孟凡婷，楊立興*，盧亞菡，郭戎格

(北京交通大學(xué)，a.軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

0 引言

目前，城市軌道交通系統(tǒng)以準(zhǔn)時(shí)、便捷、容量大、排放低等特點(diǎn)，在緩解城市交通擁堵方面發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。隨著地鐵運(yùn)營(yíng)規(guī)模的擴(kuò)張，以地鐵為出行方式的乘客需求快速增長(zhǎng)，地鐵系統(tǒng)擁堵問(wèn)題日趨嚴(yán)重，引起了專家學(xué)者的廣泛關(guān)注。部分學(xué)者以面向服務(wù)的列車運(yùn)行圖優(yōu)化為研究對(duì)象，建立優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)求解算法。考慮到列車裝載和站臺(tái)容量限制，部分學(xué)者專注于軌道交通車站限流。然而，單目標(biāo)優(yōu)化方法難以實(shí)現(xiàn)全面優(yōu)化，不足以滿足城市軌道交通大運(yùn)量的發(fā)展。因此，研究軌道交通列車運(yùn)行圖與車站限流協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題，在有效緩解地鐵線路過(guò)度擁擠的同時(shí)提高運(yùn)營(yíng)效率，具有重要意義。

近年來(lái)，軌道交通乘客出行需求與運(yùn)行圖優(yōu)化相結(jié)合的趨勢(shì)日益凸顯，通過(guò)兩者的緊密結(jié)合，得到列車運(yùn)行調(diào)度較優(yōu)的解，提高列車運(yùn)行計(jì)劃的可實(shí)施性。兩者結(jié)合的方法主要包括兩大類：一類是基于乘客出行需求對(duì)列車運(yùn)行圖進(jìn)行優(yōu)化和調(diào)整。YIN 等[1]考慮乘客需求的動(dòng)態(tài)隨機(jī)性，提出近似動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，求解列車運(yùn)行圖問(wèn)題。SHANG等[2]基于多商品流理論，以提高過(guò)載地鐵系統(tǒng)資源的均衡配置為目標(biāo)，建立跳站模式下的列車運(yùn)行圖優(yōu)化模型。然而，受軌道交通資源(列車裝載容量，列車開(kāi)行列數(shù))和列車運(yùn)行安全的限制，僅對(duì)運(yùn)行圖進(jìn)行優(yōu)化與調(diào)整不足以滿足乘客的出行需求，尤其是在高峰時(shí)段，即使列車發(fā)車間隔很小，因?yàn)橘Y源分布不均衡及短期大客流聚集，站臺(tái)乘客擁擠度仍然很高，給軌道交通運(yùn)營(yíng)帶來(lái)較大風(fēng)險(xiǎn)。另一類是對(duì)客流控制與軌道交通運(yùn)行圖進(jìn)行系統(tǒng)優(yōu)化。SHI等[3]建立以最小化旅客等待時(shí)間為目標(biāo)的地鐵過(guò)飽和線路協(xié)同車站限流模型，提出精確的車站限流措施，達(dá)到在列車運(yùn)載能力范圍內(nèi)緩解站臺(tái)擁擠的目的。李登輝等[4]針對(duì)線路客流控制問(wèn)題，考慮各車站限流方案的可行性，基于Fisher最優(yōu)分割方法，建立以極小化乘客等待時(shí)間和極大化旅客周轉(zhuǎn)量為目標(biāo)的協(xié)同優(yōu)化模型。趙鵬等[5]以乘客延誤流失最小化和客運(yùn)周轉(zhuǎn)量最大化為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建線路層面的車站間及時(shí)段間協(xié)調(diào)控制模型。石俊剛等[6]將軌道交通安全運(yùn)營(yíng)納入衡量指標(biāo)，建立以安全為衡量指標(biāo)的高峰時(shí)段地鐵線路多站協(xié)同客流控制模型。李佳杰等[7]分析乘客的換乘行為，建立考慮換乘乘客的列車運(yùn)行圖與限流非線性優(yōu)化模型。上述研究大多僅考慮通用形式的列車運(yùn)行圖，未考慮列車跳停對(duì)車站限流和運(yùn)行圖的影響。

