何樂

因式分解是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，是同學(xué)們后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程以及二次函數(shù)的重要基礎(chǔ)，是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要工具。多項(xiàng)式因式分解有如下特點(diǎn)：（1）分解的結(jié)果一定是積的形式;（2）每個(gè)因式必須是整式;（3）各因式要分解到不能分解為止。因式分解與整式乘法是兩種互逆變形，容易混淆，發(fā)生錯(cuò)誤。

一、概念理解錯(cuò)誤

例1 觀察下列從左到右的變形：

（1）-6a3b3=（2a2b）（-3ab2）;

（2）ma-mb+c=m（a-b）+c;

（3）6x2+12xy+6y2=6（x+y）2;

（4）（3a+2b）（3a-2b）=9a2-4b2;

其中是因式分解的有（填序號(hào)）。

【錯(cuò)解】（1）（3）。

【錯(cuò)因分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫作多項(xiàng)式的因式分解。（1）中-6a3b3不是多項(xiàng)式，不能進(jìn)行因式分解。

【正解】（3）。

例2 因式分解：4a2-4a+1 。

【錯(cuò)解】4a2-4a+1=4a（a-1）+1。

【錯(cuò)因分析】從錯(cuò)解的結(jié)構(gòu)來看，雖然第一項(xiàng)是積的形式，但整體上還是和的形式。錯(cuò)解曲解了因式分解的概念，誤認(rèn)為只要結(jié)果中有整式的積即可，忽視了分解的結(jié)果一定是積的形式這一要素。

【正解】4a2-4a+1=（2a-1）2。

二、提公因式錯(cuò)誤

例3 因式分解：-xy2+2xy-x。

【錯(cuò)解】-xy2+2xy-x=-x（y2-2y）。

【錯(cuò)因分析】多項(xiàng)式有公因式時(shí)，先提取公因式，然后再運(yùn)用其他方法分解。本題中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是三項(xiàng)，那么提取公因式后，項(xiàng)數(shù)仍應(yīng)該為三項(xiàng)。

【正解】-xy2+2xy-x

=-x（y2-2y+1）=-x（y-1）2。

三、符號(hào)運(yùn)算錯(cuò)誤

例4 因式分解：2a（a-2b）+4b（2b-a）。

【錯(cuò)解】2a（a-2b）+4b（2b-a）=（2a+4b）（a-2b）=2（a+2b）（a-2b）。

【錯(cuò)因分析】找公因式時(shí)，將（2b-a）轉(zhuǎn)化為相反數(shù)（a-2b）時(shí)符號(hào)出錯(cuò)，當(dāng)一個(gè)數(shù)用相反數(shù)表示時(shí)要添加負(fù)號(hào)。

【正解】2a（a-2b）+4b（2b-a）=（2a-4b）（a-2b）=2（a-2b）（a-2b）=2（a-2b）2。

四、乘法運(yùn)算與因式分解混淆

例5 因式分解：4a2-36。

【錯(cuò)解】4a2-36=4（a2-9）=4（a+3）（a-3）=4（a2-9）。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解的最后一步與因式分解背道而馳，是整式乘法運(yùn)算。這種走“回頭路”的錯(cuò)誤現(xiàn)象很常見，其原因是分不清整式乘法運(yùn)算與因式分解的概念，對(duì)分解到不能再分解為止的目標(biāo)不夠明確。

【正解】4a2-36=4（a2-9）=4（a+3）（a-3）。

五、分解不徹底

例6 因式分解：（x2+4）2-16x2。

【錯(cuò)解】（x2+4）2-16x2=（x2+4+4x）（x2

+4-4x）。

【錯(cuò)因分析】因式分解不徹底。結(jié)果中的兩個(gè)因式都是完全平方式，還可以繼續(xù)分解。

【正解】（x2+4）2-16x2=（x2+4+4x）（x2

+4-4x）=（x-2）2（x+2）2。

六、分組分解錯(cuò)誤

例7 因式分解：x2-y2+1-2x。

【錯(cuò)解】x2-y2+1-2x=（x+y）（x-y）+1-2x。

【錯(cuò)因分析】從因式分解的定義看，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫作多項(xiàng)式的因式分解。但錯(cuò)解的結(jié)果仍然是和的形式，我們應(yīng)該先觀察多項(xiàng)式的特征，先合并局部分解，再對(duì)整體分解。

【正解】x2-y2+1-2x=x2-2x+1-y2=（x-1）2-y2=（x+y-1）（x-y-1）。

因式分解問題應(yīng)首先考慮能否提公因式，找公因式應(yīng)從系數(shù)、字母和字母的指數(shù)三個(gè)方面分別考慮。沒有公因式或提公因式后，再根據(jù)項(xiàng)數(shù)考慮公式法：兩項(xiàng)則考慮是否可用平方差公式;三項(xiàng)則考慮是否可用完全平方公式;三項(xiàng)以上則應(yīng)考慮使用分組分解法。最后再?gòu)囊蚴椒纸獾娜齻€(gè)特點(diǎn)逐一檢查。

（作者單位：江蘇省泰州市永安洲實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）