劉 丹，忻 靜，鄧 莉，張詩按

(華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，上海 200241)

生活中，對常用RLC振蕩電路進行研究，可以得出RLC微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與狀態(tài)方程等數(shù)學(xué)模型，并且用合適的軟件進行仿真模擬可以有效地將實驗與理論結(jié)合起來。同時，通過對RLC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程進行分析，可以用于修正臨界阻尼的測量值。RLC電路中涉及的物理量一般有時間常數(shù)、衰減常數(shù)、諧振頻率、臨界阻尼等，在回路中接入示波器可以測量這些物理量[1-4]，且通過對這些參數(shù)進行修正，可以得到更為精確的結(jié)論。

示波器的用途廣泛，可以用數(shù)字示波器測量RLC電路的諧振特性[5]，用雙蹤示波器較為精確地測量RC或RLC電路中電容大小[6]，常用方波來觀察RLC電路的暫態(tài)特性。當(dāng)RLC電路中接入方波時，選擇合適的周期，可以明顯地觀察到RLC電路的暫態(tài)特性，且在欠阻尼、過阻尼和臨界阻尼情況下有不同的阻尼振蕩情況。這是由于在方波新的半個周期內(nèi)，t=0+時刻電容和電感感受到回路中電壓的變化，導(dǎo)致電容兩端電壓和回路電流相應(yīng)地發(fā)生變化，在t=0+時刻后，輸入電壓保持不變，回路可在穩(wěn)定的電壓條件下達到平衡，也就可以觀察到RLC電路在t=0+時刻的暫態(tài)特性。

如果輸入正弦形電壓結(jié)果會怎么樣呢？由于正弦波輸出電壓每時每刻都能夠在發(fā)生新的電壓變化前達到平衡，也就是說如果示波器在某個時刻捕獲到電容兩端的電壓值，就會將該電壓作為該時刻的輸出，緊接著下一個時刻將有新的輸出，所以示波器上將會出現(xiàn)隨時間連續(xù)變化的曲線。本文研究基于三點假設(shè)的RLC串聯(lián)電路欠阻尼、過阻尼、臨界阻尼的時間特性，實現(xiàn)對示波器捕獲時間的校準(zhǔn)。

圖1 RCL電路暫態(tài)特性曲線

1 理論分析

在RLC電路中，聯(lián)立KVL和VCR方程，代入相應(yīng)表達式可得如下二階非齊次方程

(1)

其中us為接在回路中的電壓，α為衰減常數(shù)(其倒數(shù)為時間常數(shù))，ω0為諧振圓頻率。

當(dāng)回路在t=0+時刻接收到第一個正弦交流信號，此時回路是對示波器捕獲能力的校準(zhǔn)，認為信號源輸出的正弦波將在一瞬間改變回路電壓，不存在延遲，實際上該過程所需時間非常短暫(幾微秒)[7]，所以不考慮時間延遲是合理的。

(1)當(dāng)us為0時(零輸入響應(yīng))，

(2)

(3)

可解得

(4)

(5)

(2)當(dāng)接入電壓為正弦形電壓us=Asin(ωt)時，將輸出調(diào)至從余弦開始掃描，那么在t=0+時刻可以認為初初始條件中A=U0。

因此上面的通解適用于下面的分析。如果將正弦波在t=0+的輸出看作周期無限小的方波，則有如下分析：

(1)欠阻尼(α<ω0)：(此時s1和s2為復(fù)數(shù)，為了畫出圖像，所以要對上面的通解進行代入變換，用到歐拉公式)，得到(6)式

(6)

(7)

根據(jù)以上分析，(6)式可看作是回路電壓突變的瞬時時刻，所以認為在t=0+時刻，電容兩端電壓滿足(6)式，此時將uC(t=0+)看作時電容C的函數(shù)，可將uC(t=0+)表示為uC(C)：

(8)

(2)過阻尼(α>ω0)：此時s1和s2為實數(shù)，可直接利用通解畫圖，認為在t=0+時刻，電容兩端電壓滿足(5)式，此時：uC(t=0+)=U0可以看出電容兩端電壓是一個常數(shù)，理論上并不隨電容C的改變而改變

(3)臨界阻尼(α=ω0)：如果直接將s1和s2代入(5)式，將出現(xiàn)分母為0不可解的情況，因此直接將方程代入解出，解為：

uC(t)=U0e-ω0t(1+ω0t)

(9)

即當(dāng)在t=0+時刻，電容兩端電壓滿足(9)式，此時uC(t=0+)=U0也為一個常數(shù)，即改變電容值時電容兩端電壓將保持不變。

(4)要注意到的是，在欠阻尼條件下，連接好RLC串聯(lián)電路，將示波器接在電容兩端，調(diào)節(jié)信號源(FB318型RLC電路實驗儀)輸出正弦波，振幅為2.86 V，頻率分別為595 Hz和596 Hz，回路中外接電阻R=1 000 Ω，電感L=100 mH，電容從0.01 μF開始增加，用示波器(單次按鍵，進入捕獲模式，觸發(fā)調(diào)節(jié)為0 V)讀出電容兩端輸出波形穩(wěn)定時的電壓峰值(衰減倍數(shù)均為1X)。

