黃愛玲，徐笑涵，關(guān)偉，段夢媛

(北京交通大學，綜合交通運輸大數(shù)據(jù)應用技術(shù)交通運輸行業(yè)重點實驗室，北京100044)

0 引言

城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)作為一個重要的城市基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)，其穩(wěn)定運行對保障城市的有序、高效運轉(zhuǎn)起到關(guān)鍵作用。在實際地鐵網(wǎng)絡(luò)中，由于運營設(shè)施設(shè)備發(fā)生故障或突發(fā)的大客流、事故、暴雨等極端天氣、自然災害等，會導致某些站點或斷面中斷運行，引起客流在網(wǎng)絡(luò)中重新分配，由于地鐵網(wǎng)絡(luò)存在擁堵傳播效應，進而通過站點或斷面之間的耦合作用引起其他站點失效，最終導致部分網(wǎng)絡(luò)或全網(wǎng)癱瘓，這種現(xiàn)象稱為級聯(lián)失效(Cascading Failure)，或相繼故障。研究地鐵站點受到破壞時的網(wǎng)絡(luò)相繼故障過程，分析評估地鐵網(wǎng)絡(luò)韌性，已成為軌道交通研究領(lǐng)域普遍關(guān)注的焦點之一。

目前，國內(nèi)外學者對交通網(wǎng)絡(luò)的抗毀性和級聯(lián)失效行為已展開了一定的研究。文獻[1]基于節(jié)點度的級聯(lián)失效平均規(guī)模，文獻[2]基于網(wǎng)絡(luò)效率和加權(quán)最大連通子圖相對規(guī)模指標，分別研究了危險品運輸關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)、城市群客運交通系統(tǒng)的級聯(lián)抗毀性。近年來，對于城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的研究也逐漸開展。文獻[3]基于負載-容量模型建立了城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型，并對網(wǎng)絡(luò)的失效程度和破化程度進行評估；文獻[4-5]基于耦合映像格子模型構(gòu)建軌道交通擁擠傳播模型，研究軌道交通級聯(lián)失效影響范圍和動力學過程。

綜上所述，目前對于軌道交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的研究大多集中在物理拓撲結(jié)構(gòu)的無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，鮮有考慮實際客流以及地鐵換乘條件的加權(quán)P 空間地鐵網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)穩(wěn)定性研究，且穩(wěn)定性分析指標相對單一；對時間推移條件下，地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的演化研究更是鮮有，且缺乏相關(guān)實證或仿真研究。為克服已有研究的局限，本文在以下方面開展了創(chuàng)新工作：

(1)考慮實際OD客流的影響，構(gòu)建能夠更好反映公交換乘行為的地鐵P空間加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)，以此網(wǎng)絡(luò)為分析基礎(chǔ)，提出基于客流強度加權(quán)的耦合映像格子模型的級聯(lián)失效分析方法，研究拓撲結(jié)構(gòu)和流量分布雙重耦合作用下的復雜網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出來的級聯(lián)失效行為，突破了傳統(tǒng)穩(wěn)定性研究僅考慮網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)影響的限制，更真實地反映了交通選擇行為對網(wǎng)絡(luò)動態(tài)穩(wěn)定性的影響。

(2)定義了地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性概念，提出公交網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性內(nèi)涵的構(gòu)成，并以此為依據(jù)從網(wǎng)絡(luò)連通性、自適應性、有效性多個維度更豐富、更全面地構(gòu)建了地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性評估測度指標，擺脫了以往研究僅從網(wǎng)絡(luò)連通性等單方面指標衡量網(wǎng)絡(luò)抗毀性的局限性。

(3)在處理、分析地鐵實際海量客流數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，以分析北京地鐵L空間、P空間網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和流量分布復雜性特征為穩(wěn)定性解析依據(jù)，基于所提模型對2014年和2018年北京地鐵網(wǎng)絡(luò)開展級聯(lián)失效動力學行為仿真研究，從多維指標定量化地鐵網(wǎng)絡(luò)抗毀能力，對比分析北京地鐵隨網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化而表現(xiàn)出來的動態(tài)穩(wěn)定性演化規(guī)律。

