侯雨晴，郝慶一

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶 246133）

近年來，隨著經(jīng)濟和社會生產(chǎn)力的快速發(fā)展，人們的出行方式發(fā)生了極大的改變，交通事故頻發(fā)，交通問題引起了廣泛關(guān)注。于是，越來越多的交通模型被提出用以研究交通問題，其中元胞自動機（Cellular Automata）模型[1-2]，又稱CA模型，其規(guī)則簡單，易于仿真，能再現(xiàn)交通流復(fù)雜系統(tǒng)的很多動態(tài)特征，被廣泛應(yīng)用到交通流研究領(lǐng)域。1992 年，Nagel和Schreckberg 提出了模擬單行道交通流模型的基本元胞自動機模型[3]，簡稱NS模型。在NS模型的基礎(chǔ)上，大多數(shù)元胞自動機模型被拓展到用真實的交通因素來研究系統(tǒng)的特性，如交叉口、限速區(qū)、收費站、交通信號燈[4-5]等等。

交通信號燈用于平面交叉口，通過對同時到達交叉口的車輛發(fā)出指令，減少車輛間的互相干擾，提高道路的通行效率，保證了交叉口的交通安全。但由于經(jīng)濟條件限制，部分地區(qū)基礎(chǔ)建設(shè)有所欠缺，信號控制系統(tǒng)不完善，當兩輛車從兩個不同的方向接近無信號控制的交叉口時，駕駛員必須對如何通過交叉口做出決定，駕駛員的決定直接影響交叉口的行車安全以及道路的通行效率。所以，如何建立有效的博弈規(guī)則、增加道路通行效率[6-8]是我們研究的主要課題。

傳統(tǒng)觀點認為，車輛密度高時，有信號控制的交叉口的通行效率一定優(yōu)于無信號控制的自組織行為。然而，在博弈規(guī)則的作用下，可能出現(xiàn)自組織行為的通行效率更優(yōu)。本文將博弈作為理性的決策過程引入無信號平面交叉口的模型中，研究駕駛員決策對道路通行效率的影響。

1 模型描述

本文提出一個包含兩條一維垂直封閉鏈條的元胞自動機模型[9-10]，如圖1所示。鏈條代表單向車輛交通流的車道，一條鏈的交通流向是自南向北，另一條是自西向東。每條鏈由相同屬性的L個元胞組成，每個元胞依次編號i=1,2,3,…,L。兩條鏈交叉于i1=i2=L/2 處，時間離散。每個元胞在每個時刻的狀態(tài)只能為空或被速度為1的車輛占據(jù)，每輛車在每個時刻的速度為0或1，即每時刻僅移動1個元胞。

圖1 模型示意圖

更新規(guī)則：前方鄰居為空時，下一時刻車輛移動到前方空位；前方鄰居被占據(jù)時，下一時刻車輛保持不動。采用周期性邊界并行更新。

當只有垂直車道的車輛接近無信號控制的交叉口時，駕駛員只需要考慮前方交叉口的車輛情況，當前方交叉口為空，車輛可以順利進入交叉口。但是，當水平車道同樣有車接近交叉口時，駕駛員需要同時考慮前方交叉口及另一條車道的車輛情況。一般認為駕駛員有兩種策略選擇，合作（C）或背叛（D），持C策略的駕駛員在接近交叉口時大概率選擇退讓以避免沖突，持D策略的駕駛員則大概率選擇直接通過以避免等待。這樣就會出現(xiàn)四種博弈情況：（C，C）、（C，D）、（D，C）、（D，D）。如果兩條車道上接近交叉口的駕駛員同時采取C策略，此時兩車進入交叉口的概率相等，兩車的收益都等于1/2；如果兩條車道上的駕駛員一個采取C策略，一個采取D策略，此時C策略進入交叉口的概率為(1-r)/2，D策略進入交叉口的概率為(1+r)/2，持C策略的駕駛員收益為(1-r)/2，持D策略的駕駛員收益為(1+r)/2，其中r為參數(shù)，調(diào)整r的大小可控制不同策略進入交叉口的概率；如果兩條車道上接近交叉口的兩位駕駛員同時采取D策略，此時極大可能發(fā)生沖突，2輛車在2個時間步內(nèi)均保持不動，且收益都等于0，其余車輛可以正常移動。模型的收益矩陣見表1。

表1 模型的收益矩陣

與“囚徒困境”[11]等經(jīng)典的博弈模型不同，“贏留輸變”[12]是一種相對有效的策略，可以用來應(yīng)對駕駛員的困境。當雙方發(fā)生博弈后，成功進入交叉口的車輛，稱之為博弈獲勝方，反之為博弈失敗方。博弈獲勝方成功進入交叉口，下一時刻會繼續(xù)保持此策略，希望下次博弈繼續(xù)獲得勝利。博弈失敗方?jīng)]有成功進入交叉口，只能原地等待，所以下一時刻選擇以概率p改變策略，希望獲得下次博弈的勝利。當博弈獲勝方進入交叉口后，若后方鄰居已被車輛占據(jù)，則后方鄰居內(nèi)的車輛會選擇“貪小便宜”，緊跟前方車輛進入交叉口[6]，不再與另一條車道上的博弈失敗方博弈。但人的忍耐都是有限度的，當跟隨的車輛超過博弈失敗方的忍耐限度w，0 ≤w≤6，博弈失敗方不會再繼續(xù)忍耐，而是選擇與另一條車道的車輛持續(xù)博弈，直到通過交叉口為止。

