董春芳，石德剛

(天津工業(yè)職業(yè)學(xué)院,天津 300400)

分部積分法是一元積分學(xué)中求積分時常用的重要方法。初學(xué)者在學(xué)習(xí)的過程中往往對如何選取u與v′以及在什么情形下需要運(yùn)用分部積分法感到困惑，因此分部積分法是學(xué)生學(xué)習(xí)一元積分學(xué)時感到難以掌握的積分方法。本文對分部積分思想的理論依據(jù)進(jìn)行解構(gòu)和重構(gòu)，總結(jié)出選取u與v′的原則和運(yùn)用分部積分公式的模式。下面舉例說明如何運(yùn)用分部積分法求積分，以幫助初學(xué)者更好地學(xué)習(xí)和掌握分部積分法在積分運(yùn)算中的運(yùn)用。

一、分部積分公式

相應(yīng)于兩個函數(shù)乘積的微分法，可以推出另一種基本積分法——分部積分法，分部積分法主要用于求被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積且不具備湊微分法特征的積分。

設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)、微分公式有(u·v)′=u′v+v′u、d(u·v)=vdu+udv，移項(xiàng)得u·v′=(u-v)′-v·u′、udv=d(u·v)-vdu(1).

對式(1)兩端求不定積分，得不定積分的分部積分公式

對式(1)兩端求從a到b的定積分，得定積分的分部積分公式

二、選取u與v′的原則與分部積分公式運(yùn)用模式

用分部積分公式求一個函數(shù)的積分，需要將被積函數(shù)看作是兩個函數(shù)u和v′的乘積，這就有個以什么函數(shù)為u，從而定出什么是v′的問題。因此正確地選擇u與v′是運(yùn)用分部積分法的關(guān)鍵所在。

(一)u經(jīng)過求導(dǎo)，使u′變得簡單，而v′和v的類型相同或復(fù)雜程度相當(dāng)，例如，當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)(代數(shù)函數(shù))和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積時，設(shè)冪函數(shù)(代數(shù)函數(shù))為u(參見例1、例2)。

(二)u經(jīng)過求導(dǎo)，使u′的類型與v的類型相同或相近(參見例5)，例如，當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)(代數(shù)函數(shù))和對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時，設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u(參見例3、例4)。

(三)被積函數(shù)為不便于拆分為其它函數(shù)的單個函數(shù)[f(x)]n(n∈N+)時，一般設(shè)u=[f(x)]n

(n∈N+)(參見例6、例7)；若[f(x)]k(1

解 設(shè)u=x，則v′=sinx，且u′=1，v=-cosx，從而

解 設(shè)u=x，則v′=e-x，且u′=1，v=e-x，從而

當(dāng)分部積分公式運(yùn)用比較熟練后，就不必寫出u和v′，心里默記住u是什么和v′是什么即可直接使用分部積分公式。

三、簡論不定積分的定義與用公式及用方程組求不定積分

(一)簡論不定積分的定義

(二)用公式求不定積分

該類型題的特點(diǎn)是，對公式左端的兩個不定積分中的任何一個不定積分分部積分就可消去另一個不定積分，但是若對兩個不定積分都分部積分，則可能兩個不定積分都難以求出。

由該結(jié)論，要求I1(或I2)，可以選擇I2(或I1)，若能較易求得I1-I2，則不僅可求得I1(或I2)，而且同時求出了I2(或I1)。

本類型題的特點(diǎn)是，單獨(dú)求I1(或I2)都需用兩次分部積分公式并產(chǎn)生循環(huán)情形，即等式的右邊出現(xiàn)KI1(或KI2)，再移KI1(或KI2)至等號左邊來求出I1(或I2)。

四、用分部積分法建立遞推公式

當(dāng)被積函數(shù)含有以正整數(shù)n為指數(shù)的因子時，求該積分時一般都用分部積分法建立遞推公式(使用遞推公式計算積分層次清楚，便于檢查，且不易出錯)。

=-cscn-2xcotx-(n-2)In+(n-2)In-2

五、反函數(shù)的不定積分和不定積分的分部積分公式的推廣形式

(一)反函數(shù)的不定積分

證 由不定積分的分部積分公式與等式x=f[f-1(x)]得

(二)不定積分的分部積分公式的推廣形式

設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)具有直至n+1的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則有

……

上面“得”字后各式由下往上依次代入，并保留第一式左端的積分和最后一式右端的積分，即得分部積分公式的推廣形式.