2 實驗數(shù)據(jù)與模擬分析

2.1 實驗數(shù)據(jù)

根據(jù)以上理論分析，結(jié)合實驗條件，可將RLC電路中t=0+時刻電容兩端的電壓均不隨電容而改變。表1的數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，當(dāng)電容從0.01 μF開始變大時，電容兩端電壓先線性增大，當(dāng)電容值超過0.09 μF時，電容兩端電壓線性減小。且對于不同的頻率，電容兩端輸出電壓值有較為明顯的不同(即頻率增大1 Hz，電容兩端電壓增大0.02 V)。

表1 電容電壓隨電容變化實驗數(shù)據(jù)

根據(jù)以上分析，得出如下推論：當(dāng)對RLC電路中輸入正弦交流電時，如果認為示波器捕獲每個數(shù)據(jù)點的圖像均是在t=0+時刻捕獲，且認為調(diào)節(jié)的余弦輸出的波形是完全精確的，觸發(fā)電壓精確為0時，加在電容兩端電壓應(yīng)當(dāng)不隨電容的改變而改變，但實驗得到的數(shù)據(jù)并不符合該規(guī)律，當(dāng)增大電容時，電容兩端電壓在欠阻尼狀態(tài)下隨電容增大而(近似線性)增大，在臨界阻尼狀態(tài)左右近似不隨電容而改變，在過阻尼狀態(tài)下隨電容增大而(近似線性)減小，為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？關(guān)鍵在于做理論分析時有三個假設(shè)：

(1)認為示波器捕獲每個數(shù)據(jù)點的圖像均是在t=0+時刻捕獲；

(2)調(diào)節(jié)的余弦輸出的波形是完全精確的；

(3)調(diào)節(jié)的觸發(fā)電壓精確為0。

下面將討論這三個假設(shè)的合理性。根據(jù)(5)式，把uC表示為時間t、電容C和初始電壓U0的函數(shù)，即為

(10)

(11)

當(dāng)t=0+時，上式為

(12)

根據(jù)理論畫出的圖像可以知道，當(dāng)T取某一個確定的值時，式(12)與式(10)只有一點區(qū)別；當(dāng)在式(12)中T取正數(shù)時，對應(yīng)式(10)中t應(yīng)取T的相反數(shù)。因此盡管后面的分析中存在可能影響初始時刻的因素，但是通解(10)式仍然適用。

對于假設(shè)(2)，影響余弦輸出和初始時刻。首先討論對U0的影響。在2.86 V附近變化，取U0的值為0，圖像如圖2所示，可以看出，盡管將U0減小了0.06 V，對曲線的影響也幾乎很小，即數(shù)值模擬得到的理論曲線并不能只通過優(yōu)化U0參數(shù)來使理論與實驗曲線一致,因為U0影響的是輸出波形的振幅，并不能對電壓隨電容變化的實驗事實做出解釋。對于假設(shè)(3)，觸發(fā)電壓事實上就是影響U0，所以假設(shè)(2)和假設(shè)(3)都是探討U0的值對電容兩端電壓的影響。上面已經(jīng)分析，U0對曲線的影響并不是導(dǎo)致理論與實驗曲線不一致的主要原因。對于假設(shè)(1)，需要注意兩點：一是認為示波器都是在同樣的時間點捕獲每個數(shù)據(jù)點；二是這個同樣的時間點為t=0+時刻。如果在數(shù)值模擬時改變時間t=0+為t=t1(保持U0為2.86 V)，在某個數(shù)據(jù)點的捕獲時間點為t1，但并不能表明在每個數(shù)據(jù)點捕獲的時間點均為t1，這是需要特別注意的。假設(shè)(2)和假設(shè)(1)中都提到對初始時刻的影響，所以下面對時間的修正包含對這兩部分假設(shè)的驗證。

圖2 改變U0后的理論與實驗數(shù)據(jù)曲線

2.2 模擬分析

(1)過阻尼和臨界阻尼情況

圖3(a)所示有四條曲線，紅色和綠色的散點圖分別代表在f=595 Hz和f=596 Hz的輸入頻率下、增大電容，測得的電容兩端電壓值曲線。黃色曲線是在捕獲時間為-0.000 27 s、U0為2.86 V時電容兩端電壓u(-0.000 27,C,2.86)隨C的理論變化曲線，可理解為當(dāng)U0為2.86 V、且示波器每次都在-0.000 27 s捕獲數(shù)據(jù)點時，改變電容大小得到的關(guān)于電容兩端電壓的變化曲線。同樣地，藍色曲線是在捕獲時間為-0.000 28 s、U0為2.86 V時電容兩端電壓u(-0.000 28,C,2.86)隨C的理論變化曲線，可理解為當(dāng)U0為2.86 V、且示波器每次都在-0.000 28 s捕獲數(shù)據(jù)點時，改變電容大小得到的關(guān)于電容兩端電壓的變化曲線。

