姚 琛，胡 偉，孟建偉，雷 勇，曾 興，鄭恒良

(1. 湖南科技大學，巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測省重點實驗室，湖南，湘潭 411201；2. 湖南科技大學土木工程學院，湖南，湘潭 411201；3. 中鐵十二局集團第一工程有限公司，陜西，西安 710038)

錨板具有良好的抗拔承載性能，在基礎(chǔ)工程、錨固與加固等工程中已有較為廣泛的應用[1-3]。近年來在相關(guān)工程領(lǐng)域仍有持續(xù)報道，如韓啟云等[4]，劉湘蒞等[5]報道了錨板在河南膨脹土地區(qū)輸電線塔基礎(chǔ)和1100 kV 特高壓直流輸電線塔基礎(chǔ)中的應用。譚紅瑩[6]，李書兆等[7]報道了錨板在水下生產(chǎn)系統(tǒng)防沉板基礎(chǔ)方面的工程應用。豎向極限抗拔承載力是水平錨板工程設計時的重要指標，該指標主要受錨板埋深、尺寸和土體性質(zhì)等因素的影響，相應規(guī)律即為錨板抗拔承載機理，是開展錨板極限抗拔承載力理論研究的前提，錨周土體滑動面的變化特征則是其主要方面[2,8]。有模型試驗和數(shù)值模擬研究表明：水平錨板豎向極限拉拔時，錨周土體滑動面存在兩種截然不同的形態(tài)，即淺埋時以直線或曲線形狀延伸至地表，深埋時則呈“燈泡狀”局限于土體內(nèi)部，分別如圖1(a)和圖1(b)所示[9-11]。

圖 1 兩種滑動面形態(tài)Fig. 1 Two types of sliding surface

基于這兩種形態(tài)，理論研究中一般事先引入臨界埋深比的概念來人為區(qū)分錨板類型，即淺埋和深埋，而后分別構(gòu)建力學模型來推求極限承載力。因此，確定臨界埋深比對現(xiàn)有承載力計算模型和方法至關(guān)重要。表1 中列舉了砂土中錨板臨界埋深比的部分研究成果，表中H/m 表示錨板埋置深度，即錨板上表面距地表的垂直高度，D/m為錨板寬度，H/D為錨板埋深比。臨界埋深比一般與砂土的密實狀態(tài)有關(guān)，但不同研究成果顯示其大小差異顯著，并無統(tǒng)一認識。這也就意味著，對于同一錨板工程，若設計者采用不同的臨界埋深比取值標準，錨板將具有不同類型，相應的承載力計算模型、方法和結(jié)果將有明顯不同，這對工程設計而言存在很大風險。故臨界埋深比存在的意義，甚至其是否存在是值得商榷的。事實上，Ghaly 等[12]，朱長歧等[13]都在試驗中發(fā)現(xiàn)，隨著埋深比的增加，拉拔破壞由淺埋型向深埋型漸近轉(zhuǎn)化，其間并沒有明顯的界限。因此，有必要重新審視以往區(qū)分淺埋和深埋的研究思路，而從統(tǒng)一的視角來看待錨板拉拔破壞機理從淺埋到深埋的連續(xù)變化。本文將針對水平條形錨板的豎向拉拔開展承載力計算的統(tǒng)一方法研究，嘗試構(gòu)建描述滑動面連續(xù)變化的統(tǒng)一形態(tài)函數(shù)和相應力學模型，推導拉拔承載力計算方法，并與其他試驗、方法開展對比驗證分析。

表 1 不同淺埋、深埋界定標準Table 1 Different definition standards

1 滑動面形態(tài)統(tǒng)一描述

水平錨板豎向極限拉拔時錨周土體滑動面具有淺埋時近似直線延伸至地表，埋深增大，滑動面逐漸內(nèi)傾，至深埋時呈氣球狀閉合曲線形態(tài)局限于土體內(nèi)部的連續(xù)演化規(guī)律[3]。若從統(tǒng)一視角審視錨板承載機理，最關(guān)鍵要理清滑動面這一漸變特征，構(gòu)建能統(tǒng)一描述該變化規(guī)律的形態(tài)函數(shù)。對數(shù)螺旋線函數(shù)是常用于描述土體中滑動面的函數(shù)形式，本文的滑動面統(tǒng)一形態(tài)函數(shù)構(gòu)建也以此類函數(shù)作為基礎(chǔ)?；谙鄳难莼卣鳎瑒用嫘螒B(tài)函數(shù)需滿足如下三個約束條件：