本文提出的模型方法體系可為開展相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)動態(tài)穩(wěn)定性研究奠定理論方法基礎(chǔ)，從而更真實地模擬考慮客流選擇行為的交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效過程；基于實際數(shù)據(jù)的演化仿真研究結(jié)論也能為規(guī)劃設(shè)計地鐵站點、優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、安全高效運營提供理論參考，進而提高網(wǎng)絡(luò)韌性、更好地滿足乘客出行需求。

1 用于穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)地鐵網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

1.1 地鐵P空間加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

常用的公共交通網(wǎng)絡(luò)拓撲映射方法主要有：L空間法、P空間法、R空間法等。L空間法是實際網(wǎng)絡(luò)的拓撲映射。P 空間法是將網(wǎng)絡(luò)中的站點作為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點，若兩個站點有直達的公交線路，那么就有一條連邊，否則不相連。為真實反映實際地鐵網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效行為，本文引入客流因素，構(gòu)建P空間地鐵加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)。定義P 空間中任意兩點i，j之間連邊的權(quán)重wij為兩個站點之間的OD 客流量，用Qij表示從點i上車到點j下車的乘客人數(shù)。P空間法也稱為換乘網(wǎng)絡(luò)，即每個站點的節(jié)點度k表示不需換乘，坐同一輛車就能到達的站點數(shù)，如圖1所示。

圖1 P空間法構(gòu)建地鐵加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Construction of metro weighted complex network with P-space method

1.2 地鐵客流OD分配

由于北京地鐵IC卡采集到的客流數(shù)據(jù)僅為進出站客流量，無具體乘車路徑和換乘信息，為獲取不同線路站點間上、下車客流量以構(gòu)建地鐵P空間網(wǎng)絡(luò)的邊權(quán)重，需要將進出站的客流量按照路徑選取規(guī)則分配到網(wǎng)絡(luò)中各條邊上，這一過程為地鐵網(wǎng)絡(luò)的OD配流。

考慮到本文側(cè)重研究地鐵網(wǎng)絡(luò)的宏觀結(jié)構(gòu)，且在現(xiàn)實生活中，地鐵乘客普遍傾向選擇出行距離最短的路徑出行，因此本文基于最短路徑的原則完成客流分配。假設(shè)乘客可獲得地鐵運營的完備信息，乘客總能選擇出行距離最短的路徑。計算網(wǎng)絡(luò)最短路徑的常用算法有：Dijkstra 算法、Floyd 算法、Bellman-Ford算法、Johnson算法等。由于地鐵網(wǎng)絡(luò)中邊的權(quán)重與客流相對應，不會出現(xiàn)負值，因此選擇Dijkstra算法來求解乘客出行的最短路徑。

2 基于耦合映像格子(CML)的地鐵網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

2.1 加權(quán)CML模型

目前對于網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效現(xiàn)象的研究，主要采用負載-容量模型、沙堆模型、耦合映像格子模型等。耦合映像格子模型(Coupled Map Lattice，CML)將時間和空間變量離散化，但狀態(tài)變量仍然連續(xù)化，可用來分析網(wǎng)絡(luò)的動力學特征和規(guī)律，故本文采用耦合映像格子模型研究地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性。目前耦合映像格子模型研究的網(wǎng)絡(luò)幾乎都是無權(quán)的，很少有對加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的研究，特別是對地鐵這種具有動態(tài)客流性的復雜網(wǎng)絡(luò)。在現(xiàn)實地鐵網(wǎng)絡(luò)中，故障的發(fā)生可能是由地鐵線路和站點構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)變化引起的，也有可能是網(wǎng)絡(luò)的客流量變化所導致的，無論何種原因誘發(fā)了故障，之后網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)和流量分布將同時受到影響，使得相繼故障基于“拓撲網(wǎng)絡(luò)”“流量分布網(wǎng)絡(luò)”這兩個網(wǎng)絡(luò)的疊加耦合作用而產(chǎn)生。這里把“流量分布網(wǎng)絡(luò)”看作一個網(wǎng)絡(luò)，是為了區(qū)分沒有考慮加權(quán)的地鐵拓撲結(jié)構(gòu)，實際上，這個“流量分布網(wǎng)絡(luò)”仍然是架構(gòu)在地鐵線路站點所構(gòu)成的拓撲網(wǎng)絡(luò)上。因此，考慮現(xiàn)實中客流動態(tài)行為對于網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性具有影響作用，本文把客流量作為信息加載到地鐵拓撲網(wǎng)絡(luò)上，考慮拓撲網(wǎng)絡(luò)和流量分布網(wǎng)絡(luò)耦合后，以及“兩個”網(wǎng)絡(luò)在不同的耦合強度下，研究這類加權(quán)網(wǎng)絡(luò)耦合映像格子相繼故障的行為特點，對于提高實際地鐵網(wǎng)絡(luò)的可靠性和穩(wěn)定性具有非常重要的意義。

