蘭衍局

[摘 要]抽屜原理是組合教學(xué)中的一個重要原理。依據(jù)“一個項目玩一節(jié)課”的理念，利用撲克牌作為實驗項目，讓學(xué)生在玩撲克的游戲中體會、理解“抽屜原理”的概念，從而發(fā)展能力，提升素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]項目學(xué)習(xí);抽屜原理;撲克

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0010-04

【教學(xué)內(nèi)容】人教版教材六年級下冊“數(shù)學(xué)廣角——抽屜原理”

【教學(xué)目標(biāo)】

1.初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決一些簡單的實際問題。

2.通過猜測、驗證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，滲透建模思想;經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，親歷知識的形成過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。

3.提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

【項目背景與思考】

1.分析教材：教材并沒有直接給出“抽屜原理”的定義，而是在“你知道嗎”出現(xiàn)了這樣的描述：抽屜原理是組合教學(xué)中的一個重要原理，它最早由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出并用于解決數(shù)論中的問題，所以該原理又稱“狄利克雷原理”。

面對教材，需要關(guān)注以下兩種不同的問題形式：問題一，把4個蘋果放在3個抽屜里，總有1個抽屜至少有2個蘋果。對嗎？問題二，把4個蘋果放在3個抽屜里，總有（? ? ?）個抽屜里面至少有（? ? ?）個蘋果。這兩種不同的問題形式，會導(dǎo)致學(xué)生解題出現(xiàn)差異。問題一指向的是假設(shè)法，即假設(shè)這句話是錯誤的，那么，每個抽屜最多只能放1個蘋果……問題二指向的是平均分法，即將蘋果平均分散在不同抽屜里面，會使得每個抽屜中蘋果的數(shù)量盡可能的少。在問題二的背景下，學(xué)生容易列出“蘋果數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)”這樣的算式。

2.學(xué)情分析：學(xué)生對于這一教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有以下困難：

（1）對抽屜原理中“至少”的理解存在障礙。抽屜原理在語言表述上具有精練、概括、抽象的特點，因此，學(xué)生很難理解 “總有一個抽屜里至少放入了多少個物體”這樣表述的意義，他們往往忽略前半句 “存在性 ”的前提，將“存在性”與“至少”割裂后思考，根據(jù)過去的經(jīng)驗把 “至少”理解為數(shù)量上的絕對少。如有學(xué)生認(rèn)為：這個問題根本不用多想， 最少的個數(shù)就是 0，因而不能很好理解抽屜原理的數(shù)學(xué)模型。（其實，這里有最值思想的滲透，如果讓學(xué)生體會到最多的那一個抽屜里最少可以放幾支筆，就可以了。）

（2）對“存在性”的理解存在障礙。抽屜原理研究的是物體數(shù)最多的一個抽屜里最少會有幾個物體，只研究是否存在這樣一種現(xiàn)象， 而并不需要指出具體是哪一個抽屜。正所謂：“松下問童子，言師采藥去。只在此山中，云深不知處?！边@種“不確定性”與學(xué)生過去的定量學(xué)習(xí)和習(xí)慣于“明確指向”的思維定式之間存在著矛盾，在一定程度上影響著學(xué)生對抽屜原理的理解和應(yīng)用。換句話說，對存在性定理的理解即對最差角度的體會，“至少有一個”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個，但這里只需保證存在一個達(dá)到要求的抽屜就夠了。

（3）學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)知識的能力不強。鴿巢問題的表述本來就拗口，學(xué)生對“總有……至少……”的理解難度大，如果不讓學(xué)生從本質(zhì)上理解鴿巢原理，那學(xué)生是無法用準(zhǔn)確的語言來表達(dá)的。

為此，筆者依據(jù)“一個項目玩一節(jié)課”的理念，利用撲克作為實驗項目，讓學(xué)生在玩撲克的游戲中體會、理解抽屜原理的內(nèi)涵，從而發(fā)展能力，提升素養(yǎng)。

