■鐘鳴 張泉

一、比賽之后的思考

2017年11月，江蘇省青年教師優(yōu)秀課（初中數(shù)學(xué)）從“前建構(gòu)”視角確定賽題；2018年11月，江蘇省青年教師教學(xué)基本功大賽（初中數(shù)學(xué)）從“后建構(gòu)”視角確定賽題。賽后總結(jié)會(huì)上，董林偉先生介紹：學(xué)習(xí)的一般規(guī)律是，先進(jìn)行“前建構(gòu)”，再局部深入，最后通過(guò)反思進(jìn)行“后建構(gòu)”，形成整體認(rèn)識(shí)。

他認(rèn)為，“前建構(gòu)”要解決三個(gè)問(wèn)題：為什么學(xué)（知識(shí)的重要性與必要性），學(xué)什么（知識(shí)技能、思想方法），怎么學(xué)（提供學(xué)習(xí)基本線索、基本支架）。相應(yīng)地，筆者認(rèn)為，“后建構(gòu)”也要解決三個(gè)問(wèn)題：知識(shí)之間有何實(shí)質(zhì)性聯(lián)系（基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)），這些知識(shí)如何運(yùn)用（思想方法結(jié)構(gòu)），知識(shí)運(yùn)用的智慧在哪里（能力素養(yǎng)立意）。

事實(shí)上，章尾課通常包括數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐、章復(fù)習(xí)課等課型。本文以“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”的復(fù)習(xí)為例，具體闡述后建構(gòu)課堂的章尾復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)方法。

二、后建構(gòu)課堂的設(shè)計(jì)

從“后建構(gòu)課堂”的視角來(lái)看章尾復(fù)習(xí)課，首先要“建構(gòu)基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)”，其次要“建構(gòu)思想方法結(jié)構(gòu)”，最后要“聚焦能力素養(yǎng)立意”。

1.建構(gòu)基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了“圖形的平移”“軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形”，積累了一定的圖形運(yùn)動(dòng)變化的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，本章繼續(xù)發(fā)展了學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、分析推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在本章的章首課和章中課中，教師從生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，通過(guò)操作、實(shí)驗(yàn)、觀察、思考、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷合情推理和演繹推理的探索過(guò)程，學(xué)生初步具備了探尋知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的基本能力、運(yùn)用單個(gè)知識(shí)的能力以及對(duì)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行抽象、推理、探究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。但是，知識(shí)體系在學(xué)生頭腦中還未形成，存在模糊不清的地方（如四種特殊四邊形之間的關(guān)系）、似是而非的地方（如判定和性質(zhì)的混淆）、記憶不深的地方（如中點(diǎn)四邊形的形狀等），有些方法（如中點(diǎn)的聯(lián)想、模型的遷移等）還不夠熟練，有些能力（如運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變換解決問(wèn)題）比較薄弱。復(fù)習(xí)前，孤立、分離的知識(shí)和模糊的認(rèn)識(shí)，有必要整理，串線，連片，結(jié)網(wǎng)，縱橫聯(lián)系形成系統(tǒng)，分析并建立整章的系統(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，本章內(nèi)容由三塊組成：探索圖形的旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)；平行四邊形、矩形、菱形及正方形的性質(zhì)與判定；利用圖形的旋轉(zhuǎn)研究三角形的中位線。教材以中心對(duì)稱為主線，展開(kāi)對(duì)平行四邊形和三角形中位線這兩個(gè)方面的研究，其中將平行四邊形特殊化，分別研究了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，還將三角形的中位線進(jìn)行拓展，研究了特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀。教師分析并建立整章的系統(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖1），有助于全面考慮教學(xué)內(nèi)容，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)一章內(nèi)容形成整體而系統(tǒng)的認(rèn)知。如此，就把握了本章的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)。