1) 錨板淺埋時，滑動面近似直線延伸至地表。對數(shù)螺旋線形態(tài)函數(shù)需滿足當埋深比趨于0 時，其極徑r0趨于無窮大。

2) 隨著埋深比增加，滑動面曲線形態(tài)內(nèi)傾并向錨板附近收縮。對數(shù)螺旋線形態(tài)函數(shù)極徑r0是關(guān)于埋深比的減函數(shù)。埋深比趨于無窮大時，r0=D。

3) 滑動面曲線上任意一點的切線與水平向的夾角為α，該夾角在錨板邊緣處初始值α0的大小與砂土的密實度有關(guān)。

為此，滑動面形態(tài)函數(shù)構(gòu)建如下：

即滑動面是關(guān)于θ、φ、D和埋深比H/D的函數(shù)，式中：r0為初始極徑；ρ 為極半徑；φ為土體內(nèi)摩擦角；θ 為對數(shù)螺旋線滑動面上一點對應的極角，其值在0～π/2 之間變化；a、b為常數(shù)。Ρ對于θ 角求導可得：

根據(jù)約束條件式(3)，將θ=0°代入式(2)～式(4)，再聯(lián)立式(5)得到關(guān)于b的表達式如式(6)所示：

關(guān)于α0的取值，已有學者采用試驗、數(shù)值模擬等方法開展了相關(guān)研究。對于淺埋工況，Ilamparuthi等[3]基于試驗建議α0=π/2-φ/2。Liu 等[22]在試驗中觀測到傾角與砂土密實度相關(guān)，對于松砂，α0近似等于π/4+φ/2；對于密砂，α0則約等于π/2-φ/4。劉君等[23]采用顆粒流分析軟件計算得到α0約等于π/2-φ/2。Murray 等[24]在極限平衡分析中采用α0=π/2-φ/2；在下限分析中則采用α0=π/2-φ。張昕等[2]的理論研究中采用α0=π/2-φ。深埋錨板的試驗與理論研究相對較少，初曉鋒等[15]在鈣質(zhì)砂中觀測到α0介于π/2-φ/4 和π/2-φ/2 之間。Ilamparuthi 等[3]則觀測到α0約為π/2-φ/2。綜上，關(guān)于α0的取值，總結(jié)已有研究成果如表2 所示。

表 2 α0 取值Table 2 Values of α0

據(jù)上述總結(jié)分析，本文建議α0的取值規(guī)則如下：松砂取α0=π/2-φ/2；中密砂取α0=π/2-3φ/4；密砂取α0=π/2-φ。經(jīng)計算總結(jié)，常數(shù)a的取值對于松砂、中密砂和密砂分別為0.01、0.02、0.03。

2 統(tǒng)一力學模型與理論推導

取地面、滑動面、錨板圍成的空間體為隔離體，隔離體受力分析如圖2 所示，受重力G，含隔離體內(nèi)土體重力Gs和錨板重力GM，滑動面上所受土壓力正應力合力E和相應的切應力合力f，豎向拉拔力F四個力的共同作用。

不同埋深下螺旋線滑動面最終都將與錨板中心豎直線所在直線相交，設該交點對應的θ 角與距錨板的距離分別為θmax和ymax(如圖3)。在給定埋深H的情況下，θmax可由式(7)求取，ymax計算如式(8)所示。據(jù)滑動面形態(tài)函數(shù)可知，滑動面以錨板邊緣為起點，在向錨板中心豎直線方位的延伸過程中，其上必然存在一點，該點的切線為豎向線，即斜率K為無窮大。該點對應的θ 角與距錨板的距離分別為θ1和y1(如圖3)，則有0＜θ1＜θmax，0＜y1＜ymax。在給定埋深下，θ1可通過式(9)求取，y1的表達式如式(10)所示。

