【摘 要】 大約40年來，我國高中微積分課程的地位較不穩(wěn)定.當前，最新高中數(shù)學課程標準在微積分方面存在選擇性必修課程內容偏少、選擇性必修課程和選修課程之間銜接不暢以及選修課程存在實施挑戰(zhàn)等問題.從明確定位、充實內容、完善分層和對接高考四個角度進行探討，以期為改進我國的高中微積分課程形成建議和展望.

【關鍵詞】 高中;數(shù)學課程;課程標準;微積分

前 言

大約40年來，我國高中微積分課程的地位較不穩(wěn)定，呈現(xiàn)出“鐘擺現(xiàn)象”[1].當前，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》一方面在選擇性必修課程中削減了微積分內容，一方面在部分選修課程中設置“微積分”專題，使得微積分課程的內容再次發(fā)生變化.頻繁的變化雖是應時而生，但從長遠角度看，不利于課程傳統(tǒng)的積淀和教學經(jīng)驗的積累.為改進我國的高中微積分課程，本文第一部分簡要回顧“1978大綱”至“2003標準”中微積分課程的變遷，第二部分指出“2017標準”在微積分方面存在的一些問題，最后以前兩部分為基礎，從明確定位、充實內容、完善分層和對接高考四個角度提出建議和展望.

1 對1978年以來高中微積分課程的簡要回顧

新中國成立以來，首次將較為系統(tǒng)的微積分內容正式納入國家高中數(shù)學課程的，是1978年頒布的《全日制十年制學校中學數(shù)學教學大綱（試行草案）》，其中微積分內容課時占比約20%.隨后的“1980大綱”“1982大綱”和“1983綱要”也都設置微積分內容.后來，微積分的地位一度被弱化.先是“1986大綱”將微積分等內容列入附錄，再是“1990大綱”將微積分作為選學內容，且不作高考要求.至此，微積分內容在一定程度上“形同虛設”.

20世紀末，在經(jīng)歷一段沉寂后，微積分在“1996大綱”中重回高中數(shù)學課程，而后在“2000大綱”和“2002大綱”中有所調整和刪減.進入21世紀，我國高中數(shù)學課程的理念由知識為本轉向過程為本、關注學生發(fā)展.于是，“2003標準”更加重視數(shù)學的思想、方法和過程，體現(xiàn)在微積分方面的主要變化有兩點：第一，更為注重知識的探索過程和直觀了解，對嚴格的定義和推理等淡化.這樣的處理，有利于學生的接受，也有助于體現(xiàn)課程改革的新理念，因而有其積極意義.第二，跳過極限、略去不定積分，試圖重組高中微積分內容的理論結構.這樣的處理精減掉了部分學習內容，對緩解課時緊張、減輕課業(yè)負擔有一定幫助，而其不足之處是邏輯鏈條不夠嚴謹、順暢.遺憾的是，“2017標準”刪去了涉及積分的部分，未能從真正意義上使“2003標準”的邏輯鏈條得以完善.

通過以上回顧可以發(fā)現(xiàn)，從“1978大綱”到“2003標準”，我國高中微積分課程存在三方面的問題：第一，在學與不學、學多學少的問題上存在徘徊;第二，學習內容的選取、編排和處理有待繼續(xù)打磨;第三，課程實施受高考影響較大，發(fā)生過不考則不學的情況.

2 對2017年版高中數(shù)學課程標準微積分內容的思考

在微積分方面，“2017標準”體現(xiàn)了“分層分類”的設計思路.選擇性必修課程在“函數(shù)”主題設置“一元函數(shù)導數(shù)及其應用”單元，并作為高考要求;選修課程在A類課程（數(shù)理類）和B類課程（經(jīng)濟、社會類和部分理工類）設置“微積分”專題，二者內容有所不同;此外，選修課程E類課程的“大學數(shù)學的先修”也包含微積分內容.

對比“2017標準”與“2003標準”中的微積分內容，如果說選擇性必修課程體現(xiàn)了繼承，那么可以說選修課程體現(xiàn)了發(fā)展.在繼承和發(fā)展中，有必要化解既有問題，也應注意避免導致新的問題.從這個角度出發(fā)，本部分指出“2017標準”在微積分方面存在的一些不足.