【項目實施過程】

一、課前談話

師：今天老師給大家?guī)砹藫淇伺?。你了解撲克牌嗎？誰能給大家介紹一下。

生：撲克牌有13個數(shù)字;撲克牌有4種花色和大小王。

師：用撲克牌可以干什么？

生1：賭博。

生2：玩游戲。

生3：用來學(xué)習(xí)，比如算24點。

生4：變魔術(shù)。

二、 引入新課

1.體會“總有”“至少”

【活動一】從一副52張的撲克牌（去掉大小王）中隨意抽出5張牌，如果把抽到的花色次數(shù)統(tǒng)計出來，可能會有什么規(guī)律？

師;仔細(xì)觀察這組數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：每種花色的次數(shù)會變化，但是每組的總數(shù)都是5。

生2：每組中最少的數(shù)量是0或1，最多的數(shù)量有2、3、4。

師：同學(xué)們能從整體上觀察數(shù)據(jù)，非常了不起。最多的花色次數(shù)還可能是幾？

生3：最多的花色次數(shù)是5，我剛才就抽到了5張“紅桃”的花色。但是，每組中總有一種花色至少會出現(xiàn)2次。

2.體會“至少”“總有”

師（板書“總有一種花色至少出現(xiàn)2次” ）：你覺得這句話對嗎？

師：在第一次實驗結(jié)果中，紅桃出現(xiàn)了3張，不是2張。

生4：這里是說，至少2張，不是剛好2張。至少的意思是大于或等于2。

師：但是在第一次中，“方塊”沒有出現(xiàn)一次，沒有大于或等于2呀？

生5：我明白了，在觀察這些數(shù)據(jù)的時候，不能僅僅看1種花色的情況，要把4種花色都看一遍。雖然在第一次的數(shù)據(jù)中，“方塊”沒有出現(xiàn)，但是，“黑桃”出現(xiàn)了3次。因此，總有一種花色出現(xiàn)2次是正確的。

（教師讓學(xué)生觀察、思考其他情況）

【設(shè)計意圖 ：“總有”和“至少”這兩個關(guān)鍵詞，反映了學(xué)生對“存在性原理”的理解水平。由于抽屜原理研究的是物體數(shù)最多的一個抽屜里最少會有幾個物體，只研究它是否存在這樣一種現(xiàn)象，而并不需要指出具體是哪一個抽屜。這種“不確定性”與學(xué)生過去的定量學(xué)習(xí)和習(xí)慣于“明確指向”的思維定式之間存在著矛盾，在一定程度上影響著學(xué)生對抽屜原理的理解和應(yīng)用。因此，在教學(xué)開始，筆者便讓學(xué)生開展“抽取撲克牌，觀察花色數(shù)量”的活動。學(xué)生在討論中體會“至少”和“總有”這兩個關(guān)鍵詞，為后續(xù)研究掃清障礙。】

三、教學(xué)新課

1.初步感知抽屜原理

【活動二】把4張撲克牌放在3本書上，總有1本書上面至少有2張撲克牌。對嗎？

要求：? （1）獨立操作：找出3本書，利用4張撲克牌（背面朝上）做實驗：邊操作，邊記錄。

（2）同桌合作：向同桌介紹你的想法;請同桌“找茬”。

師：能讀懂題目的意思嗎？我們先做一個小實驗吧。老師手上就有4張牌，你覺得可以怎么放？（根據(jù)學(xué)生回答，教師隨意在第一本書上放3張牌，在第二本書上放1張牌）

生1：我覺得這樣放是不符合要求的，因為題目要求是“放在3本書上”，而第三本書上沒有放。因而，這樣放是不行的。

生2：我覺得沒有問題，“把4張撲克牌放在3本書上”并不是說“每本書上都要放撲克牌”。

……

師：如果這樣放，該怎么記錄呢？（板書：3，1，0）

師：這樣放置的結(jié)果，能判斷嗎？

生3：可以的，因為第一本書上面有3張牌，說明了這個結(jié)論是正確的。

師：這種情況下可以說明這個結(jié)論是正確的，那是不是所有的情況都符合呢？看來，我們還需要繼續(xù)做實驗。

（同桌兩人合作做實驗，一人摸牌，一人記錄，教師巡視指導(dǎo)）

成果匯報：

（1）枚舉法1

生4：將4張撲克牌放在3本書上，羅列出所有的情況，有（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4）（3，1，0）（3，0，1）（1，0，3）（1，3，0）（0，1，3）（0，3，1）（2，2，0）（2，0，2）（0，2，2）（2，1，1）（1，1，2）（1，2，1），共計15種。

