朱月鳳

我國著名數(shù)學(xué)家李大潛院士在復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院新生迎新大會(huì)上的講話中提到學(xué)好數(shù)學(xué)要做到“少慢精深”，而不是刷題式的貪多求快。筆者在中考復(fù)習(xí)備考期間以“一題一課”進(jìn)行解題教學(xué)，積極實(shí)踐李院士提出的“少慢精深”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理念，取得較好的教學(xué)效果。筆者結(jié)合本地區(qū)一道新定義幾何中考題開展“一題一課”教學(xué)，現(xiàn)將教學(xué)過程整理成文，并闡釋教學(xué)立意。

一、考題呈現(xiàn)及說明

定義：我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)。過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形，若有一個(gè)圖形與原三角形相似，則把這條線段叫作這個(gè)三角形的“內(nèi)似線”。

（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為 ;

（2）如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內(nèi)似線”;

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內(nèi)似線”，求EF的長。

說明：這是2017年的南通中考第27題，不少學(xué)生在問題求解時(shí)遇到困難，有些是構(gòu)圖不當(dāng)，有些是缺少一些鋪墊式問題的輔助思考，沒有順利貫通思路，筆者決定通過“一題一課”的形式來幫助學(xué)生掌握這類問題的求解方法。

二、“一題一課”教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)一：引例熱身

引例1：思考與直角三角形內(nèi)心有關(guān)的問題。

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，請(qǐng)你說說怎樣找到△ABC的內(nèi)心。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，圍繞△ABC的內(nèi)心，你能得到哪些結(jié)論？

預(yù)設(shè)：直角三角形的兩直角邊是3和4，則內(nèi)心到三邊的距離是1。通過開放式問題，復(fù)習(xí)三角形內(nèi)心的概念，尋找三角形內(nèi)心的途徑以及與三角形內(nèi)心有關(guān)的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：引例1起到熱身的目的，組織學(xué)生有效復(fù)習(xí)了直角三角形的內(nèi)心，然后特殊化為“3，4，5”的直角三角形。學(xué)生通過議論、對(duì)話和交流，對(duì)這個(gè)圖形下的性質(zhì)有較為全面的認(rèn)識(shí)和思考。

引例2：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是邊AC上一點(diǎn)，且滿足AD=3，你能在邊AB上找一點(diǎn)E，使得△ADE與△ABC相似嗎？

教學(xué)記錄：如圖3、圖4，請(qǐng)學(xué)生到前面來展示作圖方法，說說具體作法，寫寫相似，強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)，總結(jié)模型。

在學(xué)生畫出圖3、圖4之后，先圍繞圖3這種基本圖形（“A型”相似），可預(yù)設(shè)以下問題：如圖3，在這個(gè)基本圖形中，DE與BC在位置上有什么樣的關(guān)系？DE與BC之間的距離是多少？?jī)?nèi)心O到邊BC的距離是多少？線段DE經(jīng)過內(nèi)心O嗎？你能求出DE的長度嗎？（以上系列“問題串”可以漸次呈現(xiàn)，可結(jié)合學(xué)情相機(jī)給出，如果學(xué)情很好，還可鼓勵(lì)學(xué)生自主提出一些問題。）

接著再引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，圍繞圖4這種基本圖形（“反A型”相似），預(yù)設(shè)以下問題：如圖4，你能求出DE的長度嗎？

在此基礎(chǔ)上，將圖4中DE所在的直線向下平移（如圖5），使其經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，與邊AC、BC所在的直線分別交于D'、E'。引導(dǎo)學(xué)生思考：點(diǎn)D'在邊AC上嗎？若在，求出D' E'的長度。

解后反思：對(duì)比圖3和圖5中的DE與D' E'，這兩條線段具有哪些共同特征？

教學(xué)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形相似的知識(shí)，滲透A型與反A型相似的印象，為后面新問題的分類討論以及如何求內(nèi)似線的長度設(shè)好鋪墊。圍繞基本圖形，進(jìn)行一系列的變式研究，特別是對(duì)經(jīng)過內(nèi)心的直線截三角形兩邊得到的三角形與原三角形相似時(shí)，如何分析對(duì)應(yīng)邊之比，并利用相似比求出相應(yīng)線段的長度，這樣的問題經(jīng)過充分探究之后，可以對(duì)本課將要研究的新定義考題的最后一問達(dá)成較好的鋪墊作用，實(shí)現(xiàn)鋪平墊穩(wěn)的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