2.1 選擇性必修課程中微積分內容偏少

“2017標準”必修課程和選擇性必修課程的課時總數(shù)少于“2003標準”的理科要求，縮減幅度達到八分之一.為確保教學質量，“2017標準”確有必要刪減先前理科要求中的部分內容.定積分不屬于高中數(shù)學課程的主干內容，刪除后不影響整體結構，且在大學階段將有系統(tǒng)學習;因此，刪去定積分和微積分基本定理等內容有其合理之處.

但是，“2017標準”選擇性必修課程在先前的文理科要求之間“就下不就上”，使得微積分內容進一步減少，這種現(xiàn)象應引起重視和反思.當前，我國高中數(shù)學課程微積分內容的權重大幅低于法、德、日等國[2].另外，有研究將包含我國“2003標準”（“選修2-2”）在內的14個微積分課標進行比較，發(fā)現(xiàn)我國“2003標準”（“選修2-2”）的廣度、深度和難度在14個課標中均位于倒數(shù)第二位[3].該研究的樣本來自若干發(fā)達國家以及國際數(shù)學教育比較中排位靠前的若干國家或地區(qū)，范圍較廣且有一定代表性.這些樣本側重理科、工程類，并作為大多數(shù)高中生的升學要求.由此可知，我國“2003標準”（“選修2-2”）中的微積分內容與樣本中的其他課標已經(jīng)存在明顯差距.然而，“2017標準”中作為高考要求的微積分內容不增反減，未作出有助于縮小上述差距的調整.

2.2 微積分內容在選擇性必修課程與選修課程之間的銜接有待完善

選修課程中的微積分內容彌補了選擇性必修課程微積分內容偏少的不足，但是選修課程與選擇性必修課程之間跨度偏大.以A類課程為例.首先，選擇性必修課程基本沿用“2003標準”中借助直觀或實例的方式，但A類課程對抽象性和嚴謹性有較高的要求，在抽象、推理和運算等方面邁的步子較大.其次，A類課程以“數(shù)列極限”和“函數(shù)極限”為起點，并對ε-N定義和ε-δ定義有要求，而選擇性必修課程延續(xù)“2003標準”，未設置關于數(shù)列極限或函數(shù)極限的內容.雖然選擇性必修課程增加了“體會極限思想”的表述，但相關知識的要求較為模糊.由于對極限的概念和性質未作充足鋪墊，直接開展ε-N定義和ε-δ定義的教學存在一定跨越.所以，在微積分方面，有必要改進兩類課程之間的銜接.

2.3 選修課程的實施挑戰(zhàn)仍然存在

“2003標準”選修課程“系列3”和“系列4”在實施過程中存在“不考就不學”的問題，原因主要有三點：第一，限于學習時間，對高考不考的內容無暇顧及;第二，對師資要求較高且參考資料較為短缺;第三，學生傾向于輕松簡單的課程，以獲得相同的學分[2]. “2017標準”選修課程中的微積分內容不屬于高考范圍，且難度較大，十余年來微積分在我國高中數(shù)學課程中處于相對次要的地位，師資和資料出現(xiàn)一定的斷層.有鑒于此，“2017標準”選修課程的微積分內容仍有可能面對上述三點原因的挑戰(zhàn).所以，包含微積分內容在內的“2017標準”選修課程應汲取“2003標準”選修課程“系列3”和“系列4”的經(jīng)驗和教訓，力求落實課程實施.

3 對我國高中微積分課程的建議和展望

鑒于在以上兩部分中發(fā)現(xiàn)的問題，我國的高中微積分課程仍然有待進一步改進和完善.本部分針對上述問題，從明確定位、充實內容、完善分層和對接高考四個角度，給出建議和展望.

3.1 明確定位

為避免微積分成為可有可無、可多可少的內容，有必要明確高中微積分課程的定位.具體地，可從微積分課程的基礎性和價值性展開思考.