圖1

2.建構(gòu)思想方法結(jié)構(gòu)。

加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，是全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要途徑。在關(guān)注知識(shí)整體建構(gòu)的同時(shí)，更要關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)賴以形成的思想方法。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅包括知識(shí)結(jié)果，更包括結(jié)果形成過(guò)程中的思想方法。在一章學(xué)習(xí)中，學(xué)生既經(jīng)歷了知識(shí)的形成過(guò)程，也經(jīng)歷了知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程，體會(huì)一章的主導(dǎo)思想方法在“獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問(wèn)題”中的作用，是“溫故知新”的“新”之所在。在章尾課中建構(gòu)思想方法結(jié)構(gòu)，更能引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的方式理解世界”，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在魅力。

圖2

本章中，借助旋轉(zhuǎn)探究圖形的性質(zhì)，理解旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，需要空間想象；探索特殊四邊形的判定、理清特殊四邊形之間的關(guān)系，需要觀察操作、歸納猜想和推理；分析復(fù)雜的圖形，往往需要從中剝離基本圖形，需要模型思想；運(yùn)用性質(zhì)判定進(jìn)行問(wèn)題的解決，往往需要借助圖形的運(yùn)動(dòng)、條件的轉(zhuǎn)化、模型的遷移等方法。對(duì)這些思想方法的揭示（如圖2），有利于知識(shí)與能力的鞏固和提升，使其內(nèi)化為學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)與思維習(xí)慣。

3.聚焦能力素養(yǎng)。

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）指出：“數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！焙蠼?gòu)課堂強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的反思和對(duì)應(yīng)用過(guò)程的體悟，重視對(duì)知識(shí)的綜合貫通、靈活組合和創(chuàng)新應(yīng)用，教學(xué)立意更關(guān)注知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值以及知識(shí)運(yùn)用中蘊(yùn)含的思想方法，訓(xùn)練高階思維，增強(qiáng)創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。

本章突出了圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。一方面作為知識(shí)的起點(diǎn)，串聯(lián)了中心對(duì)稱的性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)；另一方面作為解題思路的起點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)移邊或角的位置，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。這兩方面對(duì)落實(shí)“幾何直觀”“推理能力”“模型思想”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重要價(jià)值。

4.課堂教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)。

基于上述分析，本章章尾復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)確定如下：（1）回顧本章所學(xué)內(nèi)容，能從旋轉(zhuǎn)的角度梳理幾種平行四邊形之間的關(guān)系，對(duì)本章知識(shí)有全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)；（2）以旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為突破口，進(jìn)一步掌握分析、推理的思考方法，熟練掌握綜合法的書(shū)寫(xiě)格式；（3）經(jīng)歷圖形運(yùn)動(dòng)變換的過(guò)程，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。其中，目標(biāo)（1）為重點(diǎn)，目標(biāo)（2）為難點(diǎn)。設(shè)計(jì)簡(jiǎn)案如下。

環(huán)節(jié)1 建構(gòu)系統(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu)

問(wèn)題1 觀察圖3-1中△AOB的運(yùn)動(dòng)，你能找到哪些等量關(guān)系？

問(wèn)題2 若將旋轉(zhuǎn)角度定為180°，如圖3-2，你能找到哪些其他的關(guān)系？

問(wèn)題3 你能以文字的形式歸納旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱的性質(zhì)嗎？

圖3-1

圖3-2

【說(shuō)明】通過(guò)幾何直觀，在觀察的基礎(chǔ)上喚起記憶，回顧并梳理旋轉(zhuǎn)及中心對(duì)稱的定義、性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。

問(wèn)題4 利用中心對(duì)稱的性質(zhì)，我們是如何研究特殊四邊形的性質(zhì)的呢？閱讀教材八年級(jí)下冊(cè)第64—65頁(yè)，以探究平行四邊形的性質(zhì)為例，用你自己的話說(shuō)說(shuō)研究的思路。

【說(shuō)明】重讀教材，既體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法，建構(gòu)中心對(duì)稱與平行四邊形的聯(lián)系，又引導(dǎo)學(xué)生重視教材學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)作用。

問(wèn)題5 填表——梳理平行四邊形與矩形、菱形、正方形的性質(zhì)。

平行四邊形矩形菱形正方形邊的關(guān)系 角的關(guān)系 對(duì)角線關(guān)系 對(duì)稱性

【說(shuō)明】表格能更直觀地做對(duì)比。通過(guò)四個(gè)方面的比較，梳理四類(lèi)特殊四邊形的性質(zhì)的異同點(diǎn)，幫助學(xué)生理清模糊點(diǎn)和混淆點(diǎn)。