生5：我們羅列了全部情況，共有15種。每種情況都證明了總有1本書上面至少有2張撲克牌。因此，我們認(rèn)為這句話是正確的。

師（展示學(xué)生作品）：很多小組也想全部羅列出來，但是有些是14種，有些是16種。請大家認(rèn)真看看這15種，有沒有問題？

生6：我發(fā)現(xiàn)，他們在記錄這些數(shù)據(jù)的時候，能“有序思考”，仔細(xì)比較，應(yīng)該只有15種情況。

師：像這樣把全部的結(jié)果都羅列出來的實驗方法，我們稱為“枚舉法”。請仔細(xì)觀察這里的每一種結(jié)果，再想一想是否可以證明這句話是正確的。

生7：是的。

（2）枚舉法2

生8：我們認(rèn)為不用這么多，只要研究這四種就可以了：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。因為不管怎么放，只是順序變化了，而數(shù)量上沒有變化，對于總有2張撲克牌放在同一本書上這個命題沒有影響。

師（引導(dǎo)學(xué)生觀察剛才的15種）：（4，0，0），（0，4，0），（0，0，4）這三種情況是不是像這位同學(xué)講的一樣，只是順序發(fā)生改變，本質(zhì)上都是說明了“總有1本書上至少有2張撲克牌”？

生（齊）：是的。

生9：像這樣的情況，我們留下一種就可以了。這樣算下來，這15種可以分為4類，每類都留下一種情況，所以，只要研究4種就可以了。

師：同學(xué)們真了不起，能想到4種情況來代替15種。那么，有沒有比4種還簡單，但又能說明這個結(jié)論的方法呢？

（3）假設(shè)法1（最差角度）

生10：用（1，2，1）這一種情況就能說明這個結(jié)論是成立的。因為這個問題是讓我們判斷“總有1本書上會出現(xiàn)2張撲克牌”，我就從最差角度來思考：能不能讓每本書上都不出現(xiàn)2張或2張以上呢？于是，我在每本書上只放1張牌（教師讓學(xué)生到講臺前動手操作）。這樣，我分掉了3張牌?？墒?，還有1張牌，不管怎么放，總會出現(xiàn)在其中的一本書上。（板書：1×3=3? ?3<4）

（4）假設(shè)法2（反證法）

生11：我也是用（1，2，1）這種情況就能說明這個結(jié)論是成立的。但是，思考方法和生10不同，我假設(shè)這句話是錯誤的。那么，每本書上多只能放1張或0張牌（學(xué)生動手操作）。這樣，我分掉了3張牌?？墒?，還有1張牌，不管怎么放，總會出現(xiàn)在其中的一本書上。

【設(shè)計意圖：從枚舉出來的15種方法，到不考慮位置順序的4種方法，進(jìn)而到（1，2，1）這樣只用一種方法來證明的思維發(fā)展進(jìn)程中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過程，觸摸到了“抽屜原理”的本質(zhì)屬性，即從“最差角度”來思考問題，體會到了“抽屜原理”的優(yōu)越性。】

2.建構(gòu)抽屜模型

（1）1+1的模型書上

師：我們在“將4張撲克牌放在3本書上”發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。如果把撲克牌數(shù)和書本數(shù)都增加相同的數(shù)量，這個規(guī)律還存在嗎？（課件依次出示各種數(shù)量變化的情況）