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準解讀（2017年版）》，高中數(shù)學課程的基礎性主要體現(xiàn)在三個方面：第一，“高中數(shù)學課程在課程內容上包含了數(shù)學中最基本的部分”;第二，“為學生適應未來社會生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展提供必要的數(shù)學基礎”;第三，“為高中物理、化學、技術等其他學科學習提供必要的知識準備” [2].可從這三個方面思考高中微積分課程的基礎性.首先，微積分是一種重要的數(shù)學理論，對開拓近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的新局面貢獻巨大.雖然微積分誕生時間較晚且難度偏大，但是有關的思想和方法、事實和應用等使微積分在數(shù)學的理論和應用中占據(jù)較為核心的位置.其次，微積分是大學理工類專業(yè)的必修內容，高中微積分課程可為大學階段打下基礎.若學生在大學不必學習微積分，高中微積分課程亦可起到一定的常識積累作用.最后，微積分與高中階段一些其他學科關聯(lián)緊密.例如，在物理學科，可從求導和求積分的角度理解速度與加速度、速度與位移之間的關系，而位移與加速度的關系又為二階導函數(shù)提供了直觀的背景.又如，高中物理課程中的牛頓第二定律、動量定理和動能定理通常作為三個相對獨立的內容來處理，如若借助微積分發(fā)現(xiàn)其間的關聯(lián)，將有助于學生的深層理解和融會貫通.綜合以上三點，可以肯定高中微積分課程中的基礎性.而且，這三點也為把握微積分內容的多少和深淺提供考量依據(jù).

關于微積分在數(shù)學和教育上的價值，已有一些文獻進行論述[4，5].當前，在“核心素養(yǎng)”的語境下，可重新挖掘微積分在數(shù)學教育上的價值.首先，“數(shù)學學科核心素養(yǎng)”由數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等六種構成，在微積分的學習與這六種能力或素養(yǎng)的養(yǎng)成之間，存在相互依存、相互促進的關系.通過將微積分的具體學習內容與上述六種能力或素養(yǎng)的內涵和要素建立聯(lián)系，可從“數(shù)學學科核心素養(yǎng)”的角度重新闡釋微積分在數(shù)學教育上的價值.其次，在“數(shù)學核心素養(yǎng)的本質在于用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的綜合素養(yǎng)”的觀點下，數(shù)學抽象和直觀想象是“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”，邏輯推理和數(shù)學運算是“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”，數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析是“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”[6].從這個角度看，作為方法、思想和知識的微積分，既是一種數(shù)學的眼光，也是一種數(shù)學的思維，還是一種數(shù)學的語言.最后，孔凡哲和史寧中老師認為中國學生發(fā)展的數(shù)學核心素養(yǎng)必須涵蓋三種成分：第一，“學生經(jīng)歷數(shù)學化活動而習得的數(shù)學思維方式”;第二，“學生數(shù)學發(fā)展所必需的關鍵能力”;第三，“學生經(jīng)歷數(shù)學化活動而形成的良好的數(shù)學品格及健全人格養(yǎng)成” [7].析取上述三種成分的關鍵詞，并將其與微積分建立關聯(lián)，也有助于從“核心素養(yǎng)”的角度把握高中微積分課程的價值.例如，關于數(shù)學化，“數(shù)學化其實就是從（數(shù)學外部的）現(xiàn)實（世界）到數(shù)學內部，從數(shù)學內部發(fā)展，再到現(xiàn)實中（以及應用于其他學科之中）的全過程”.數(shù)學化的過程包含三個階段，即現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學內部規(guī)律化、數(shù)學內容現(xiàn)實化[8].微積分中一些概念的提出、一些事實的探索和推導以及一些結論的應用，可為數(shù)學化的三個階段提供案例和素材;反之，數(shù)學化的三個階段也為理解微積分提供新的視角，而不僅是將微積分視為知識和技能的堆砌.又如，“健全人格”是一些心理特征的合稱，包含情感過程和意志過程等非智力因素.微積分在高中數(shù)學課程中難度偏大，學習過程中的困難和挑戰(zhàn)可使微積分在培養(yǎng)學生健全人格方面發(fā)揮獨到的作用.

基礎性和價值性可為高中微積分課程的定位提供準繩，雖然其中細節(jié)仍有繼續(xù)探索的空間，但是以高中微積分課程的定位為指導原則，有助于避免學習內容因外部因素而發(fā)生大幅度的起伏和徘徊.

3.2 充實內容

在微積分方面，為了向存在學習需求的學生（特別是資優(yōu)生）提供充足的學習機會，并且改善學習內容偏少的問題，有必要充實高中微積分課程.

高中微積分課程的內容應具備完整性.完整性是指高中微積分課程能夠涵蓋一元微積分學的梗概內容，如極限、導數(shù)與微分、不定積分和定積分等.梗概內容可包含適量且適度的微分方程，并應當包括一元微積分學中的一些基本關系，如極限與導數(shù)的關系、極限與定積分的關系、導數(shù)與積分的關系和不定積分與定積分的關系等.上述的梗概內容可支撐起一元微積分的理論框架和邏輯體系，也可涵蓋微積分產生之初有待解決的四類問題（變速運動、曲線切線、函數(shù)最值、體積與面積等），從而在一定程度上體現(xiàn)對微積分發(fā)生歷史的尊重.國際上，將上述梗概內容納入高中數(shù)學課程的國家為數(shù)不少，說明以高中學生的認知水平學習這些內容具備一定可行性.