分部積分公式的推廣形式也可以寫成表格形式：

u各階導(dǎo)數(shù)uu'u″u?…(-1)n+1u(n+1)v(n+1)的各階原函數(shù)v(n+1)v(n)v(n-1)v(n-2)v

解 設(shè)u=x2、v?=cosx，則

x2各階導(dǎo)數(shù)x22x20cosx的各階原函數(shù)cosxsinx-cosx-sinx

當(dāng)被積函數(shù)(兩類不同函數(shù)的乘積)中有一個因子為對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)時，不宜使用分部積分公式的推廣形式。

當(dāng)上面的表格中同一列的兩個函數(shù)的乘積等于所給被積函數(shù)的常數(shù)倍時，求各階導(dǎo)數(shù)與求vn+1的各階原函數(shù)的工作就不需要再進(jìn)行，利用解方程組的方法就可以迅速求得所給積分。

六、用分部積分法建立泰勒公式及泰勒級數(shù)的余項(xiàng)的絕對值的上界的估計

(一)用分部積分法建立泰勒公式

高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材一般都是在微分學(xué)中建立泰勒公式，不僅過程較為繁雜，而且難度較大。但是用分部積分法建立泰勒公式的過程是較為簡單的。

式(6)稱為積分型余項(xiàng).

證 只證x0x的情形類似可證).

由牛頓—萊布尼茨公式和分部積分法(連續(xù)用)得

……

式(7)稱為柯西型余項(xiàng).

式(8)稱為拉格朗日型余項(xiàng)，

(二)泰勒級數(shù)的余項(xiàng)的絕對值的上界的估計

用函數(shù)f(x)的泰勒多項(xiàng)式近似代替函數(shù)f(x)，需要估計誤差(泰勒級數(shù)的余項(xiàng)Rn(x))。從泰勒公式的證明可以看出，導(dǎo)出Rn(x)的表達(dá)式的過程較為繁雜。但是從泰勒公式的證明也可以看出，證明泰勒公式事先并不需要知道泰勒級數(shù)的余項(xiàng)Rn(x)的表達(dá)式，這啟示在不知道泰勒級數(shù)的余項(xiàng)Rn(x)的表達(dá)式的情形下，也可以給出|Rn(x)|的上界的估計。

證 只證x0x的情形類似可證).

……

七、不定積分的思想方法和一般思路：

(一)求不定積分的思想方法

原函數(shù)定義是非“構(gòu)造性”的，原函數(shù)定義只表明，若函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，則有F′(x)=f(x),因此，根據(jù)原函數(shù)定義并不知道從函數(shù)f(x)出發(fā)，經(jīng)過怎樣的運(yùn)算能求得函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)，即原函數(shù)定義并未明確指出求原函數(shù)的途徑，從而求不定積分(除少數(shù)標(biāo)準(zhǔn)類型外)并沒有一個固定的格式可循，往往帶有試探性質(zhì)。

以上闡述表明積分法雖然是微分法的逆運(yùn)算，但是求不定積分的思想方法與求導(dǎo)數(shù)的思想方法有本質(zhì)的區(qū)別，且求一個初等函數(shù)的不定積分遠(yuǎn)比求一個初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)困難得多。下面簡述求不定積分的思想方法。

1．將要求的不定積分設(shè)法轉(zhuǎn)化成基本積分表里已有的積分(簡稱為表列積分，它的答案是已知的)，是解答不定積分問題必須明確的一個基本原則。

2．熟悉和牢記將要求的不定積分轉(zhuǎn)化成表列積分的三種積分法——直接積分法、換元積分法、分部積分法的使用方法與適用范圍，一般來說，對被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏螅拍艹浞质褂眠@些方法,而且每種方法的運(yùn)用，往往視具體題目而定，有時解答一個題目僅用一種方法還不行，需要綜合使用這些方法(參見例2、例6、例14、例15)，因此，較多且準(zhǔn)確的掌握各種積分類型的特點(diǎn)，以及與之相適應(yīng)的積分方法(特別是針對被積函數(shù)特點(diǎn)而引入的各種換元積分法)，成為解答不定積分問題的關(guān)鍵所在。

(二)求不定積分的一般思路

必須指出的是，只有多做練習(xí)，且在練習(xí)中隨時注意被積函數(shù)的類型和特點(diǎn)，并體會轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的方法，才能增強(qiáng)觀察的敏銳性和積淀成功的經(jīng)驗(yàn)，從而提高簡潔、準(zhǔn)確、迅速地求解不定積分的能力。