(a)過阻尼和臨界阻尼情況

通過比較黃色曲線與綠色曲線，當(dāng)改變捕獲時間點時，對曲線有明顯的影響，說明假設(shè)(1)是導(dǎo)致理論曲線與實驗曲線不一致的最主要原因。按照分析，如果示波器每次均是在相同的時間點捕獲每個數(shù)據(jù)點，那么調(diào)節(jié)捕獲時間，理論曲線與實驗數(shù)據(jù)應(yīng)該能夠重合。但是經(jīng)過數(shù)值模擬后發(fā)現(xiàn)，無論如何改變捕獲時間點，都不能使理論曲線與實驗曲線完全重合，只能出現(xiàn)有交點的情況。

這說明示波器每次捕獲的數(shù)據(jù)點并不是在相同的時間點，這與實際也是相符的，示波器不可能每次都恰好在完全同樣的時間點捕獲數(shù)據(jù)。從上面理論分析可以看出，不同數(shù)據(jù)點捕獲的時間點有很小的時間差(330 μs)。數(shù)值模擬得到的曲線與實驗曲線存在交點。黃色曲線與散點圖大致相交于C=0.4 μF處，說明在本次實驗條件下，當(dāng)C=0.4 μF、U0=2.86 V時，示波器在第一個余弦圖樣輸出前270 μs時捕獲到電容兩端電壓數(shù)據(jù)。藍色曲線與散點圖大致相交于C=0.6 μF處，說明在本次實驗條件下，當(dāng)C=0.6 μF、U0=2.86 V時，示波器在第一個余弦圖樣輸出前600 us時捕獲到電容兩端電壓數(shù)據(jù)。從圖像中可以看出，示波器捕獲的實驗點(0.4 μF，1.74 V)(為臨界阻尼)和(0.6 μF，1.20 V)(595 Hz)的曲線相對于余弦圖像上該點(0,1)(時間為0，電壓單位化為1)超前270 μs，這里表明盡管示波器在很短時間內(nèi)到達平衡，但是仍然不可將示波器捕獲的圖像認為是t=0+時刻的圖像。這里T為負數(shù)表明示波器捕獲到的穩(wěn)定圖樣超前于信號源輸出的第一個余弦圖樣(前面已經(jīng)認為調(diào)節(jié)至余弦輸出并且已經(jīng)討論其對實驗結(jié)果的影響)。理論與實驗曲線的交點即為上面提到的某個數(shù)據(jù)點。

值得注意的是，理論計算出電容兩端電壓存在負值，這其實是合理的，因為示波器也能夠顯示電壓為負值，至于為什么在實驗條件下沒有測得負電壓，與實驗條件有關(guān)。這里需要注意的是實驗與理論曲線的交點，不管該交點是正電壓還是負電壓，如果當(dāng)理論曲線中T取某一個值T1時，實驗數(shù)據(jù)與理論沒有交點，那則說明在本次實驗條件下測得的實驗數(shù)據(jù)中，不存在示波器捕獲時間為T1的數(shù)據(jù)點。T在前面的含義是指人為調(diào)節(jié)的第一個余弦輸出圖樣超前標(biāo)準(zhǔn)余弦輸出圖樣的時間，但是這里不能忽視示波器本身的捕獲數(shù)據(jù)的能力(即示波器能否在極短的時間內(nèi)捕獲到數(shù)據(jù)點)，所以T延伸的含義是指示波器的捕獲能力與實際余弦輸入波形的時間差?？梢哉{(diào)整時間零點，使正余弦輸出是完全精準(zhǔn)的，那么T就只代表示波器本身的捕獲能力。

(2)欠阻尼情況

如圖3(b)所示，四條曲線，其中黃色代表T=-0.000 1 s時電容兩端電壓隨C的理論變化曲線；藍色代表T=0.000 1 s時電容兩端電壓隨C的理論變化曲線。從這里可以看出當(dāng)T越大，交點往電容值小的方向靠近。這說明電容值越小，示波器捕獲瞬時電壓的能力越差，延后或超前的時間越長。

3 結(jié) 語

電路從欠阻尼狀態(tài)到臨界阻尼到過阻尼狀態(tài)示波器捕獲能力隨電容增大而提高。當(dāng)C逐漸增大時，回路電壓由振蕩趨于平穩(wěn)，在輸入方波較為平穩(wěn)的條件下，示波器能夠捕獲的電路RLC瞬時狀態(tài)數(shù)據(jù)將更為準(zhǔn)確。通過研究RLC電路的時間特性，進行數(shù)值模擬，知道在某一實驗數(shù)據(jù)與理論曲線的交點反映了示波器在該實驗條件下、對該數(shù)據(jù)點的捕獲狀態(tài)，實現(xiàn)捕獲時間校準(zhǔn)。如果在實驗條件要求很高、示波器的捕獲能力對實驗影響較大的情況下，就需要對其捕獲時間點進行校準(zhǔn)，以獲得更精確的結(jié)論。