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基于表皮效應的單井循環(huán)地下?lián)Q熱系統(tǒng)地下水滲流方程的統(tǒng)一分析

2021-06-19 09:34鄭昌金劉遠周
可再生能源 2021年6期
關(guān)鍵詞:單井滲透系數(shù)濾網(wǎng)

宋 偉,王 浩,鄭昌金,劉遠周

(北方工業(yè)大學 土木工程學院,北京100144)

0 前言

地下水源熱泵系統(tǒng)可以利用地熱資源,其中單井循環(huán)地下?lián)Q熱系統(tǒng)是地下水源熱泵系統(tǒng)的一種形式。在取熱量相同的情況下,與地下埋管換熱器相比,單井循環(huán)地下?lián)Q熱系統(tǒng)所需的打井數(shù)量較少,初投資較低,從而得到廣泛應用[1],[2]。目前,單井循環(huán)地下?lián)Q熱系統(tǒng)主要有循環(huán)單井、抽灌同井和填礫抽灌同井[3]。循環(huán)單井是在基巖上打井,且為裸井,回水主要與井壁換熱,少部分回水流經(jīng)基巖含水層后直接進入抽水區(qū)。抽灌同井和填礫抽灌同井的相同點:①均在井孔內(nèi)設置隔板,用于防止回水與抽水相互摻混,減少熱貫通效應;②二者的回水均進入含水層,與含水層中的原水和固體骨架換熱后進入抽水區(qū)。不同點為填礫抽灌同井井壁周圍回填孔隙率較大的礫石,這層礫石區(qū)有利于回水進入含水層[4]。

針對3種熱源井的地下水運動規(guī)律已有研究。倪龍建立了非穩(wěn)態(tài)、有越流的循環(huán)單井地下水滲流方程,武強在倪龍研究的基礎(chǔ)上,建立了含有蓄能顆粒與無儲能顆粒的循環(huán)單井地下水滲流數(shù)學模型[5]~[7]。李旻建立了無越流、非穩(wěn)態(tài)條件下抽灌同井的地下水滲流方程,武強在李旻研究的基礎(chǔ)上添加越流項。王玉林在武強研究的基礎(chǔ)上,分析了抽水與回水周期性變化和回灌率對地下水流動的影響[8]~[11]。由于不同熱源井建立的地下水滲流方程不同,且邊界條件較為復雜,因而地下水滲流數(shù)學模型難以應用于實際工程,因此,須要建立3種熱源井統(tǒng)一的理論模型。大多學者僅考慮滲透系數(shù)各向異性,未得到滲透系數(shù)各向異性對地下水流動的影響。填礫抽灌同井的填礫區(qū)與表皮效應理論中的表皮類似。目前,已有學者研究了表皮效應對地下水流動的影響,在實際生產(chǎn)中為了減小表皮效應對開采地下水的影響,假設有效井孔半徑大于實際井孔半徑,并在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)學模型[12]。王玉林發(fā)現(xiàn)井壁處的表皮效應系數(shù)為非均勻分布,將含水層沿豎直方向分割成多個小含水層,每個小含水層的表皮效應系數(shù)均勻分布,假設含水層的表皮效應系數(shù)按某種規(guī)律分布,建立承壓含水層的穩(wěn)態(tài)滲流數(shù)學模型,通過模擬發(fā)現(xiàn),表皮效應系數(shù)越小,含水層的降深和抽水流量越大[13],[14]。

本文利用表皮效應統(tǒng)一3種熱源井近井壁處的滲透系數(shù),得到滲透系數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系式。本文建立填礫抽灌同井地下水滲流方程和邊界條件,獲得地下水滲流方程的解析解,考慮滲透系數(shù)各向異性對地下水流動的影響;通過滲透系數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系式,本文得到抽灌同井和循環(huán)單井地下水滲流方程的解析解。本文編制計算程序求解填礫抽灌同井地下水滲流方程的數(shù)值解。通過對填礫抽灌同井的地下水滲流方程的解析解與數(shù)值解進行比較,驗證了填礫抽灌同井的地下水滲流方程的數(shù)值解的合理性。

1 統(tǒng)一熱源井井壁處滲透系數(shù)