本文提出考慮跳停策略的列車運(yùn)行圖和車站限流協(xié)同優(yōu)化雙目標(biāo)模型，以提高列車運(yùn)行效率和減少客流乘車延誤人數(shù)。為使模型更貼近實(shí)際，對(duì)列車的到發(fā)時(shí)刻、乘客進(jìn)站人數(shù)、跳停策略同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。為降低求解難度，使用時(shí)間重構(gòu)和大M 法對(duì)非線性約束進(jìn)行線性化處理，使得問(wèn)題便于求解。

1 問(wèn)題描述

考慮一條單向的軌道交通線路，物理結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 軌道交通線路物理結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of physical structure of rail transit line

圖1中有N個(gè)車站，N-1 個(gè)區(qū)段，列車從車站1 發(fā)車，按照上行方向從車站1 運(yùn)行到車站N。為提高列車運(yùn)行效率，均衡軌道交通資源配置，采用靈活跳停策略，即允許列車經(jīng)過(guò)某些車站不停車。但列車不能在相鄰兩站連續(xù)不停車，且相鄰兩列列車不能連續(xù)在某站不停車。為便于模型描述，對(duì)計(jì)劃時(shí)間域進(jìn)行離散處理，將其離散為含有T個(gè)單位時(shí)間的時(shí)間戳。跳停策略下，在具有5個(gè)物理車站的軌道交通線路上，所有服務(wù)列車可允許的運(yùn)行模式如表1所示。

表1 列車運(yùn)行模式Table 1 Train operation mode

本文假定車站限流實(shí)施在乘客進(jìn)入站廳后，臨近站臺(tái)處，是一種精細(xì)化的限流策略，依據(jù)乘客出行OD，只有乘客可以乘坐下一列車，才被允許進(jìn)入站臺(tái)，否則只能在站廳等待，即所有進(jìn)入站臺(tái)乘客均可乘坐下次停站列車，以此減少站臺(tái)擁擠，具體限流措施如圖2所示。在站廳內(nèi)有多個(gè)閘機(jī)，分別對(duì)應(yīng)不同的目的站，乘客只可以依據(jù)其目的站從特定閘機(jī)進(jìn)站。乘客到達(dá)是與時(shí)間相關(guān)的OD矩陣，且每個(gè)時(shí)間步到站乘客數(shù)量已知。乘客以到站列車時(shí)間間隔為單位，按照限流措施勻速進(jìn)入站臺(tái)。

圖2 車站限流示意Fig.2 Illustration of passenger flow control at stations

2 模型構(gòu)建

為簡(jiǎn)化問(wèn)題，作以下假設(shè)：

(1)在服務(wù)線路上，列車采取靈活跳站策略，可以在除首、末站外的任意車站經(jīng)過(guò)不停車。為簡(jiǎn)化計(jì)算，列車站間運(yùn)行時(shí)間是給定的，不受跳停方案影響。

(2)車站限流設(shè)置在站廳內(nèi)，臨近站臺(tái)處。到站乘客均會(huì)在站廳排隊(duì)等待，并按照限流措施進(jìn)站，等待期間不會(huì)換乘其他交通工具，不存在乘客損失。

(3)各車站的客流需求OD 已知。此假設(shè)考慮到高峰期出行乘客多為通勤乘客，出行需求相對(duì)固定，使用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行刻畫(huà)是合理的。

2.1 符號(hào)定義

模型輸入?yún)?shù)與間接變量的定義如表2所示。決策變量的符號(hào)與定義如表3所示。

表2 輸入?yún)?shù)與間接變量Table 2 Input parameters and indirect variables

表3 決策變量Table 3 Decision variables

2.2 數(shù)學(xué)模型

(1)目標(biāo)函數(shù)

從軌道交通運(yùn)營(yíng)管理和乘客出行服務(wù)質(zhì)量?jī)煞矫嫒胧郑瑢?duì)軌道交通運(yùn)行圖、停站方案和車站限流策略協(xié)同優(yōu)化，需要綜合考慮運(yùn)行效率和乘客服務(wù)質(zhì)量?jī)煞矫娴哪繕?biāo)。式(1)為極小化列車服務(wù)時(shí)間和客流乘車延誤人數(shù)；式(2)表示所有列車的總服務(wù)時(shí)間，為所有列車從到達(dá)第1個(gè)車站到離開(kāi)最后1個(gè)車站服務(wù)時(shí)間之和；式(3)為總客流乘車延誤人數(shù)，依據(jù)限流控制措施到站乘客需要在站廳排隊(duì)等待，按照限流措施進(jìn)站。受列車容量限制，并非所有到站乘客均能乘坐到站后到達(dá)的首班列車，部分乘客滯留在站廳內(nèi)等待后續(xù)列車，這部分乘客即為客流乘車延誤乘客，為每列列車駛離車站時(shí)累積到站乘客與進(jìn)入站臺(tái)乘客之差。