因此，采用HUANG[6]提出的一種適合描述加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效模型研究地鐵網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，即

式中：xi(t)為第i個節(jié)點在t時刻的狀態(tài)；k(i)為節(jié)點i的度；s(i)為節(jié)點i的強度，ε1為引入無權(quán)拓撲網(wǎng)絡(luò)耦合系數(shù)，ε2為加權(quán)流量分布耦合系數(shù)，分別表征有無加載流量而導致的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系的差異，ε1,ε2∈(0,1)，ε1+ε2≤1；aij為節(jié)點i和節(jié)點j的連接狀態(tài)，若節(jié)點i和節(jié)點j有邊連接，則aij=aji=1，否則aij=aji=0；A為N個節(jié)點的連接信息，；f(x)為非線性映射函數(shù)，其物理意義可表征為節(jié)點i的容量或運力約束的演化規(guī)律，本文采用一維耦合映像格子模型的映射函數(shù)，即

式中：1≤b≤4，通常取b=4。當0≤x≤1 時，0≤f(x)≤1。

如果節(jié)點i的狀態(tài)在m時刻內(nèi)始終在(0,1)范圍內(nèi)，即0m。如果網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的初始狀態(tài)都在(0,1) 范圍內(nèi)，節(jié)點狀態(tài)按照式(1)迭代演化，并且沒有外部擾動，那么所有節(jié)點都將保持正常狀態(tài)。

2.2 基于加權(quán)CML模型的動態(tài)穩(wěn)定性分析方法

為研究地鐵網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，在m時刻對節(jié)點i施加一個外部擾動R≥1，使其發(fā)生故障，進而研究其他節(jié)點的級聯(lián)失效現(xiàn)象，模型為

在這種情況下，節(jié)點i在第m時刻發(fā)生故障，對所有的t>m都有xi(t)≡0。在下一個時刻，所有與節(jié)點i直接相連的節(jié)點，都會受到m時刻i節(jié)點狀態(tài)xi(m)的影響，這些節(jié)點狀態(tài)可由式(3)求出，由此得到的節(jié)點狀態(tài)值可能大于1，從而引發(fā)新一輪的容量超載，產(chǎn)生新的故障節(jié)點，進而與之有關(guān)的流量將在網(wǎng)絡(luò)上重新分布，此過程反復進行，節(jié)點故障可能會發(fā)生擴散，這一過程也就是級聯(lián)失效。

3 穩(wěn)定性評價指標

地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性是指在外界因素對城市地鐵網(wǎng)絡(luò)進行不同強度的干擾下，站點或線路遭到某種程度的破壞后，在一定的時間和條件下地鐵網(wǎng)絡(luò)能夠繼續(xù)滿足乘客出行需求的能力?；谖墨I[7]對交通網(wǎng)絡(luò)韌性的定義，本文提出地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性具有3 個內(nèi)涵：生存性、自適應性和有效性。生存性是在隨機或蓄意破壞下，地鐵網(wǎng)絡(luò)能繼續(xù)提供運輸服務的能力，主要反映隨機性和蓄意破壞對網(wǎng)絡(luò)動靜態(tài)穩(wěn)定性的影響，通常用網(wǎng)絡(luò)連通性體現(xiàn)；自適應性表示地鐵網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)適應外界變化的能力，在外界環(huán)境干擾影響下，地鐵網(wǎng)絡(luò)能夠根據(jù)外界變化進行重組，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)內(nèi)部具有自發(fā)地由無序向有序轉(zhuǎn)化的能力；有效性是一種基于系統(tǒng)運作的穩(wěn)定性，主要反映在地鐵網(wǎng)絡(luò)運營過程中，在正常狀態(tài)或站點、線路失效情況下，能夠發(fā)揮多大功能以滿足運營要求。基于此，本文從網(wǎng)絡(luò)連通性、自適應性和有效性3個方面提出指標來體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性內(nèi)涵。