圖 2 隔離體受力分析Fig. 2 Isolator force analysis

圖 3 y1 和ymax 示意Fig. 3 Schematic of y1 and ymax

據(jù)埋深H、y1和ymax的大小關(guān)系，隔離體受力計算分為三種工況：①H＜y1；②y1≤H＜ymax；③ymax≤H。

1) 當H＜y1時，如圖4 所示：地面位置低于臨界點，滑動面能貫通至地表?；瑒用婧偷乇斫稽c對應的θ 角為θ2，其值由式(11)求取。以錨板所在水平面直線為x軸，拉桿中心線向上為y軸正方向，兩者交點為原點建立坐標系，沿y軸正方向坐標Y處取厚度為dy的微元，滑動面上正應力合力微元dE，切應力合力微元df分別如式(12)、式(13)所示。

式中：γ 為土體重度；K1是滑動面上與y1對應位置處的土壓力系數(shù)。當ρsinθ=0 時，即錨板邊緣處，因擠壓土體程度最為強烈，假設該處法線方向作用被動土壓力，即σp=Kpγh，h為計算點埋深，Kp為朗肯被動土壓力系數(shù)，Kp=tan2(π/4+φ/2)；相應切線方向應力τf=σptanφ。當ρsinθ=y1時，即臨界點位置處，因滑動面在此處沿豎向運動，故假定該點土壓力系數(shù)采用靜止土壓力系數(shù)，K0=1-sinφ。其他位置時，土壓力系數(shù)則隨ρsinθ 發(fā)生變化，在Kp和K0之間進行線性插值計算，如式(14)。

圖 4 H＜y1 的滑動面Fig. 4 Sliding surface of H＜y1

滑動面上力學分析如圖5 所示，積分可得滑動面所受正應力合力和摩擦力合力的豎向分量，如式(15)和式(16)。該工況下滑動面所受正應力合力的豎向分量方向向上，λ 由式(4)求取。

圖 5 滑動面上力學分析Fig. 5 Mechanical analysis of sliding surface

對于工況②和工況③，其理論推導過程與工況①類似，限于篇幅，僅給出E2、f2、Gs2、E3、f3、Gs3的計算表達式，將其代入式(18)即可得到相應的極限拉拔承載力。對于工況②，以臨界點為分界，臨界點以下，滑動面上土壓力系數(shù)K1由式(14)計算；臨界點以上，土壓力系數(shù)K2介于臨界點靜止土壓力系數(shù)K0和1 之間，根據(jù)點到錨板的距離按線性插值進行計算。若錨板位于地下水位以下，則地下水位以下部分的荷載計算使用有效重度進行。

3 對比驗證

3.1 統(tǒng)一性驗證

根據(jù)文獻[24]中的試驗數(shù)據(jù)，繪制埋深比1、5 和8 三種工況的滑動面如圖6 所示。

圖 6 計算滑動面演化Fig. 6 Evolution of calculated sliding surface

在埋深比較小時，如圖中H/D=1 工況所示，滑動面近似直線延伸至地表；隨著埋深比的增大，如圖中工況H/D=5 所示，滑動面向錨板中心線方向內(nèi)傾，呈現(xiàn)曲線形態(tài)，意味著錨板承載模式由淺埋向深埋過渡；埋深比進一步增大，滑動面則不再延伸至地表，而呈現(xiàn)閉合“球泡”狀全部局限于土體內(nèi)部，此時可視為深埋模式，如圖中工況H/D=8 所示。由此可見，本文統(tǒng)一法所構(gòu)建的形態(tài)函數(shù)能很好地再現(xiàn)滑動面隨埋深比的連續(xù)演化過程，實現(xiàn)了一個力學模型可反映不同埋深比下拉拔破壞機理的連續(xù)變化，無需再人為區(qū)分淺埋、深埋。