(2)約束條件

本文協(xié)同優(yōu)化列車運(yùn)行圖和車站限流，故約束條件分為兩類：列車運(yùn)行圖約束，車站限流約束。

①列車運(yùn)行圖約束

式(4)為列車車頭時(shí)距約束，保證安全行駛及服務(wù)頻次；式(5)為相鄰列車運(yùn)行安全約束，考慮到列車跳站，避免出現(xiàn)越行；式(6)為區(qū)段運(yùn)行時(shí)間約束，本文列車運(yùn)行時(shí)間是事先給定的，不受跳停策略影響；式(7)為停站時(shí)間約束，列車若停站則其停站時(shí)間是固定的，若不停站則為0；式(8)～式(11)為跳站約束，其中，式(8)為1次服務(wù)中1列車允許的最多跳站次數(shù)約束，式(9)為不允許相鄰兩列車在某站均不停站，式(10)為不允許1列車在相鄰兩站均不停車，式(11)為列車在首、末站必須停站。

②車站限流約束

式(12)為列車k駛離車站i時(shí)，出行OD為i→j的累積到站人數(shù)和累積進(jìn)入站臺(tái)乘坐列車離開(kāi)人數(shù)；式(13)為列車k駛離車站i時(shí)站廳內(nèi)出行OD為i→j的乘車延誤乘客，為累積到站總?cè)藬?shù)與累積進(jìn)入站臺(tái)總?cè)藬?shù)之差；式(14)為車站限流變量與列車跳站變量之間的耦合約束；式(15)為乘客上車人數(shù)；式(16)為乘客下車人數(shù)；式(17)為車內(nèi)乘客人數(shù)；式(18)為列車容量約束；式(19)保證計(jì)劃時(shí)間域內(nèi)所有乘客均可乘坐列車。

3 線性化處理

式(12)和式(14)為非線性約束，為方便求解，借助BEMPORAD[8]提出的邏輯命題對(duì)不等式進(jìn)行線性化處理。對(duì)非線性約束式(14)，引入二元變量κ=xk,i?xk,j，則其滿足的不等式約束為

結(jié)合式(20)，定義γmax=max(γk,i,j)，γmin=min(γk,i,j)，ε為足夠小的數(shù)。則非線性條件約束式(14)轉(zhuǎn)換為線性約束，即

對(duì)于式(12)，引入非增二元變量yi,k,t|t∈T，用于標(biāo)記列車是否駛離車站，列車k從車站駛離之前yi,k,t|t∈T取值為1，駛離之后取值為0。時(shí)間表重構(gòu)如圖3所示。

圖3 時(shí)間表重構(gòu)Fig.3 Re-construct of timetable

乘客到站約束表示為線性加和約束，即

4 算例分析

以1 條包含6 個(gè)車站的軌道交通線路為例，服務(wù)列車數(shù)為8，假定列車容量約束為1000，計(jì)劃時(shí)間范圍為60 min，離散時(shí)間步為1 min，在計(jì)劃范圍內(nèi)乘客到達(dá)服從正態(tài)分布，最小發(fā)車間隔為3 min，最大發(fā)車間隔為6 min，列車若停站時(shí)間為1 min，否則為0。列車停站會(huì)增加牽引制動(dòng)過(guò)程，影響列車出行服務(wù)時(shí)間，將其反應(yīng)在列車停站時(shí)間上，故算例中設(shè)置列車停站時(shí)間略長(zhǎng)。本文在處理器為Intel(R)Core(TM)i7-8550U CPU@1.8 GHz 2 GHz，內(nèi)存為8 GB的筆記本電腦上使用MATLAB 調(diào)用Cplex軟件編程，求解線性混合整數(shù)規(guī)劃模型，最優(yōu)解可在1 min內(nèi)求得。