1.1 表皮效應

在實際開發(fā)地下水資源或開采石油時,鉆井、完井和生產(chǎn)實踐活動減小了井壁處的滲透系數(shù)。井壁處滲透系數(shù)改變的區(qū)域稱為“表皮”。圖1為表皮效應示意圖。

圖1 表皮效應示意圖Fig.1 Schematic diagram of skin effect

圖中曲線AB為降深曲線,在工程實踐中,井筒內(nèi)壓力點為E1,理論推導的壓力點為E,為解釋實際與理論的壓力差ΔP,本文引入表皮效應系數(shù)。表皮效應系數(shù)的計算式為[15]

式中:S為表皮效應系數(shù);K為含水層的滲透系數(shù),m/s;Ks為表皮的滲透系數(shù),m/s;rw為井壁半徑,m;rc為表皮層影響半徑,m。

當表皮滲透系數(shù)小于含水層的滲透系數(shù)時,表皮效應為正表皮效應;當表皮滲透系數(shù)大于含水層的滲透系數(shù)時,表皮效應為負表皮效應。

1.2 3種熱源井滲透系數(shù)

研究人員已對3種熱源井井壁處的滲透系數(shù)進行了詳細地研究,并得到了3種熱源井井壁處的滲透系數(shù)數(shù)學模型,具體如下。

①抽灌同井

M K Hubbert在進行達西實驗的過程中發(fā)現(xiàn),流體流過同一種多孔介質(zhì)時,抽灌同井條件下,井壁處的滲透系數(shù)與流體的運動粘滯系數(shù)成反比,與多孔介質(zhì)平均直徑的平方成正比,經(jīng)過數(shù)學推導得到抽灌同井滲透系數(shù)k1的表達式為[16]

式中:D1為抽灌同井條件下,井壁處顆粒的平均直徑,m;C為固體骨架結(jié)構(gòu)的比例常數(shù),C與顆粒的大小、分布、球度、密實程度等有關(guān);g為重力加速度,m/s2;v為液體的運動粘滯系數(shù),m2/s。

②填礫抽灌同井

填礫抽灌同井的填礫區(qū)是由粒徑較大的礫石組成,填粒區(qū)是多孔介質(zhì),多孔介質(zhì)的孔隙較多且孔隙的直徑較大,基于此假設多孔介質(zhì)中的孔隙為一束等長度的毛細管,利用N-S方程和Kozeny-Carman方程聯(lián)立求解,得到填礫抽灌同井條件下,井壁處滲透系數(shù)k2的表達式為[17]

式中:ρ為流體的密度,kg/m3;D2為礫石的平均直徑,m;μ為流體的動力粘滯系數(shù),N·s/m2;n為孔隙率。

③循環(huán)單井

陳崇希通過研究發(fā)現(xiàn),水平井的回水區(qū)分為兩部分:一部分為圓形管道,另一部分為含水層。圓形管道的滲透系數(shù)與管道內(nèi)流體的流動狀態(tài)有關(guān),當圓形管道內(nèi)流體的流動狀態(tài)為層流時,圓形管道的滲透系數(shù)可以由文獻[18]進行推導。

圓形管道的水頭損失Δh的計算式為

式中:f為管壁的摩擦系數(shù);l為管道長度,m;D3為管道直徑,m;u為管道內(nèi)流體的平均流速,m/s。

f的計算式為

式中:Re為雷諾數(shù)。

Re的計算式為

v的計算式為

圓形管道的滲流速度V的計算式為

當介質(zhì)為水時,設定孔隙率n為1,則V=u,并帶入式(4)~(7)化簡整理得到:

綜上可得,循環(huán)單井的滲透系數(shù)k3為

1.3 統(tǒng)一滲透系數(shù)

3種熱源井示意圖如圖2所示。

圖2 3種熱源井示意圖Fig.2 Schematic diagram of three thermalwells

由于3種熱源井的結(jié)構(gòu)不同,導致3種熱源井井壁處的滲透系數(shù)不同,本文將3種熱源井井壁周圍區(qū)域放大,得到3種熱源井表皮效應,具體如圖3所示。

