□ 張莉渺

小學(xué)數(shù)學(xué)拓展性教學(xué)，是對教材進行擴充、延伸和展開的教學(xué)[1]，教學(xué)中，教師可依據(jù)自身對學(xué)科的理解，從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，對教學(xué)資源進行開掘、整合、拓展后形成適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)的材料[2]，并基于這些材料展開拓展性教學(xué)。

一、理念構(gòu)思

圍繞學(xué)材研發(fā)開展數(shù)學(xué)拓展性教學(xué)，更能展現(xiàn)拓展課的魅力。教師可先研發(fā)有數(shù)學(xué)探究味的學(xué)材，再借助學(xué)材提出核心問題，創(chuàng)設(shè)可探究的問題空間，進而開展拓展性教學(xué)實踐。基于學(xué)材研發(fā)的拓展教學(xué)設(shè)想如圖1所示。即根據(jù)學(xué)生學(xué)情，教材呈現(xiàn)的知識基礎(chǔ)，以及素材的自身特征進行學(xué)材研發(fā)，再依托學(xué)材，在給學(xué)生留足可探究的問題空間的基礎(chǔ)上進行不同類別的拓展性教學(xué)設(shè)計。

圖1 基于學(xué)材研發(fā)的數(shù)學(xué)拓展性教學(xué)的設(shè)想

拓展性學(xué)習(xí)材料應(yīng)源于生活，易于操作，且動態(tài)開放，以此促進教學(xué)過程的真實化，提升教學(xué)內(nèi)容的探究性，助力學(xué)生研究的再創(chuàng)造。基于這樣的學(xué)習(xí)材料進行拓展性教學(xué)，可以讓學(xué)生在動手操作、實踐探究中感悟數(shù)學(xué)思想與方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、學(xué)材研發(fā)

生活中的素材有很多，教師要充分利用素材的自身特點，遵循有趣味、可探究、難度適宜、易獲得、可操作等原則選擇學(xué)習(xí)素材，并對素材進行設(shè)計，將其研發(fā)為學(xué)材。

（一）基于學(xué)情，鏈接生活經(jīng)驗和知識背景

學(xué)習(xí)材料的選擇和設(shè)計要貼近學(xué)生的現(xiàn)實背景。學(xué)生的現(xiàn)實背景包括生活經(jīng)驗背景和知識邏輯背景[3]。只有基于學(xué)情的學(xué)材研發(fā)和課堂設(shè)計，才能將學(xué)生定位于學(xué)習(xí)場的中心。

【案例1】正方體展開圖

該課是人教版五下第三單元“長方體和正方體的表面積”的拓展內(nèi)容。學(xué)生已有的知識及經(jīng)驗基礎(chǔ)是：①正方體的基本特征；②正方體的表面積計算；③旋轉(zhuǎn)、軸對稱等圖形運動方式；④初步的分類思想。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用磁力片（如圖2）直觀展開正方體的六個面，并結(jié)合旋轉(zhuǎn)、軸對稱等運動方式把握展開圖的關(guān)鍵特征，識別重復(fù)情況，有序思考，厘清11 種正方體展開圖。磁力片就是貼近學(xué)生的，滿足學(xué)生生活經(jīng)驗背景和知識邏輯背景的學(xué)習(xí)材料。

圖2 《正方體展開圖》教學(xué)示意圖

（二）基于教材，促進知識整合與適度拓展

學(xué)材的研發(fā)、拓展課堂的組織，不能與教材完全脫離，應(yīng)基于教材的知識結(jié)構(gòu)，鏈接知識點，適度延伸。

【案例2】怎樣做體積最大

圖3 《怎樣做體積最大》教學(xué)示意圖

人教版五下《長方體和正方體的體積》一課的教學(xué)中，可設(shè)計一堂探究無蓋長方體體積的拓展課：用一張邊長為18cm 的正方形紙做一個無蓋長方體，怎樣做體積最大？涵蓋的知識點有：①無蓋長方體的制作；②長方體種類的有序思考；③長方體的體積計算；④折線統(tǒng)計圖表征體積變化；⑤規(guī)律的探尋和發(fā)現(xiàn)；⑥由整數(shù)推理到小數(shù)的極限思想。這節(jié)拓展課的教學(xué)，既能幫助學(xué)生對知識點進行整合，也能對現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)進行適當(dāng)拓展。學(xué)生往往存在“正方體體積最大”的思維定式，紙板就是幫助學(xué)生打破這一思維定式的好學(xué)材。