A.將5張牌放到4本書上。

B.將6張牌放到5本書上。

C.將10張牌放到9本書上。

D.將100張牌放到99本書上。

[不管怎么放，總有1本書上面至少有2張牌。對嗎？ ]

師：請你挑選一個例子向同桌說一說原因。

師：你還發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生12：撲克牌數(shù)比書本數(shù)多1的時候，這個命題都成立。

（2）商+1的模型

①余數(shù)為2

師：如果撲克牌數(shù)與書本數(shù)發(fā)生其他變化時，還是這樣的嗎？

師： 5張牌放在3本書上，總有1本書上會出現(xiàn)2張牌對嗎？

生13：從最差的角度來思考，我先在每本書上放1張牌，這樣我的手上還有2張牌。不管怎么放，總會有1本書上會出現(xiàn)2張牌或3張牌。

生14：我反對，如果你把這2張牌放在同一本書上，本身就已經(jīng)給出了結(jié)論，那就不是從“最差角度”來思考了。應(yīng)該把2張牌分開放，雖然分開放了，但是每本書上還是有2張牌，才能說明結(jié)論是正確的。

……

②余數(shù)為0

師：如果把6張牌放在3本書上……你會怎么放呢？

生15：我首先在每本書上放1張牌，這時候手上還有3張牌，于是，繼續(xù)在每本書上放1張牌……

生16：我不會這樣放。6張牌放在3本書上，就是我們以前學(xué)習(xí)過的除法平均分，所以，我先口算6÷3=2，然后，直接在每本書上放2張牌。

師：真了不起！你發(fā)現(xiàn)了“抽屜原理”和以前學(xué)習(xí)的“除法平均分”是相同的，這是一種思考問題的好方法。

師：除法平均分的方法和剛才的方法有沒有相同的地方？

生17：除法平均分就是把撲克牌數(shù)“分散”了，也就是每本書上面都最少了。

生18：哦！除法平均分的方法也就是從“最差角度”來思考的方法。

……

【設(shè)計意圖 ：“最差角度”與“除法平均分角度”看似無關(guān)，實則本質(zhì)相同，用“除法平均分”證明結(jié)論的方法，就為“抽屜模型”的建構(gòu)做了很好的鋪墊?！?/p>

（3）破解“商+1”的模型，溝通平均分

【活動三】

A.將7張牌放到3本書上，有1本書上至少有3張牌。對嗎？

B.將8張牌放到3本書上，總有1本書上至少會出現(xiàn)（ 3 ）張牌。

C.將（? ? ）張牌放到（? ? ）本書上，總有1本書上至少會出現(xiàn)（? ? ）張牌。

師：將7張牌放在3本書上，總有1本書上至少有3張牌。你是怎么判斷的？

生19：我用假設(shè)法，在每本書上只放2張牌，但是我的手上還有1張牌，所以這個結(jié)論是成立的。

生20：我用的是平均分的方法，我的算式是7÷3=2……1，2+1=3。我將7張牌盡量平均分在3本書上，但是，只能分掉了6張牌。還有1張牌多余……

【設(shè)計意圖：同樣的一道判斷題，學(xué)生從不同的角度給出了解釋?？梢?，學(xué)生已經(jīng)理解了抽屜原理的實際含義?！?/p>

師：把8張牌放在3本書上，總有1本書上至少會出現(xiàn)幾張牌呢？

生21：這不是判斷題，這是填空題了，我覺得用假設(shè)法好像不太好。

生22：我們可以用平均分的方法來思考。8÷3=2……2，2+2=4。

生23：不對，應(yīng)該是2+1=3。要把多余的2張再“平均分”。

……

師：你們剛才發(fā)現(xiàn)和分析的就是著名的數(shù)學(xué)家狄利克雷發(fā)現(xiàn)的“鴿巢問題”，也叫作狄利克雷原理，同時叫作抽屜原理。

師：我們常常用蘋果和抽屜來表示需要研究的元素……

【設(shè)計意圖：把判斷題改為填空題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平均分”這種方法的普適性，學(xué)生就能“觸摸”到抽屜原理的本質(zhì)屬性?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）