(1)網(wǎng)絡(luò)連通性指標1 故障節(jié)點比

第t時刻的故障節(jié)點比Z(t)是網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生故障的節(jié)點總數(shù)C(t)與節(jié)點總數(shù)N的比值，用來反映網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點失效的影響范圍，是體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)連通性能的一個重要指標。

當網(wǎng)絡(luò)中不再有節(jié)點發(fā)生故障時，網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的最終規(guī)模用C表示，即

(2)網(wǎng)絡(luò)連通性指標2 度-度相關(guān)性

網(wǎng)絡(luò)的度-度相關(guān)性可反映網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)連通性特征。網(wǎng)絡(luò)中如果度大的節(jié)點傾向于和度大的節(jié)點連接，則網(wǎng)絡(luò)是度-度正相關(guān)，也稱同配的；如果度大的節(jié)點傾向于和度小的節(jié)點連接，則網(wǎng)絡(luò)是度-度負相關(guān)，也稱為異配的。異配網(wǎng)絡(luò)在大范圍內(nèi)是穩(wěn)定的，同配網(wǎng)絡(luò)則相對不穩(wěn)定。可基于節(jié)點度的Person相關(guān)系數(shù)r[8]來描述度-度相關(guān)性，即

式中：ki，kj分別為邊eij的兩個節(jié)點i，j的度；M為網(wǎng)絡(luò)的總邊數(shù)；E為網(wǎng)絡(luò)邊的集合；r的取值為0≤|r|≤1。相關(guān)系數(shù)越大，節(jié)點之間的聯(lián)系越緊密，相關(guān)性越強；當相關(guān)系數(shù)為0時，網(wǎng)絡(luò)是不相關(guān)的。

(3)網(wǎng)絡(luò)自適應性指標網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵

熵是系統(tǒng)的一種無序度量，是測度網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)適應外界變化能力的重要指標。熵越大，表明系統(tǒng)的無序程度越高；反之，熵越小，系統(tǒng)內(nèi)部越單一化，越有序。如果網(wǎng)絡(luò)是隨機連接的，各個節(jié)點的重要度大致相當，則認為網(wǎng)絡(luò)是無序的；反之，如果網(wǎng)絡(luò)中有少量的具有高連通度的中樞節(jié)點和大量的具有低連通度的節(jié)點，那么不同節(jié)點的重要性程度存在差異，則認為這種網(wǎng)絡(luò)是有序的。采用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵[9]H可以簡潔度量復雜網(wǎng)絡(luò)的序狀態(tài)，即

式中：Ii為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點i的重要度，

當網(wǎng)絡(luò)完全均勻，即Ii=1N時，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵有最大值，即

當網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點都與某一個節(jié)點(假設(shè)為節(jié)點1)相連，即k1=N-1,ki=1,i>1,則i>1，網(wǎng)絡(luò)最不均勻，此時網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵有最小值，即

為消除節(jié)點數(shù)目N對H的影響，對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵進行歸一化處理，即

式中：Hs為網(wǎng)絡(luò)的標準結(jié)構(gòu)熵，0≤Hs≤1。

(4)網(wǎng)絡(luò)有效性指標網(wǎng)絡(luò)平均效率

網(wǎng)絡(luò)效率可衡量遭受攻擊后，網(wǎng)絡(luò)的整體結(jié)構(gòu)性能。網(wǎng)絡(luò)的平均效率定義[10]為

式中：dij為節(jié)點i和節(jié)點j之間的最短路徑長度，當節(jié)點i、j間無路徑連接時，則dij=+∞。網(wǎng)絡(luò)平均效率En反映了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化對節(jié)點間最短路徑的影響，通過該指標能持續(xù)觀察網(wǎng)絡(luò)整體的變化規(guī)律，其所表現(xiàn)出來的網(wǎng)絡(luò)全局連通效率，可以用來衡量網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。

4 北京地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性演化分析

4.1 北京地鐵P空間加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建和分析

基于北京地鐵IC卡刷卡數(shù)據(jù)，本文對實施相同票價體制的2014年12月29日和2018年3月1日的北京地鐵網(wǎng)絡(luò)開展穩(wěn)定性研究。2018年北京地鐵系統(tǒng)與2014年相比，新增了4條線路和69個站點，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化相對較大，如圖2所示。選取的兩個日期均為周一，能夠反映工作日乘客的出行規(guī)律。