問(wèn)題6 如圖4，利用中心對(duì)稱的性質(zhì)，我們還研究了三角形的什么問(wèn)題？

圖4

問(wèn)題7畫(huà)一些不同形狀的四邊形，分別連接它們四邊的中點(diǎn)構(gòu)成四邊形（叫作中點(diǎn)四邊形），說(shuō)說(shuō)中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀，并說(shuō)明理由。

【說(shuō)明】通過(guò)中心對(duì)稱回顧中位線的性質(zhì)，并運(yùn)用中位線的性質(zhì)拓展中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，完善整章知識(shí)結(jié)構(gòu)。

環(huán)節(jié)2建構(gòu)思想方法結(jié)構(gòu)

例1如圖5，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，再將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FEC，連接DA、EF。求證：四邊形ADEF是平行四邊形。

變式1如果AB=AC，四邊形ADEF是何特殊四邊形？

變式2如果∠BAC=150°，四邊形ADEF是何特殊四邊形？

變式3△ABC滿足什么條件，四邊形ADEF會(huì)是正方形？

問(wèn)題：平行四邊形與矩形、菱形、正方形有何關(guān)系？

圖5

圖6

圖7

【說(shuō)明】在問(wèn)題解決過(guò)程中領(lǐng)悟四類(lèi)特殊四邊形之間的聯(lián)系，挖掘解決問(wèn)題的基本方法，積累旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的解決經(jīng)驗(yàn)，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思想，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）。

例2如圖6，在正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AD上，且CQ平分∠DCP。求證：CP=BP+DQ。

問(wèn)題：有其他方法解決問(wèn)題嗎？

【說(shuō)明】指向目標(biāo)（2），鼓勵(lì)學(xué)生大膽想象、大膽嘗試，從旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角度尋找解決問(wèn)題的突破口，積累解題經(jīng)驗(yàn)，感悟圖形運(yùn)動(dòng)中的不變量，體悟“圖形運(yùn)動(dòng)是演繹推理思路的源”，同時(shí)與等腰三角形知識(shí)相關(guān)聯(lián)，打通數(shù)學(xué)內(nèi)部不同章節(jié)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)綜合運(yùn)用的能力。

例3如圖7，四邊形ABCD為正方形，△CEF為等腰直角三角形，連接AE、AF，M是AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交AF于點(diǎn)N，求證：DN⊥AF。

問(wèn)題1你能用思維導(dǎo)圖的形式表達(dá)你對(duì)“中點(diǎn)”的聯(lián)想思路嗎？

問(wèn)題2對(duì)于“中點(diǎn)”，你還能聯(lián)想到什么？有其他方法解決此題嗎？

【說(shuō)明】例3是本節(jié)課的難點(diǎn)——題目條件、結(jié)論看似零散，它們之間如何建立聯(lián)系？引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷聯(lián)想與轉(zhuǎn)化的有序思維串是突破問(wèn)題的關(guān)鍵，例如中點(diǎn)→中位線→平行線→角關(guān)系→互余→垂直。引導(dǎo)學(xué)生在交流中碰撞思維，加深對(duì)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)理解圖形、解決問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。教師還可以提煉△BFC與△DCE構(gòu)成的“手拉手模型”，培養(yǎng)模型思想，為以后解題積累經(jīng)驗(yàn)。

環(huán)節(jié)3建構(gòu)能力素養(yǎng)結(jié)構(gòu)

經(jīng)過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)，你對(duì)旋轉(zhuǎn)或本章知識(shí)有了哪些新的認(rèn)識(shí)？對(duì)于今天的解題，你有何感受？

【說(shuō)明】知識(shí)再認(rèn)識(shí)、方法再提煉、思想再升華、能力再提高是復(fù)習(xí)課中最重要的方面。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，體悟應(yīng)用過(guò)程，幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟基本數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)情感，豐富和完善能力素養(yǎng)結(jié)構(gòu)。