3.2 承載力計算對比

選用9 種計算方法，分別是Meyerhof 等[25]所建立的上、下限法，簡稱方法1、方法2；Murray 等[24]方法，簡稱方法3；Frydman 等[26]方法，簡稱方法4；Cheuk 等[27]方法，簡稱方法5；Deshmukh 等[28]方法，簡稱方法6；張昕等[2]方法，簡稱方法7；黃明華等[29]方法，簡稱方法8；本文方法，簡稱統(tǒng)一法。方法5 和方法7 中剪脹角 ψ的計算按文中采用式(26)進行[17,19]，對于石英砂，Q可取10，p'為錨板埋深處的自重應力。

1)案例介紹

本文選取的5 個試驗案例包括：Rowe 等[30]試驗(試驗1)、丁佩民等[16])松砂試驗(試驗2)、丁佩民等[16])密砂試驗(試驗3)、Dickin[31]松砂試驗(試驗4)、Dickin[31]密砂試驗(試驗5)。5 個試驗案例均采用砂土，內(nèi)摩擦角φ在32°～45°變化，密實度Dr大小則表明試驗涵蓋松砂(23%、33%)和密砂(87%、76%)兩種狀態(tài)。錨板長寬比(L/D)在6.0～8.7，滿足條形錨板對L/D＞5 的要求[24,30]；埋深比均包含1～8，共八種工況，具體情況如表3 所示。

表 3 五個試驗案例基本情況Table 3 Basic information of five tests

2)結(jié)果對比分析

分別采用上述9 種方法對上述5 個試驗案例進行計算，并與實測值進行對比；計算每種方法對于各案例工況的計算值與實測值之比，并取比值的平均值x和相應標準偏差σ 作為評價上述計算方法適應性的指標。

a) 試驗1

實測值與計算值的對比如圖7 所示，除方法七計算值整體上只有約實測值的1/3，嚴重偏小以及方法八計算值整體是實測值的1.6 倍，嚴重偏大外，其他7 種方法對此試驗工況均表現(xiàn)出較好的適宜性。具體而言，方法2、方法4 和方法6 計算值均與實測值非常接近，比值均值分別是0.93、1.03 和1.05，意味著計算值和實測值的誤差在10%以內(nèi)，且隨著埋深比增加，比值趨勢很穩(wěn)定，標準偏差分別是0.1、0.1 和0.08，計算效果非常理想。方法1 和統(tǒng)一法計算效果處于第二梯隊，計算值和實測值的誤差在15%以內(nèi)，比值均值分別為1.12 和0.87，即方法1 計算值總體偏大，而統(tǒng)一法總體偏小，但后者比值的標準偏差要比前者大。第三梯隊為方法3、方法5，計算值誤差均在30%左右，方法3 計算值偏大，而后者則偏小。因此，對于試驗1，方法4 計算效果排名第一，統(tǒng)一法排名第五，方法7 計算效果最差。

圖 7 試驗1 結(jié)果與計算值對比Fig. 7 Test values versus calculated ones of test 1

b) 試驗2

實測值與計算值的對比如圖8 所示。在埋深比小于等于5 時，各方法的計算值隨埋深比的增加而增大，且增幅較小；而在埋深比大于5 后，計算比值增長呈迅速增大趨勢，其原因在于實測值此時已基本保持不變，而計算值仍在持續(xù)增大。這說明所有方法均無法反映該試驗埋深比大于5 后承載力趨于穩(wěn)定的現(xiàn)象，故剔除掉埋深比為6、7 和8 的數(shù)據(jù)點，僅對埋深比小于等于5 的工況進行對比。經(jīng)過計算，方法5 計算效果最好，計算值與實測值的誤差為3%，方法2 與統(tǒng)一法計算效果次之，誤差分別為16%和28%。方法8計算值嚴重偏大，比值均值2.51 最大，方法7 則相反，比值均值0.76 最小，其他方法的計算效果則介于這兩者之間。標準偏差方面，方法1 標準偏差為0.26，離散性最小，統(tǒng)一法排名第二；方法8 標準偏差數(shù)值達到1.2，離散性最大。因此在埋深比小于等于5 時，方法5 效果最好，方法1次之，統(tǒng)一法排名第3，方法8 效果最差。若考慮所有埋深工況，方法7 比值均值1.39 為最小，計算值偏大，標準偏差為39%，離散性排名第3。方法5 比值均值排名第2，但離散性優(yōu)于方法5 排名第1。方法8 計算值最大，比值均值為4.04，離散性同樣為最大。因此，從整個試驗來看，方法7效果最好，方法5 次之，統(tǒng)一法排名第3，方法8計算效果最差。