圖3 3種熱源井表皮效應Fig.3 Skin effect of three thermalwells

假設抽灌同井、循環(huán)單井存在與填礫區(qū)類似的區(qū)域(回填區(qū)),抽灌同井的回填物與含水層的物理性質(zhì)相同,循環(huán)單井的回填物為水。根據(jù)滲流力學中的表皮效應,將3種熱源井的回填區(qū)類比為表皮,由此對3種熱源井的滲透系數(shù)進行統(tǒng)一?;诒砥ば碚?,將抽灌同井條件下井壁的滲透系數(shù)等效于填礫抽灌同井和循環(huán)單井條件下井壁的滲透系數(shù)。由于抽灌同井回填區(qū)材料與含水層的物理性質(zhì)相同,即:

將式(11)帶入式(1)中,得到S=0。由于填礫抽灌同井回填區(qū)材料為粒徑較大的礫石,因此,回填區(qū)的滲透系數(shù)大于含水層的滲透系數(shù),即S<0,rw<rc。將S<0,rw<rc帶入式(1)得到k2/K>1,將k2/K>1帶入式(2),(3),(11)整理得到:

2 地下水滲流方程的求解

2.1 地下水滲流方程

填礫抽灌同井結(jié)構(gòu)如圖4所示。填礫抽灌同井具有井軸對稱的特點,填礫抽灌同井的井軸為縱軸,含水層的底部為橫軸,含水層上半部分為回水區(qū),含水層下半部分為抽水區(qū),回水經(jīng)回水濾網(wǎng)進入回水區(qū),含水層原水從抽水區(qū)進入抽水濾網(wǎng),抽水與回水在含水層同一徑向不同深度處發(fā)生。

圖4 填礫抽灌同井結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure diagram of FECSCW

含水層應滿足的假設條件、滲流方程及邊界條件如下。

①假設條件

假設含水層為無越流承壓含水層,當含水層的壓力下降時,含水層立刻彈性釋水;含水層為均質(zhì)、各向異性的物質(zhì),主滲透方向為水平方向和豎直方向,含水層厚度始終不變,含水層的側(cè)向無限延伸;流體在含水層中的流動符合達西定律;回灌和抽水流量相等,且抽、回水量在抽、回水濾網(wǎng)處均勻分布;當系統(tǒng)穩(wěn)定運行時,地下水流動處于穩(wěn)態(tài)滲流。

②滲流方程及邊界條件

基于上述假設條件,得到承壓含水層中滲流微分方程為

式中:H為地下水的壓力,kPa;krr為含水層水平方向的滲透系數(shù),m/s;kzz為含水層豎直方向的滲透系數(shù),m/s。

邊界條件的表達式為

式中:r1為井中心與井壁之間的距離,m;r為井中心距含水層內(nèi)任一點的半徑,m;kh為填礫抽灌同井壁面處的滲透系數(shù),m/s;Q1為回水流量,m3/s;Q2為抽水流量,m3/s;M為含水層的厚度,m;d1為抽水濾網(wǎng)下邊緣與含水層底部之間的距離,m;l1為抽水濾網(wǎng)長度,m;l2為回水濾網(wǎng)長度,m;d2為回水濾網(wǎng)下邊緣與抽水濾網(wǎng)上邊緣之間的距離,m;d3為回水濾網(wǎng)上邊緣與含水層頂部之間的距離,m。

2.2 解析解

邊界條件的表達式為

利用分離變數(shù)法對式(15)進行處理,并將式(16)按余弦級數(shù)展開,得到填礫抽灌同井的降深方程。

式中:K0(nπr/ρM),K1(nπr1/ρM)為第二類虛宗量貝塞爾函數(shù);w為填礫抽灌同井的結(jié)構(gòu)計算變量。

通過3種熱源井井壁處的滲透系數(shù)關(guān)系式,本文得到抽灌同井與循環(huán)單井的降深方程。

填礫抽灌同井的結(jié)構(gòu)計算變量的表達式為

2.3 數(shù)值解

圖4中填礫抽灌同井關(guān)于z軸對稱,因此只取填礫抽灌同井和含水層的一半進行研究,并利用外節(jié)點法對井壁外含水層區(qū)域進行網(wǎng)格劃分。為了與地下水滲流方程的解析解進行比較,本文假設滲透系數(shù)各項同性,即krr=kzz,ρ=1,Z=z,通過有限差分法對式(15)進行離散,得到網(wǎng)格中心點、回水濾網(wǎng)處、抽水濾網(wǎng)處、上頂板、下頂板處的地下水壓力計算式分別為