將較為完整的微積分內容納入高中數(shù)學課程，有必要考慮課程內容的可接受程度.微積分的理論具有概念抽象和邏輯嚴謹?shù)忍攸c，因而高中微積分課程應處理好抽象與直觀、嚴謹與量力等矛盾.首先，為避免過度形式化，可借助直觀.一些幾何問題與微積分關聯(lián)密切，可為借助直觀提供較為豐富的背景和素材.針對極限，可通過直觀引入概念和介紹性質，將極限的思想、運算和符號等作為后續(xù)內容的邏輯基礎;事實上，已有高校教材采用此策略[9].其次，一些推理和證明可能成為難點或障礙，為不失邏輯嚴謹性，可考慮對微積分的理論體系和邏輯線索作適當調整.例如，既可采用黎曼和的極限來定義定積分，而后論證定積分與原函數(shù)的關系;也可從原函數(shù)出發(fā)將牛頓—萊布尼茨公式作為定積分的定義，接下來再探討定積分與被積函數(shù)圖象下方曲邊梯形面積的關系.對于定積分，上述第二種定義方式可將繁難的推理和證明向后移動，從而起到簡化引入過程的作用.不同的理論體系或邏輯線索各有其長短，在取用時應以學生易于接受、易于理解為宜.

3.3 完善分層

微積分屬于難度較大的學習內容，而且單一化的學習內容無法適合所有的學生.因此，高中微積分課程還應具備層次性.層次性是指對學習內容進行有差異的選擇、編排和處理，形成不同的系列或等級，供不同的學生使用.為使微積分內容具有層次性，可采用并列或遞進兩種方式.在并列方式中，不同的學習內容相對獨立，學生只需學習其中一種;在遞進方式中，學習內容分為基本層次和較高層次，二者具有先后關系，學生可以只學習基本層次，也可以在學習基本層次之后繼續(xù)學習較高層次.

我國以往文科和理科的微積分課程是并列關系，文科課程通常是由理科課程經(jīng)刪減內容或降低要求后得到，因而處理方式比較簡單.“2017標準”選擇性必修課程和選修課程的微積分內容可以形成遞進，但在基礎層次應該包含哪些內容、如何劃分層次之間的界限以及怎樣處理兩個層次之間銜接和過渡等問題上，還有待繼續(xù)斟酌和打磨.

為完善區(qū)分層次的高中微積分課程，可以考察其他國家的一些做法.關于并列的方式，可以法國2011年修訂的高三年級積分課程為例[10].一方面，文科系列和理科系列在內容上基本相同，都包含定積分的定義和符號、微積分第一基本定理以及定積分的性質等，二者的區(qū)別主要體現(xiàn)在一些內容的具體要求上，比如是否介紹原函數(shù)存在性的證明以及對哪些形式的函數(shù)求原函數(shù)等.另一方面，除了文科和理科兩個系列，高三年級數(shù)學課程還設置了其他系列，例如實驗室科學技術系列.該系列的積分部分與文、理科系列明顯不同，主要特點是對牛頓—萊布尼茨公式予以直接承認或直觀認識.可見，以并列的方式設計分層次的微積分課程時，除了可對內容和要求作有差別的處理，還可對不同類別采用不同的理論結構和邏輯線索.

關于遞進的方式，可以韓國和日本為例.兩國高中數(shù)學課程都由若干科目構成，二者都將兩種層次的微積分內容分別設置于存在先后關系的兩個科目之中[11][12].學生可以只選擇前一個科目，也可順次選擇兩個科目.兩國高中數(shù)學課程對微積分內容的選取、編排和處理雖略有不同，但在以遞進方式體現(xiàn)層次性方面有三個共同特點：第一，基本層次和較高層次都涵蓋極限、微分和積分，兩個層次都基本具備前文所述的完整性;第二，在層次的劃分上，基本層次通常只處理多項式函數(shù)，較高層次處理多項式函數(shù)之外的一些基本初等函數(shù)以及一些較為復雜或深入的內容，如函數(shù)的商的導函數(shù)、復合函數(shù)的導函數(shù)、二階導函數(shù)、換元積分法和分部積分法等;第三，基本層次和較高層次銜接自然、過渡緩和，且兩個層次之間可形成“螺旋上升”.基于以上三點，在以遞進方式體現(xiàn)層次性方面，韓國和日本的高中數(shù)學課程可從內容的框架、劃分的基準和層次的連結等三個方向給予啟示.