圖 8 試驗2 結(jié)果與計算值對比Fig. 8 Test values versus calculated ones of test 2

c) 試驗3

由圖9 可以明顯看出，埋深比小于3 時，所有方法的計算值均小于實測值。埋深比大于等于3 后，計算比值的趨勢則較為穩(wěn)定。暫不考慮埋深比1 和2 的工況進行分析。經(jīng)過計算，方法3 比值均值最大，為1.62，方法5 比值均值最小，為0.43。方法2 計算效果最好，計算值與實測值誤差為2%，方法6 次之，誤差為6%，方法4 排名第3，統(tǒng)一法排名第4。從總體來看，方法1 和方法6 的比值均值分別是1.04 和0.9，意味著計算值和實測值的誤差在10%以內(nèi)，標準偏差分別是0.04 和0.1。計算效果第二梯隊是方法2 和統(tǒng)一法，比值均值分別為0.83 和0.8。兩種方法相比，雖然統(tǒng)一法計算值略微偏小，但從整體上來看，在埋深比大于3 之后，計算值增長趨勢更穩(wěn)定且非常接近于實測值，而方法2 計算值則持續(xù)增大，比值最大達到2 左右。方法3、方法4、方法5、方法7和方法8 計算效果處于第三梯隊，比值均值分別為0.34、0.22、0.62、0.45 和0.61，這五種方法的計算值與實測值的誤差在22%～62%。從計算結(jié)果的離散程度來看，方法8 的比值均值標準偏差0.72 是最大的；統(tǒng)一法離散性最小，標準偏差為0.18，但其比值均值排名4?？傮w而言，方法1 計算值最接近實測值，計算效果最好。方法8 無論是從比值均值還是標準偏差來看，效果均為最差。

圖 9 試驗3 結(jié)果與計算值對比Fig. 9 Test values versus calculated ones of test 3

d) 試驗4

如圖10 所示，整體上看，當埋深比小于等于6 時，各方法計算值與實測值的比值較為穩(wěn)定，其中方法7 的比值大都小于0.5，計算值整體偏??；方法8 的比值均大于2，計算值整體偏大，其他方法的比值則在0.5～2.0。當埋深比大于6 以后，各方法的計算比值均陡然增大，其原因在于實測值此時已基本保持不變，而計算值仍在繼續(xù)增大。這說明所有方法均無法反映埋深比大于6 后承載力趨于穩(wěn)定的試驗現(xiàn)象，故先剔除掉埋深比為7 和8 的數(shù)據(jù)點，僅對埋深比小于等于6 的工況進行對比。經(jīng)過計算，統(tǒng)一法比值均值為0.94，與實測值最接近，方法2 和方法4 分別為1.13 和1.15，計算誤差在15%以內(nèi)；方法5 和方法6 分別為0.73 和1.25，計算誤差在25%左右；方法8最大，為1.99，方法7 則最小，為0.48。標準偏差方面，方法2 和方法6 在0.09 左右，離散程度較小；方法8 和統(tǒng)一法則在0.25 左右，離散性偏大。因此，對于埋深比小于等于6 的工況，方法2效果最好，統(tǒng)一法次之，方法8 效果最差。如若考慮所有埋深情況，統(tǒng)一法比值均值為1.02，計算值與實測值最為接近，誤差僅為2%，但標準偏差為0.3，要大于方法5 的0.17 和方法4 的0.26，排名第三。方法2、方法4 和方法5 的比值均值分別為1.3、1.27 和0.8，三者的計算誤差在20%～30%，前兩者的計算值偏大，方法5 的計算值則偏小。方法8 的比值均值和標準偏差分別為2.41 和0.84，均為最大值，其計算效果仍然為最差。