式中:i為網(wǎng)格的縱坐標;i+1為i上方相鄰縱坐標;i-1為i下方相鄰縱坐標;j為網(wǎng)格的橫坐標;j+1為j上方相鄰橫坐標;j-1為j下方相鄰橫坐標;H(i,j)為網(wǎng)格的地下水壓力,kPa;ri為網(wǎng)格的半徑,m;Δr為網(wǎng)格的寬度,m;Δz為網(wǎng)格的高度,m。

網(wǎng)格的計算程序步驟:①設置網(wǎng)格的初始值及迭代計算的收斂條件(2次計算結(jié)果的差值小于10-6);②進行網(wǎng)格的迭代計算,當網(wǎng)格的數(shù)值滿足收斂條件后停止計算。

3 模型驗證

引用參考文獻[22]中填礫抽灌同井的數(shù)據(jù),表1為填礫抽灌同井參數(shù)取值。本文通過地下水滲流方程的解析解驗證地下水滲流方程的數(shù)值解,具體步驟:①地下水滲流方程的解析解與數(shù)值解的地下水壓力分布趨勢是否相同;②地下水滲流方程的解析解選取3個不同位置的地下水壓力值,地下水滲流方程的數(shù)值解同樣選取相同位置的地下水壓力值,解析解的地下水壓力值與數(shù)值解的地下水壓力值之間的差值是否不超過5%。同時滿足上述兩個條件,則地下水滲流方程的數(shù)值解正確。

表1 填礫抽灌同井參數(shù)取值Table 1 Parameter selection of FECSCW

圖5為地下水滲流方程的數(shù)值解。當滲透系數(shù)各向同性時,krr=kzz,ρ=1,Z=z;當滲透系數(shù)各向異性時,krr/kzz=0.5,krr/kzz=2。由式(17),(18)得到地下水壓力和地下水流動速度。地下水滲流方程的解析解如圖6所示。

圖5 地下水滲流方程的數(shù)值解Fig.5 Numerical solution of groundwater seepage equation

圖6 地下水滲流方程的解析解Fig.6 Analytic solution of groundwater seepage equation

由圖5,6可知,地下水壓力分布關(guān)于z=0.48反對稱,抽水區(qū)的地下水壓力小于含水層的初始地下水壓力時,含水層中的原水進入抽水濾網(wǎng);回水區(qū)的地下水壓力大于含水層的初始地下水壓力時,回水回灌到含水層。由圖5,6還可以看出,含水層上、下頂板的地下水壓力沿含水層豎直方向沒有變化,與含水層上、下頂板的邊界條件相對應。在圖5中選取3個不同點的地下水壓力值,這3個 點的 坐 標 分 別 為H(0.4 ,0.6 ),H(0.1 ,0.7 ),H(0.5 ,0.8 ),相應的地下水壓力值分別為118.88 ,129.72 ,118.71 kPa;在圖6中選取3個不同點的地下水壓力值,這3個點坐標分別為H(0.4 ,0.6 ),H(0.1 ,0.7 ),H(0.5 ,0.8 ),相應的地下水壓力值分別為119.68 ,127.72 ,114.21 kPa。

3組誤差的平均值為2.0%,因此,利用地下水滲流方程的解析解可以驗證數(shù)值解,并且地下水滲流方程的數(shù)值解滿足上文的2個條件,因此,地下水滲流方程的數(shù)值解正確。地下水滲流方程的解析解與數(shù)值解之間的偏差由數(shù)學化簡所致,數(shù)學簡化可分為兩步,第一步為假設地下水滲流方程中2個自變量互不影響,地下水滲流方程由偏微分方程化簡為微分方程;第二步為采用有限差分法將微分方程化簡為差分方程。提高數(shù)值解精度的方法為通過加密網(wǎng)格,使差分方程無限逼近微分方程。