3.4 對接高考

高考在很大程度上對課程實施起到“指揮棒”的作用，因此有必要將對接高考作為高中微積分課程的實施保障之一.曾經(jīng)一段時期，微積分不在高考范圍內，因而一度成為高中數(shù)學課程的閑置內容.新世紀以來，隨著微積分進入高考，高中數(shù)學教學又將微積分作為不可或缺的內容.“2017標準”將選擇必修課程的微積分內容納入高考考查范圍，但是選修課程的微積分內容無法體現(xiàn)于高考.因此，“2017標準”未能在微積分方面完全實現(xiàn)課程與高考的一致性.

對比之下，與我國高考較為類似的日本“大學入學試驗”和韓國“大學修學能力考試”在微積分方面則實現(xiàn)了課程與考試的對接.兩國現(xiàn)行考試的數(shù)學學科都設置兩個層次的試卷，一為基本層次、一為較高層次.前者考查高中微積分課程的基本層次內容，后者則考查較高層次內容[13，14].于是，區(qū)分層次的微積分課程與區(qū)分層次的考試形成對應，體現(xiàn)出課程和考試的一致性.另外，韓國自2022年將采用新的考試方案[15]，數(shù)學學科不再區(qū)分層次，而是將試卷劃分為必考和選考兩個部分.基本層次的微積分課程屬于必考部分，較高層次的微積分課程作為選考部分中的一項備選，從而繼續(xù)實現(xiàn)微積分課程和考試的完整對接.在我國，鑒于高考對課程實施的特殊影響力，有必要進一步探索高中微積分課程和高考之間的對接方案.

針對我國的高中微積分課程，以上從明確定位、充實內容、完善分層和對接高考四個角度作了探討.雖然部分細節(jié)仍有待充實和完善，但這四個角度可為改進我國的高中微積分課程提供一些參考方向.誠然，課程設計和教學落實是一系列的復雜過程，并受到多種因素的影響和制約.在諸多考量的權衡中，如若對高中微積分課程的基礎性和價值性、學習內容的完整性和層次性以及課程與高考一致性等方面形成更多的共識，那么對改進我國的高中微積分課程并使其盡量保持穩(wěn)定，應是有裨益的.

參考文獻

[1] 楊慧娟，孟夢.微積分初步在新中國高中數(shù)學課程中的歷史變遷[J].數(shù)學教育學報，2016，25（01）：25-27.

[2] 普通高中數(shù)學課程標準修訂組. 普通高中數(shù)學課程標準解讀（2017年版）[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3] 張玉環(huán)，王沛.高中微積分課程國際比較研究——基于十個國家和地區(qū)的十四個課標研究[J].數(shù)學教育學報，2016，25（02）：36-43.

[4] 胡典順.新課程中的微積分及其教育價值[J].數(shù)學教育學報，2010，19（01）：13-16.

[5] 宋寶和，房元霞.逾越形式化極限概念的微積分課程——《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》實證研究[J].數(shù)學教育學報，2004（04）：55-58.

[6] 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民.關于高中數(shù)學教育中的數(shù)學核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017，37（04）：8-14.

[7] 孔凡哲，史寧中.中國學生發(fā)展的數(shù)學核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成途徑[J].教育科學研究，2017（06）：5-11.

[8] 孔凡哲. 學會數(shù)學化切實提升數(shù)學學科素養(yǎng)[J]. 小學數(shù)學教師，2015（06）：19-24.

[9] 龔昇. 簡明微積分（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[10] Ministère de l'ducation nationale.PROGRAMMES DES CLASSES TERMINALES DES VOIES GNRALE ET TECHNOLOGIQUE [EB/OL]. （2011-10）[2020-01-12] https：//cache.media.education.gouv.fr//file/special_8_men/11/6/BO-SPE8_MEN_13-10-11_197116.pdf.

[11] 文部科學省. 高等學校學習指導要領（平成30年告示）[M].東京：文部科學省，2018.

作者簡介 安彥斌（1983—），男，天津人，首都師范大學數(shù)學科學學院在讀博士生.