三、課例設(shè)計(jì)說(shuō)明

“后建構(gòu)課堂”的章尾復(fù)習(xí)課強(qiáng)調(diào)在整體把握整章知識(shí)的基礎(chǔ)上，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將點(diǎn)狀知識(shí)縱橫聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)。深入挖掘知識(shí)形成和應(yīng)用過(guò)程中所蘊(yùn)含的思想方法，建立思想方法結(jié)構(gòu)，發(fā)展能力素養(yǎng)，提高單元復(fù)習(xí)效益。

本節(jié)課以旋轉(zhuǎn)為切入點(diǎn)，利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，呈現(xiàn)出生動(dòng)活潑的動(dòng)態(tài)畫(huà)面，豐富了學(xué)生的幾何直觀，為梳理幾類(lèi)特殊四邊形的性質(zhì)，建構(gòu)系統(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu)提供了有利條件；以旋轉(zhuǎn)為演繹推理之源對(duì)典型例題進(jìn)行剖析，并通過(guò)追問(wèn)和變式的方式，引領(lǐng)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，體悟知識(shí)的本質(zhì)，延伸思維和方法，自然建構(gòu)思想方法結(jié)構(gòu)；通過(guò)小結(jié)交流，引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)自己的學(xué)習(xí)感受，深化方法內(nèi)涵，豐富情感體驗(yàn)，發(fā)展能力素養(yǎng)，體現(xiàn)教學(xué)立意。

四、后繼研究展望

從李庾南老師“學(xué)材再建構(gòu)”開(kāi)始，“單元教學(xué)”逐漸進(jìn)入了研究者的視野。筆者認(rèn)為章、單元、節(jié)都是用于“分段敘事”的“敘事”段群，它們共同構(gòu)成了教材編寫(xiě)的三級(jí)結(jié)構(gòu)。一章可以劃分為若干單元，一個(gè)單元由若干節(jié)組成，有必要分別從“前建構(gòu)”“中建構(gòu)”“后建構(gòu)”的視角研究章首課、章中課和章尾課的設(shè)計(jì)。

專(zhuān)題復(fù)習(xí)作為一類(lèi)復(fù)習(xí)課，旨在構(gòu)建同類(lèi)異形問(wèn)題的解決通法，是一種“后建構(gòu)”；“綜合與實(shí)踐”注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間的聯(lián)系和綜合應(yīng)用，也是一種“后建構(gòu)”。綜合三類(lèi)課型的特征，筆者認(rèn)為：后建構(gòu)課堂是指在后建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下，在新知識(shí)教學(xué)結(jié)束后，幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法結(jié)構(gòu)、能力素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的課堂。其內(nèi)涵的發(fā)展也是需要繼續(xù)深入研究的重要方面。

章建躍先生為前建構(gòu)的章首教學(xué)指明了方向：構(gòu)建“先行組織者”，明確一章主線；突出課時(shí)重點(diǎn)，掌握關(guān)鍵內(nèi)容；落實(shí)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程教學(xué)，強(qiáng)化研究方法指導(dǎo)，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法”。本文則為章尾教學(xué)提供了一個(gè)拋磚引玉的樣例。但是，本課直接進(jìn)入知識(shí)梳理，開(kāi)始全章復(fù)習(xí)，沒(méi)有設(shè)計(jì)教學(xué)情境。實(shí)踐中，沒(méi)有情境的復(fù)習(xí)課，極易成為知識(shí)的簡(jiǎn)單羅列、題目的盲目堆砌，“悟”的過(guò)程太短甚至沒(méi)有，“知識(shí)”量大但缺乏聯(lián)系性、靈活性、變通性，雜亂的知識(shí)堆砌成為解決問(wèn)題的包袱，后果是學(xué)生為了考試不得不學(xué)，缺乏獨(dú)自面對(duì)問(wèn)題的勇氣和能力。有專(zhuān)家提出后建構(gòu)課也需要設(shè)計(jì)教學(xué)情境。如果需要，那么什么樣的情境既能凸現(xiàn)全章價(jià)值、統(tǒng)領(lǐng)回顧全章，又能自然過(guò)渡到知識(shí)梳理？這也是需要研究者繼續(xù)深入思考的地方。