（三）基于素材，挖掘材料特點和探究價值

選擇哪些素材作為數(shù)學(xué)探究的工具，還需要充分利用各類素材本身的特點。

（1）游戲類素材，如撲克牌、骰子、魔方、七巧板、小球等，可在一定的規(guī)則范疇下重復(fù)操作，便于規(guī)律的探究。

（2）操作類素材，如繩子、正方體、火柴棒等，容易裁剪和拼擺，其操作的便捷性和形狀的特殊性便于相關(guān)數(shù)學(xué)知識的實踐探究。

（3）其他日常素材，如A4紙、乒乓球等，雖看似普通，但如果能找到值得研究的驅(qū)動問題，可大大激發(fā)學(xué)生的探究興趣，例如“為什么A4紙就是這樣的尺寸”“乒乓球的體積怎么算”等。

三、拓展教學(xué)

（一）創(chuàng)設(shè)問題空間，變學(xué)材為教學(xué)支架

有了合適的學(xué)材，教師還需要對其進行合理組織，以構(gòu)建有實效的“教學(xué)”，而“問題空間”正是把學(xué)材轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)的重要支架。圍繞學(xué)材創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的問題空間，可把問題設(shè)定為真實場景下的相關(guān)任務(wù)，把學(xué)生定位成解決問題的核心力量。

1.圍繞學(xué)材，提出核心問題

拓展課教學(xué)中，核心問題主要來自于教材和生活。

（1）以核心知識為主題。

從教材知識出發(fā)，挖掘可延伸拓展的知識點，提出核心問題。

【案例3】怎樣圍面積最大

在三下的學(xué)習(xí)中，從核心知識“周長和面積”之間的關(guān)系出發(fā)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到：周長一定時，長和寬越接近，圍成的正方形面積最大。在此基礎(chǔ)上，可以繼續(xù)探究：“如果用一根長度固定的繩子一面靠墻圍，怎樣圍面積最大？”

（2）將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化。

生活中有很多現(xiàn)實問題，以數(shù)學(xué)的眼光審視和分析問題，是另一種提煉核心問題的策略。

【案例4】A4紙中的秘密

“為什么國際通用的A4 紙的尺寸是210×297mm？”這一現(xiàn)實問題的背后，其實隱藏著很多與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的問題：A4 紙到底怎么來的？它與A3、A5等A系列紙的大小、面積等有什么關(guān)系？為什么A 系列紙的比例一定要保持1.414∶1，而不保持1.618∶1？圍繞這些數(shù)學(xué)問題，以A3、A4、A5 紙為學(xué)材，利用推理方式，借助比的知識，可將這些現(xiàn)實問題濃郁的數(shù)學(xué)探究味凸顯出來。

2.借助學(xué)材，擴大探究空間

好的學(xué)習(xí)材料能為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)較大的問題空間，讓學(xué)生在這樣的問題空間中，調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，嘗試解決問題。

【案例5】“搶地盤”游戲

在以“長方形面積計算練習(xí)”為基礎(chǔ)的拓展教學(xué)中，教師設(shè)計在方格紙中進行“螞蟻搶地盤”游戲的場景（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生探究在P 點的移動過程中 S1、S2、S3、S4四部分面積間的關(guān)系：①S1和 S2的變化；②S1+S2的變化；③S3和S4的大小關(guān)系以及變化趨勢；④S1+S2+S3+S4是否確定；⑤S1+S2與 S3+S4的大小比較。這些問題的設(shè)計由簡單到復(fù)雜，由單一到綜合，突破了靜態(tài)的問題空間，讓學(xué)生的思維跟著P點動了起來。