2 模擬與分析

模擬時，設(shè)置系統(tǒng)長度L=1200，N1=N2，其中N1、N2分別表示垂直、水平車道車輛總數(shù)，數(shù)值結(jié)果是在丟棄t0=5×103個初始瞬態(tài)后，持續(xù)t=15×105個時間步長，經(jīng)過多次模擬后得到的平均數(shù)據(jù)。用ρ表示系統(tǒng)的車輛密度，即系統(tǒng)中被車輛占據(jù)的元胞數(shù)占元胞總數(shù)的比例。p表示博弈失敗方下一時刻改變策略的概率，w表示博弈失敗方的容忍度。用Pc表示系統(tǒng)的合作率，即系統(tǒng)中持C策略的車輛占全體車輛的比例。用F表示車流量，即經(jīng)過右邊界的平均車輛數(shù)。F=m/(t-t0)，其中t0是系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的初始時間，t是系統(tǒng)總的演化的時間，m是t-t0時間步內(nèi)經(jīng)過右邊界的車輛總數(shù)。調(diào)整參數(shù)ρ、Pc、p、w的大小，觀察不同參數(shù)下車流量F的變化情況。

現(xiàn)研究r=0.5、Pc=0.5時，博弈失敗方下一時刻改變策略的概率p對車流量的影響。圖2顯示了車流量隨車輛密度變化而變化的3個階段：自由流階段、相分離階段和堵塞階段。（1）ρ＜0.2時為自由流階段，車流量持續(xù)增加，p對車流量沒有明顯影響，兩條車道的時空圖分別對應(yīng)圖3中的（a1）、（b1），此時系統(tǒng)內(nèi)的車輛可以自由移動，整體呈均勻分布。（2）0.2 ≤ρ≤0.7時進入相分離階段，車流量趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定的高度和長度受概率p的影響，當p充分小時，在ρ≈0.25時出現(xiàn)一階相變，即流量的突然改變，時空圖分別對應(yīng)圖3中的（a2）、（b2），車輛在路口上游擁堵，下游自由流。（3）ρ＞0.7時進入堵塞階段，車流量持續(xù)降低，時空圖分別對應(yīng)圖3中的（a3）、（b3），車輛整體成擁堵狀態(tài)。模擬前，猜想越大的p值對應(yīng)的車流量應(yīng)該越高，但模擬后的結(jié)果是：當p＞0.1時，越大的p值車流量越低。

圖2 不同概率p下的密度-流量圖

圖3 p=0.5時不同密度下系統(tǒng)的時空圖。（a）垂直車道；（b）水平車道

我們用Pc0表示系統(tǒng)的初始合作率，圖4顯示了在r=0.5、p=0.5 時，Pc隨車輛密度的變化情況。（1）當Pc0＜0.5 時，初始系統(tǒng)中選擇合作策略的數(shù)量少于背叛，人們發(fā)現(xiàn)，選擇背叛策略不僅不利于個人收益，而且影響整個系統(tǒng)的通行效率，于是越來越多的人選擇合作策略希望獲得集體收益最大化。（2）當Pc0＞0.5 時，初始系統(tǒng)中選擇合作策略的數(shù)量大于選擇背叛策略的數(shù)量，大多數(shù)人無法實現(xiàn)個人收益最大化，越來越多的人選擇背叛策略以保證個人收益。當ρ=0.25時，系統(tǒng)經(jīng)過多次博弈達到平衡，Pc逐漸穩(wěn)定在0.5左右。

圖4 r=0.5、p=0.5時，Pc隨車輛密度的變化情況

根據(jù)有信號控制的平面交叉口的特點，規(guī)定周期T內(nèi)，交叉口只允許一條車道的車輛通行。取w的值分別為10、20、30、40、50，T的值分別為10、20、30、40、50。觀察系統(tǒng)的車流量和平均速度的變化情況。從圖5可以觀察到自組織行為在高密度下的通行效率明顯優(yōu)于有信號控制的系統(tǒng)，有信號控制的系統(tǒng)在ρ≈0.75時會出現(xiàn)車流量和平均速度的突然改變。Chattaraj[13]也曾做過關(guān)于不守規(guī)則的印度人與遵守規(guī)則的德國人的行人流實驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在相同密度下印度人的通行效率反而高于德國人，實驗結(jié)果與本文模擬結(jié)果基本一致。

圖5 （a）不同w下無信號控制的系統(tǒng)和（b）不同T下有信號控制的系統(tǒng)的車流量和平均速度

3 結(jié)論

本文在NS模型的基礎(chǔ)上，對無信號控制的平面交叉口的自組織行為進行建模分析，用博弈規(guī)則描述車輛通過無信號控制的交叉口的博弈過程，分析了不同參數(shù)下系統(tǒng)的車流量、平均速度及相變情況。研究結(jié)果表明，參數(shù)p和r的大小都會對系統(tǒng)的車流量造成明顯的影響，但初始合作率對系統(tǒng)車流量的影響不大，系統(tǒng)最終合作率穩(wěn)定在0.5左右，博弈規(guī)則控制下的自組織行為在無信號控制的交叉口的通行效率比有信號控制的交叉口的通行效率高。