圖2 2014年與2018年北京地鐵拓撲網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Topological networks of Beijing metro in 2014 and 2018

根據(jù)前文描述的方法，按“最短出行距離”為第一出行目標完成地鐵網(wǎng)絡(luò)OD客流分配，得到經(jīng)由最短路徑的中間換乘站和乘坐線路，統(tǒng)計得出不同站點間的上、下車OD量。由此構(gòu)建2014年與2018年北京地鐵P 空間網(wǎng)絡(luò)，如圖3所示，其中，節(jié)點顏色的深淺和大小代表該節(jié)點的重要程度和客流量大小，即顏色越深，節(jié)點越大，節(jié)點的重要程度和客流量也越大。實際地鐵網(wǎng)絡(luò)(L空間)和P空間網(wǎng)絡(luò)的屬性對比如表1所示。

表1 2014年與2018年北京地鐵復雜網(wǎng)絡(luò)指標對比Table 1 Comparison of static indicators of Beijing metro networks in 2014 and 2018

圖3 2014年與2018年北京地鐵P空間網(wǎng)絡(luò)Fig.3 P-space networks of Beijing metro in 2014 and 2018

對網(wǎng)絡(luò)復雜特征統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，2014年地鐵網(wǎng)絡(luò)度分布服從指數(shù)分布，2018年服從指數(shù)γ=3.7的冪律分布，表明北京地鐵網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)從小世界網(wǎng)絡(luò)演化為無標度網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性明顯提升。P空間下強度分布均為冪律分布，指數(shù)差別不大，表明網(wǎng)絡(luò)流量分布均呈現(xiàn)很強的異質(zhì)性特征，因此考慮流量與拓撲結(jié)構(gòu)的耦合對網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響具有重要意義。

4.2 北京地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析

基于2.1節(jié)提出的CML模型研究發(fā)現(xiàn)：拓撲結(jié)構(gòu)耦合程度ε1、流量分布耦合程度ε2對相繼故障的發(fā)生時間、傳播速度和故障規(guī)模均有一定的影響；當ε1<ε2時，有趨勢表明，隨著ε1增大相繼故障傳播速度越快；當ε1>ε2時，ε1對網(wǎng)絡(luò)相繼故障的傳播速度、高峰比例和高峰時間產(chǎn)生的影響很??；總體來看，無論ε1,ε2的取值如何變化，蓄意攻擊強度最大的站點時，網(wǎng)絡(luò)受到的破壞沖擊比蓄意攻擊度最大的站點或發(fā)生隨機故障時要大得多。因此，為簡便起見，本文僅對拓撲結(jié)構(gòu)和流量分布的耦合程度一致的情況開展研究，即取CML 模型參數(shù)ε1=ε2=0.5。此外，由于無標度網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊具有較好的魯棒性，而對蓄意攻擊表現(xiàn)出較大的脆弱性，因此，考慮北京地鐵網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)的無標度特性，本文僅對基于站點的蓄意攻擊模式展開研究，即考慮對站點施加小、中、大共3種不同程度的擾動，即擾動強度R分別取4、6、8，以更全面地模擬站點不同程度的故障情況。

本文模擬攻擊策略為：根據(jù)2.2節(jié)模型，選取網(wǎng)絡(luò)中重要度不同的3 個站點進行蓄意攻擊，模擬2014年和2018年這兩個時期P 空間地鐵網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效行為，過程中剔除網(wǎng)絡(luò)中失效的節(jié)點和該節(jié)點連接的邊，計算穩(wěn)定性指標來分析北京地鐵的穩(wěn)定性演化規(guī)律。選取的3 個站點分別為八寶山站(BBS)、望京西站(WJX)和西直門站(XZM)。其中，八寶山站所屬地鐵1 號線，為非換乘站，離市中心較遠，客流量較少，是地鐵網(wǎng)絡(luò)中的非關(guān)鍵節(jié)點；望京西站是地鐵13號線和15號線的一座兩線換乘車站，每日客流量較大，屬于關(guān)鍵節(jié)點；西直門站是地鐵2 號線、4 號線、13 號線3 線換乘站，每日客流大且集中，是網(wǎng)絡(luò)中最重要的關(guān)鍵節(jié)點之一。為便于作圖，將2014年、2018年分別簡寫為14、18，故將2014年八寶山站、2018年八寶山站、2014年西直門站、2018年西直門站、2014年望京西站、2018年望京西站分別簡稱為14BBS、18BBS、14XZM、18XZM、14WJX、18WJX。