含水層的地下水速度矢量圖如圖7所示。

圖7 含水層的地下水速度矢量圖Fig.7 Groundwater velocity vector of aquifer

由于圖6中抽水區(qū)與回水區(qū)之間存在地下水壓力差,迫使圖7中含水層的原水和回灌水從回水區(qū)流動到抽水區(qū),從而發(fā)生流貫通,因此,填礫抽灌同井回水濾網(wǎng)與抽水濾網(wǎng)之間應設置擋板?;厮畢^(qū)z=0.70 處水流的速度方向為向右,z=0.45處水流的速度方向為向下,水流速度方向的改變,消耗了大量動能,導致z=0.45 處水流的速度很小。由圖7可知,抽、回水區(qū)水流的速度隨含水層半徑的增大而減小。

圖8為在同一深度下不同點處含水層的滲透系數(shù)之比對地下水壓力的影響

圖8 在同一深度下不同點處含水層的滲透系數(shù)之比對地下水壓力的影響Fig.8 The influence of the ratio of permeability coefficients of aquifers at different points at the same depth on groundwater pressure

由圖8可知:在z=0.69 處,地下水壓力隨著不同點處含水層滲透系數(shù)之比的增大而增大,在z=0.23 處,地下水壓力隨著不同點處含水層滲透系數(shù)之比的增大而減小;抽水區(qū)與回水區(qū)之間的地下水壓力差隨著不同點處含水層滲透系數(shù)之比的增大而增大。通過分析發(fā)現(xiàn):地下水壓力隨著不同點處含水層滲透系數(shù)之比的增大而增大;含水層中地下水流動方向與抽、回水口水流方向不一致會導致地下水消耗大量動能;地下水動能來源于抽、回水水泵的揚程;對于滲透系數(shù)之比大于1的含水層應選用揚程大的水泵。

圖9為在同一半徑下不同點處含水層的滲透系數(shù)之比對地下水壓力的影響。

由圖9可知,當krr/kzz=2時,r=0.07 ~0.23 m處,地下水壓力變化幅度劇烈;當krr/kzz=0.5 時,r=0.07 ~0.23 m處,地下水壓力變化幅度平緩,抽、回水的影響范圍隨著含水層滲透系數(shù)之比的減小而減小。此外,圖9中地下水壓力曲線相交于一點,該點坐標為z=0.48 m,這與抽、回水區(qū)地下水壓力分布關(guān)于z=0.48 m反對稱相對應。

4 結(jié)論

本文統(tǒng)一3種熱源井壁面處的滲透系數(shù),建立填礫抽灌同井地下水滲流方程,使用分離變數(shù)法、傅里葉變換和有限差分法,分別得到地下水滲流方程的解析解和數(shù)值解,并對地下水滲流方程的解析解和數(shù)值解進行對比得到如下結(jié)論。

①通過表皮效應建立循環(huán)單井、抽灌同井和填礫抽灌同井壁面處滲透系數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式。

②以填礫抽灌同井為例,本文建立穩(wěn)態(tài)承壓含水層地下水滲流方程及邊界條件,獲得填礫抽灌同井的降深方程。通過滲透系數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系式,本文得到抽灌同井和循環(huán)單井的降深方程。本文利用有限差分法對地下水滲流方程進行離散,并編寫計算程序,求得填礫抽灌同井的地下水滲流方程數(shù)值解。計算結(jié)果表明,地下水滲流方程的數(shù)值解和解析解的平均誤差為2.0%,誤差來源于數(shù)學化簡,減少誤差的方法為加密網(wǎng)格,加密網(wǎng)格使得地下水滲流方程的數(shù)值解無限逼近解析解,填礫抽灌同井的地下水滲流方程可用于解決該熱源井影響下的穩(wěn)態(tài)無越流承壓含水層的地下水流動問題。

③抽、回水區(qū)的壓力分布關(guān)于z=0.48 m反對稱。填礫抽灌同井出現(xiàn)流貫通現(xiàn)象。抽、回水的影響范圍隨著不同點處含水層滲透系數(shù)之比的增大而增大。滲透系數(shù)之比大于1的含水層應選擇揚程大的水泵;在填礫抽灌同井回水濾網(wǎng)與抽水濾網(wǎng)之間的含水層設置擋板后,能夠有效減緩流貫通的趨勢。

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