪式鉸桿軸力分布Fig. 15 Axial force distribution of scissor-hinge before and after loading

待節(jié)點外荷載施加穩(wěn)定后去除連續(xù)索來模擬連續(xù)索斷裂的情況。從節(jié)點加載至連續(xù)索斷裂過程中，拱跨中下弦節(jié)點(圖13 節(jié)點20)的豎向位移時程如圖16 所示。連續(xù)索斷裂前節(jié)點20 在節(jié)點外力作用下僅發(fā)生0.05 m 的豎向位移；連續(xù)索斷裂后，支座附近的剪式鉸桿件受力變形加劇，跨中附近的剪式鉸單元因缺少足夠的約束而發(fā)生相對轉動，帶動整個拱向下運動，節(jié)點20 的豎向位移增加至3.176 m?？梢娺B續(xù)索對索強化剪式鉸機構的剛度至關重要。

隨著拱的向下變形，拱上下弦分段索逐步退出工作，剪式鉸桿段的內(nèi)力也由受軸向力為主轉變?yōu)槭茌S力和彎矩的共同作用。圖17 和圖18 為支座附近連續(xù)索經(jīng)過的剪式鉸桿段(圖13 梁2)的軸力和彎矩時程。節(jié)點外力加載時，桿段所受軸力增加，但彎矩保持不變(為零)；連續(xù)索斷裂后，桿段軸力由-89.3 kN 增加至-133.7 kN，彎矩由0 增加至100 kN·m?？梢娺B續(xù)索對索強化剪式鉸機構的內(nèi)力傳遞及承載力有顯著影響。

圖 16 節(jié)點20 豎向位移時程Fig. 16 Vertical displacement-time curve of node 20

圖 17 梁單元2 軸力時程Fig. 17 Axial force-time curve of beam element 2

圖 18 梁單元2 彎矩時程Fig. 18 Bending moment-time curve of beam element 2

4 結論

本文采用索對剪式鉸機構進行強化，以提高剪式鉸機構的剛度和承載能力。文中推導了規(guī)則索強化剪式鉸單元的軸向剛度和抗彎剛度計算公式，給出了有限質(zhì)點法計算框架下的索強化剪式鉸單元的計算分析方法，并對一個典型的索強化剪式鉸拱進行受力和斷索行為分析。本文分析結果表明：

(1) 索強化剪式鉸單元的軸向剛度主要由索的抗拉剛度提供，預應力可以延緩單元軸向剛度的退化，但不能提高單元軸向剛度峰值；單元抗彎剛度由剪式鉸桿段的抗彎剛度和索的抗拉剛度共同提供。

(2) 索強化剪式鉸機構可由索強化剪式鉸單元組合得到，將單元間的連續(xù)索進行聯(lián)通，通過連續(xù)索的縮放可控制機構開合及機構預應力的施加。

(3) 連續(xù)索對索強化剪式鉸機構的剛度和承載力至關重要。連續(xù)索可有效減小剪式鉸單元桿件的內(nèi)部轉動和彎曲變形。

(4) 連續(xù)索斷裂后，支座附近的桿件彎矩和遠離支座的機構變形將急劇增加，整體變形以剪式鉸單元桿件的轉動變形為主。