(1)故障節(jié)點比

如圖4和圖5所示，在時間步長t=1 時刻，分別施加3個不同程度的擾動R，級聯(lián)失效的站點數(shù)目C和故障節(jié)點比Z與發(fā)生時間步均呈擬正態(tài)分布。

圖4 不同擾動強度R 下的北京地鐵網(wǎng)絡(luò)崩潰站點數(shù)目CFig.4 Number of crashed stations C in Beijing metro network under different attack R

圖5 不同擾動強度R 下的北京地鐵網(wǎng)絡(luò)故障節(jié)點比ZFig.5 Ratio of failed nodes Z in Beijing metro network under different attack R

當擾動較小時(即R=4)，只有西直門站在受到攻擊時出現(xiàn)了大面積的節(jié)點故障，甚至整個網(wǎng)絡(luò)癱瘓；八寶山站和望京西站受到攻擊時，無論是2014年還是2018年，網(wǎng)絡(luò)都能在短時間內(nèi)重新恢復穩(wěn)定。當擾動較大時(即R=6 或8)，只有八寶山站受到攻擊時，網(wǎng)絡(luò)仍能處于較為穩(wěn)定的狀態(tài)；西直門站或望京西站受到攻擊時，都大概率導致最終網(wǎng)絡(luò)的崩潰?？傮w上看，站點被攻擊后網(wǎng)絡(luò)受到的影響從大到小的排列依次為：2014年西直門站、2018年西直門站、2014年望京西站、2018望京西站、2014年八寶山站、2018年八寶山站。由此得出，攻擊越重要的站點，網(wǎng)絡(luò)受破壞的范圍越大，發(fā)生崩潰的概論也越高；對同一站點而言，2018年的地鐵網(wǎng)絡(luò)雖然規(guī)模更大，但是穩(wěn)定性和抗毀性要高于2014年。

(2)度-度相關(guān)性

如圖6所示，2014年和2018年地鐵網(wǎng)絡(luò)無論是否受到攻擊，度-度相關(guān)系數(shù)r均為正值，這表明北京地鐵網(wǎng)絡(luò)隨時間演化均保持同配性，具有社會網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征。

圖6 不同擾動強度R 下的網(wǎng)絡(luò)度-度相關(guān)系數(shù)rFig.6 Network degree-degree correlation coefficient r under different attack R

從整體上來看，無論擾動R的大小如何，2014年、2018年八寶山站被攻擊時，相關(guān)系數(shù)r基本保持不變；隨著擾動R的不斷增大，相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)快速上升的情形也增多，但以R=4和R=8的強度分別攻擊2014年西直門站、望京西站時，存在相關(guān)系數(shù)下降的情況。由此可以得出：當站點受到攻擊時，相關(guān)系數(shù)大概率會呈上升趨勢，特別是以更大強度攻擊越重要的站點時，網(wǎng)絡(luò)的同配性更加明顯，網(wǎng)絡(luò)大范圍處于不穩(wěn)定性狀態(tài)；同時也存在相關(guān)系數(shù)隨時步長不變或下降的可能，表明網(wǎng)絡(luò)具有一定的自我修復能力。因此，保護重要站點免受攻擊對維持網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性具有重要作用。同時發(fā)現(xiàn)，當攻擊重要節(jié)點時，2018年網(wǎng)絡(luò)相關(guān)系數(shù)開始增大時序要明顯晚于2014年，表明2018年地鐵網(wǎng)絡(luò)的抗毀性和穩(wěn)定性比2014年有顯著提升。

(3)標準網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵

如圖7所示，當攻擊客流量小的站點時，標準網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵Hs基本保持不變，表明網(wǎng)絡(luò)具有較強的自適應能力；當以更大強度攻擊客流量大的站點時，盡管熵值在一定時間內(nèi)波動、呈現(xiàn)出局部低谷點，但最終整體呈上升趨勢，表明隨著故障站點和線路的增多，網(wǎng)絡(luò)經(jīng)歷一定的自組織調(diào)整后，整體仍將朝著混亂、無序的方向發(fā)展，地鐵網(wǎng)絡(luò)對蓄意攻擊客流量大的站點表現(xiàn)比較脆弱，網(wǎng)絡(luò)自適應能力下降較快。同時，當攻擊客流量大的站點時，通過對比熵值開始上升、出現(xiàn)無序化的時序，可以觀察到，2018年地鐵網(wǎng)絡(luò)無序化的出現(xiàn)時刻和傳播速度要明顯慢于2014年，2018年地鐵網(wǎng)絡(luò)的自適應性和穩(wěn)定性要顯著優(yōu)于2014年。