圖 10 試驗4 結(jié)果與計算值對比Fig. 10 Test values versus calculated ones of test 4

e) 試驗5

如圖11 所示，與前四個試驗案例相比，各方法對該試驗的計算比值隨埋深比的增長趨勢都較為平穩(wěn)，總體效果均表現(xiàn)較好。方法四比值均值為1.02，計算值與實測值誤差僅為2%，標準偏差為0.09，計算效果與離散性均為最好。方法1、方法2、方法3、方法6 和統(tǒng)一法的計算效果位于第二梯隊。從比值均值來看，方法6 排名第2，統(tǒng)一法排名第3；從離散程度來看，方法6 優(yōu)于統(tǒng)一法。方法3 在埋深比大于3 后，計算值增長較快，比值均值為1.24，整體偏大，而方法1 與方法2 的計算值則整體偏小，三者計算值與實測值的誤差分別為24%、21%和35%。方法5、方法7和方法8 的計算效果位于第三梯隊，比值均值分別為0.43、0.47 和1.67，說明方法8 計算值整體偏大，方法5 和方法7 則整體偏小，三者計算比值的離散程度均較小，標準偏差分別為0.12、0.11 和0.13。

圖 11 試驗五結(jié)果與計算值對比Fig. 11 Test values versus calculated ones of test 5

上述9 種方法對五個試驗案例的計算效果排名匯總?cè)绫? 所示。方法4 在試驗1 和試驗5 兩個案例的計算中效果最佳，方法1、方法7 和統(tǒng)一法則分別在試驗3、試驗2 和試驗4 一個案例的計算中效果排名第一，但與方法1 和統(tǒng)一法相比，方法7 同時還在一個試驗案例計算中效果最差，在兩個試驗案例中效果排名倒數(shù)第二，計算效果較不穩(wěn)定。另外，還值得注意的是，方法6 在三個試驗案例的計算中效果排名第二，計算效果較好且表現(xiàn)穩(wěn)定。方法8 在兩個試驗案例計算中效果最差，還在另兩個試驗案例計算中效果排名倒數(shù)第二，總體上表現(xiàn)最差。以各方法計算效果排名數(shù)字之和來衡量該方法的適應性，則方法6 得分15 分最低，表明其適應性最好；其次是統(tǒng)一法，得分為16 分；方法8 得分為41 分，適應性最差。

表 4 計算效果對比分析Table 4 Comparative analysis of calculation effect

4 結(jié)論

通過深入分析總結(jié)砂土中水平條形錨板豎向拉拔承載機理，提出了描述滑動面隨埋深比連續(xù)變化的形態(tài)函數(shù)，建立了無需區(qū)分淺埋、深埋的極限拉拔統(tǒng)一力學模型，并建立了水平條形錨板豎向拉拔極限承載力的統(tǒng)一計算方法。與其他計算方法和試驗案例的對比分析很好地驗證了本文力學模型的統(tǒng)一性和統(tǒng)一計算方法對于砂土中水平條形錨板豎向拉拔承載的適應性。主要結(jié)論如下：

(1) 以對數(shù)螺旋線函數(shù)為基本形式，構(gòu)建了可反映滑動面隨埋深比連續(xù)變化的形態(tài)函數(shù)，并根據(jù)約束條件和以往研究成果確定了其中參數(shù)的計算公式和取值。

(2) 根據(jù)埋深大小、滑動面交點與錨板距離以及滑動面上豎向線切線對應點與錨板距離這三者的大小關(guān)系，分3 種情況進行極限平衡分析，建立力學平衡方程，建立了砂土中水平條形錨板豎向拉拔極限承載力統(tǒng)一計算方法。

(3) 所形態(tài)函數(shù)很好地反映了滑動面隨埋深比的連續(xù)演化過程，統(tǒng)一力學模型可反映不同埋深比下拉拔破壞機制的連續(xù)變化，無需再人為區(qū)分淺埋、深埋。在對五個試驗案例(松砂、密砂)的計算對比中，統(tǒng)一法在9 種方法中計算效果得分排名第二，表現(xiàn)出較強的適應性。