圖4 “搶地盤”游戲示意圖

（二）基于學(xué)材研發(fā)，分類教學(xué)實踐

基于學(xué)材研發(fā)的拓展課的設(shè)計和實踐，可分為四類：知識延伸類、游戲活動類、規(guī)律探究類、生活問題類。雖然每一類拓展課的教學(xué)組織形式和側(cè)重點有所不同，但均充分利用了研發(fā)學(xué)材的特性，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

1.知識延伸類：讓新舊知識順利鏈接

知識延伸類拓展課，是基于課內(nèi)知識的拓展教學(xué)。為使舊知和新知順利銜接，可借助研發(fā)的學(xué)材，提升兩者的契合度。其教學(xué)組織形式可參考圖5。

圖5 知識延伸類拓展課教學(xué)流程

【案例6】小票中的巧思妙算

該課可在二上教學(xué)“表內(nèi)乘法（二）”后開設(shè)（如圖6）。知識儲備為100 以內(nèi)加減法、表內(nèi)乘法；教學(xué)目標(biāo)是借助圖形操作，提高學(xué)生簡便計算的能力；活動材料為一張破損的購物小票和幾何圖形若干。小票中依次呈現(xiàn)了四類商品的單價（依次為9、5、6、9 元）和數(shù)量（依次為4、4、4、6個），每類商品的金額、應(yīng)收總額等數(shù)據(jù)因小票破損而缺失。教學(xué)中，首先回顧用一般方法計算“一共花了多少錢”，進而利用幾何圖形的可組合性和可分割性，數(shù)形結(jié)合，嘗試探究簡便計算，學(xué)會“打包”巧算，為乘法分配律的教學(xué)做好孕伏，并進行分類整理，適度建模。

圖6 《小票中的巧思妙算》教學(xué)示意圖

2.游戲活動類：促猜想實踐充分展開

游戲活動類拓展課教學(xué)中，需要經(jīng)過多次猜想和嘗試，才能得出結(jié)論。其教學(xué)組織形式可參考圖7。因此，學(xué)材的設(shè)置可多樣豐富，以供學(xué)生多次操作。得出結(jié)論后，還應(yīng)從數(shù)學(xué)的視角適度分析其背后的原因。

圖7 游戲活動類拓展課教學(xué)流程

【案例7】一張A4紙對折42次有多高

這是在人教版四上《大數(shù)的認(rèn)識》一課學(xué)習(xí)后進行的拓展課內(nèi)容。在探月情境的引入下，提出核心問題：如果可以將一張A4 紙對折42 次，那么它會有多高？鼓勵學(xué)生經(jīng)歷多次猜想和實踐：嘗試先通過對折發(fā)現(xiàn)對折次數(shù)和紙張層數(shù)之間的規(guī)律，再借助10 張紙、100 張紙的厚度推算出一張A4 紙對折42 次后的高度，并得出結(jié)論：從理論上講，這個高度可以到達月球（如圖8）。引導(dǎo)學(xué)生思考這神奇現(xiàn)象背后的原因，滲透指數(shù)函數(shù)思想。

圖8 《一張A4紙對折42次有多高》教學(xué)示意圖

3.規(guī)律探究類：使分類探究直觀外顯

規(guī)律探究類的拓展課，往往需要借助學(xué)材進行分類研究，借助學(xué)材的直觀性，分類呈現(xiàn)操作結(jié)果，并進行歸納整理，得出規(guī)律。其教學(xué)組織形式可參考圖9。