圖7 不同擾動強度R 下的北京地鐵標準網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵HsFig.7 Standard network structure entropy Hs under different attack R

(4)網(wǎng)絡(luò)平均效率

如圖8所示，當擾動較小，或流量較小的站點被攻擊時，地鐵網(wǎng)絡(luò)平均效率基本保持不變；當擾動較大，或攻擊流量較大的站點時，地鐵網(wǎng)絡(luò)平均效率整體呈現(xiàn)下降趨勢，局部可能會有較小范圍的波動，當網(wǎng)絡(luò)中幾乎所有站點被破壞時，網(wǎng)絡(luò)平均效率趨于0，網(wǎng)絡(luò)全局連通效率快速下降。當攻擊網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點時，2018年地鐵網(wǎng)絡(luò)平均效率下降的趨勢要顯著慢于2014年，隨著擾動增大這種現(xiàn)象更加普遍，這進一步說明，2018年地鐵網(wǎng)絡(luò)的韌性有了顯著提升，即隨著時間的推移，北京地鐵網(wǎng)絡(luò)也朝著更加穩(wěn)定的方向演化。

圖8 不同擾動強度R 下北京地鐵網(wǎng)絡(luò)平均效率EnFig.8 Average network efficiency En under different attack R

(5)演化結(jié)果分析

總結(jié)上述分析結(jié)果可得網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效時序表，如表2所示。由此可見：面對蓄意攻擊，2018年網(wǎng)絡(luò)的整體穩(wěn)定性要高于2014年；隨著攻擊節(jié)點的客流量增大，網(wǎng)絡(luò)發(fā)生崩潰的時間步長越短；不同節(jié)點、不同攻擊強度下，網(wǎng)絡(luò)具有一定的自我修復能力和一定的抗毀性；隨著攻擊強度增大，網(wǎng)絡(luò)發(fā)生崩潰的概率也隨之變大，發(fā)生崩潰的時刻也會提前。

表2 網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效時序Table 2 Timing sequence of cascading failures in network

5 結(jié)論

本文基于加權(quán)耦合映像格子模型對2014年和2018年北京地鐵加權(quán)P 空間網(wǎng)絡(luò)進行穩(wěn)定性分析，研究北京地鐵網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的演化過程。研究發(fā)現(xiàn)：

(1)隨著北京地鐵拓撲網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由2014年小世界網(wǎng)絡(luò)向2018年無標度網(wǎng)絡(luò)演化，網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性增加，網(wǎng)絡(luò)連通性指標分析結(jié)果也表明，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性和穩(wěn)定性隨之增強。

(2)由于無標度網(wǎng)絡(luò)對于隨機攻擊具有更好的魯棒性，設(shè)計地鐵網(wǎng)絡(luò)時，應注意提高整個網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性，使網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)無標度網(wǎng)絡(luò)特性。

(3)網(wǎng)絡(luò)自適應和有效性指標分析結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點面對蓄意攻擊具有一定的自我修復能力，非關(guān)鍵節(jié)點的失效對網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性影響不大，但關(guān)鍵節(jié)點對蓄意攻擊表現(xiàn)脆弱，能極大概率觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效行為，因此在站點設(shè)置時應綜合考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和位置，合理設(shè)置關(guān)鍵節(jié)點。

同時在實際運營中要重點保護網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點，強化關(guān)鍵站點的安全運營管理，注意合理有效地引導站點客流分流，加強客流疏散組織。

(4)結(jié)合實際數(shù)據(jù)的模擬分析表明，望京西站故障引發(fā)的網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效過程與網(wǎng)絡(luò)最重要的節(jié)點——西直門站較為相似。地鐵17 號線預計于2021年年底開通，望京西站也將成為3 線換乘車站，未來也應強化此類站點的安全運營管理，做好安全防護工作。