教學(xué)環(huán)節(jié)二：考題講評(píng)

呈現(xiàn)2017年南通中考第27題，刪除基礎(chǔ)問，只保留第（3）問。

教學(xué)過程：學(xué)生獨(dú)立思考5分鐘后，圍繞題意，請(qǐng)同學(xué)們談?wù)剬?duì)已知條件有什么樣的認(rèn)識(shí);受到“引例2”中求D' E'長度的啟示，看看可以從哪里著手解決此題。嘗試添加輔助線。接下來進(jìn)行思路突破與解法交流。限于篇幅，不再給出具體的解法示意。

學(xué)生講評(píng)之后，進(jìn)行必要的小結(jié)或解后反思，提煉一些關(guān)鍵步驟，然后安排相關(guān)學(xué)生復(fù)述（“再說一遍”）。最后可給出一道變式拓展題如下：

【拓展思考】該直角三角形中，你能找到幾條內(nèi)似線？都能求出它們的長度嗎？

教學(xué)過程：針對(duì)2017年南通中考新定義考題的第（3）問，學(xué)生獨(dú)立思考之后，快速獲得思路的學(xué)生先在小組內(nèi)交流討論，然后大組匯報(bào)，在進(jìn)展到關(guān)鍵步驟時(shí)，教師讓其他學(xué)生復(fù)述思路，這樣可以讓更多的學(xué)生的思維被充分卷入解題思路中。

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

第一，較難題教學(xué)備課要追求深度思考。

每份練習(xí)都有少數(shù)較難題，教師往往把課堂教學(xué)時(shí)間花在這些較難題上，但是講評(píng)后卻總感覺效果不好，仍然只有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能跟得上講評(píng)節(jié)奏。這時(shí)，教師可反思講評(píng)的用力點(diǎn)是否精準(zhǔn)，如果按照所謂參考答案的解答方式“順流而下”，可能就是備課的功夫不足，沒有想清辨明備課用力點(diǎn)。我們認(rèn)為，教師在講評(píng)這些較難題之前，自己要對(duì)考題的關(guān)鍵步驟、主要難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)想清悟透，然后針對(duì)這些關(guān)鍵步驟、主要難點(diǎn)或?qū)W生可能的障礙預(yù)設(shè)一些教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行難點(diǎn)突破。比如上文的課例中，我們?cè)O(shè)計(jì)了兩個(gè)“引例”，就幫助了更多學(xué)生進(jìn)行“熱身訓(xùn)練”，再出示那道較難題時(shí)，學(xué)生就能獲得思路啟示，進(jìn)而快速想到思路并解答成功。

第二，較難題教學(xué)要重視關(guān)鍵步驟處理。

教師在較難題教學(xué)時(shí)要十分重視一些關(guān)鍵步驟的處理，比如充分解讀題意，特別是針對(duì)本文課例中關(guān)注到的新定義問題，可先引導(dǎo)學(xué)生深入理解新定義的本質(zhì)或內(nèi)涵，必要時(shí)要讓學(xué)生畫圖并結(jié)合圖形在小組內(nèi)交流各自對(duì)新定義本質(zhì)的理解，然后再迎難而上，各個(gè)擊破。在碰到較難題時(shí)，組織學(xué)生善于排除干擾，分析并“暴露”出問題的求解目標(biāo)，有時(shí)這種“暴露”目標(biāo)的解析工作也是解題征途中的關(guān)鍵步驟，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)這種解題技術(shù)。還有，在處理某些關(guān)鍵步驟時(shí)，可能會(huì)遇到對(duì)一些經(jīng)典問題或拓展變式的處理，這時(shí)如果學(xué)生沒有能及時(shí)想到這些經(jīng)典問題或拓展變式的解法思路，教師可通過必要的鋪墊式問題（如本文課例的兩個(gè)“引例”），讓學(xué)生先做好必要的熱身復(fù)習(xí)，再迎難而上，往往就能順利地攻克較難題。學(xué)生經(jīng)歷這樣的解題教學(xué)過程，不但能解出這一道較難題，而且能悟出今后如何分析較難題。這也就是實(shí)現(xiàn)了從“授人以魚”到“授人以漁”的教學(xué)追求。

（作者單位：江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

本文系江蘇省南通市規(guī)劃辦“十三五”課題“‘學(xué)材再建構(gòu)的初中數(shù)學(xué)課例研究”（編號(hào)：2020007）階段性研究成果。