圖9 規(guī)律探究類拓展課教學(xué)流程

【案例8】圓餅切切切

一張很薄的圓餅，在圓面上切相同的刀數(shù)，怎樣才能切出最多的塊數(shù)？教學(xué)中從簡單的切1 刀和切2 刀入手，深入探究切3 刀、4 刀的情況，借助橡皮泥，清晰地呈現(xiàn)交叉點個數(shù)和所切塊數(shù)之間的關(guān)系（如圖10），引導(dǎo)學(xué)生歸納整理，感悟切的刀數(shù)和最多可切成塊數(shù)之間的關(guān)系。

圖10 《圓餅切切切》教學(xué)示意圖

4.生活問題類：用數(shù)學(xué)思維抽象建構(gòu)

生活問題類的數(shù)學(xué)拓展課，往往需要將生活問題提煉為數(shù)學(xué)問題，制定研究方案，在此基礎(chǔ)上進行操作實踐，得出結(jié)論并加以應(yīng)用。其教學(xué)組織形式可參考圖11。

圖11 生活問題類拓展課教學(xué)流程

【案例9】哪部電梯來得快

三年級拓展內(nèi)容“電梯問題”中，創(chuàng)設(shè)給一幢8層建筑樓安裝電梯的情境，探究兩部電梯“使用哪種安裝方案來得快”這一問題。并提供三種方案供學(xué)生討論①：兩部電梯都逐層停靠；方案②：一部單層?？俊⒁徊侩p層?？?；方案③：一部低層（1～4樓）?？?、一部高層（5～8 樓）?？俊W(xué)生在體驗觀察、多次測量、合理假設(shè)后，考察底層上客時間、每上一層的時間等關(guān)鍵因素對電梯運送時間的影響，并畫圖推演探究“單雙層停靠模式”和“高低層?？磕Ｊ健钡冗\行方式的不同（如圖12）。

圖12 《哪部電梯來得快》教學(xué)示意圖

四、意義與價值

借助研發(fā)學(xué)材開展小學(xué)數(shù)學(xué)拓展性教學(xué)，是一種能力導(dǎo)向的教學(xué)，落腳點是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，是學(xué)生解決問題能力和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升。

（一）突顯直觀操作，促進數(shù)學(xué)思維可視

實物操作可以促進數(shù)學(xué)思維的可視化，在新、舊知識結(jié)構(gòu)間搭建橋梁，降低教與學(xué)的難度?；趯W(xué)材開發(fā)的拓展性課程，如拼擺磁力片研究正方體展開圖、移動綠豆研究病毒傳播途徑等，都能夠更好地凸顯直觀操作的力量。

（二）培養(yǎng)工具意識，豐富問題解決策略

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。拓展性教學(xué)不僅要幫助學(xué)生樹立正確運用教師所提供的學(xué)習(xí)材料解決實際問題的工具意識，更要培養(yǎng)學(xué)生“自助”的能力。當(dāng)遇到新的問題時，嘗試主動尋找合適的“工具”展開研究，激活相關(guān)聯(lián)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐漸完善問題解決的策略。

（三）基于問題解決，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“問題解決”是拓展性教學(xué)的核心?；趯W(xué)材的拓展性教學(xué)，往往圍繞學(xué)材提出核心問題，例如：“A4 紙的尺寸為什么是這樣的？”“一張A4 紙折疊42 次有多高？”等。圍繞這些問題，學(xué)生嘗試依托學(xué)材進行規(guī)律探尋、追根溯源，喚醒原先碎片化的知識，綜合運用知識和經(jīng)驗尋找解決問題的策略，并通過推理得出結(jié)論，提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（四）更新教學(xué)方式，孕伏項目學(xué)習(xí)模式

一些生活類問題的拓展性教學(xué)，如前文提到的“哪部電梯來得快”等內(nèi)容，其實已經(jīng)孕伏了項目學(xué)習(xí)的影子，能夠更好地喚醒學(xué)生的問題意識，做好方法技能的準(zhǔn)備，有利于后繼項目教學(xué)的展開。

總的來說，開發(fā)和積累研究性學(xué)材，煥發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)材的生命活力。以此展開的數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)，拓寬了學(xué)習(xí)的探究空間，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合素養(yǎng)，滿足了學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的需求。