本文以優(yōu)化列車服務(wù)時(shí)間與客流乘車延誤人數(shù)為目標(biāo)，使用線性加權(quán)方法求解。獲得7 個(gè)解，如表4所示。8列列車最多允許跳站6站，此時(shí)會(huì)發(fā)生較多客流乘車延誤，當(dāng)列車不跳站時(shí)，客流乘車延誤人數(shù)最少，為1029人。列車跳站次數(shù)為6、4和0(站站停)的列車運(yùn)行圖如圖4～圖6所示。在實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，若軌道交通運(yùn)營(yíng)者更傾向于提高運(yùn)行效率，可以選擇方案1～方案4；若更關(guān)注客流乘車延誤人數(shù)，可以選擇方案5～方案7。對(duì)比方案1和站站停車的方案7 發(fā)現(xiàn)，相比于方案1，方案7的列車服務(wù)時(shí)間會(huì)有所增加。從圖6可以看出，當(dāng)運(yùn)營(yíng)者更關(guān)注客流乘車延誤人數(shù)時(shí)，則不允許列車跳站。

表4 帕累托解集Table 4 Pareto solutions

圖4 方案1列車運(yùn)行圖Fig.4 Timetable of shceme 1

圖5 方案3列車運(yùn)行圖Fig.5 Timetable of shceme 3

圖6 方案7列車運(yùn)行圖Fig.6 Timetable of shceme 7

進(jìn)一步，對(duì)方案3的乘客上、下車人數(shù)，列車裝載人數(shù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)如表5所示。

從表5可以看出，列車4 在車站4 不停車，列車5 在車站3 不停車，考慮到此時(shí)列車剩余容量較少，選擇不停站可以加快在車乘客的輸送。列車6 在車站2 不停車，此時(shí)列車上、下車人數(shù)均為0，可以使線路下游車站3的乘客大量進(jìn)站乘車，上車人數(shù)為651。該方式可以實(shí)現(xiàn)軌道交通資源的均衡配置。

表5 方案3乘客的上、下車人數(shù)及車內(nèi)乘客人數(shù)Table 5 Number of passengers loading/alighting/in train for scheme 3

為分析雙目標(biāo)模型的優(yōu)化效果，與單目標(biāo)(僅考慮客流乘車延誤人數(shù)或列車服務(wù)時(shí)間)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。選取權(quán)重較為均衡的雙目標(biāo)優(yōu)化方案1和方案4 與單目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行比較，結(jié)果如表6所示。

表6 雙目標(biāo)優(yōu)化與單目標(biāo)優(yōu)化對(duì)比Table 6 Comparison of bi-objective integrated and single-objective optimization methods

單純考慮列車服務(wù)時(shí)間為目標(biāo)的模型1，會(huì)在滿足乘客出行需求的前提下，盡可能多的跳站以減少服務(wù)時(shí)間，但客流乘車延誤人數(shù)為11356 人，且平均等待時(shí)間高達(dá)7.8 min。雙目標(biāo)規(guī)劃方案4 乘車延誤人數(shù)為2447，方案1 乘車延誤人數(shù)為4517，與模型1 相比，客流乘車延誤人數(shù)分別降低78.5%和60.2%。單純考慮客流乘車延誤人數(shù)的模型2，其運(yùn)行圖為站站停運(yùn)行圖，雖然客流乘車延誤人數(shù)較少，但與雙目標(biāo)優(yōu)化方案比較，增加2%～3%的總服務(wù)時(shí)間，且列車站站停車會(huì)增加制動(dòng)牽引過(guò)程，導(dǎo)致能耗增加、運(yùn)行成本增加。因此，雙目標(biāo)優(yōu)化更加合理，可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間與成本之間的均衡。

5 結(jié)論

本文研究考慮城軌列車跳停策略的列車運(yùn)行圖與車站限流協(xié)同優(yōu)化問(wèn)題，建立極小化客流乘車延誤人數(shù)與列車服務(wù)時(shí)間的雙目標(biāo)優(yōu)化模型。通過(guò)案例驗(yàn)證得到如下結(jié)論：

(1)使用線性加權(quán)方法求解雙目標(biāo)問(wèn)題，可以獲得多個(gè)列車停站和車站限流優(yōu)化方案。分析案例發(fā)現(xiàn)，當(dāng)站廳客流乘車延誤人數(shù)作為主要參考指標(biāo)時(shí)，列車不允許出現(xiàn)跳站加快乘客輸送；當(dāng)列車服務(wù)時(shí)間作為主要參考指標(biāo)時(shí)，列車會(huì)在多站出現(xiàn)跳站以縮短運(yùn)營(yíng)時(shí)間，且通過(guò)跳站使得下游車站乘客大量進(jìn)站乘車。

(2)雙目標(biāo)優(yōu)化方法與單目標(biāo)優(yōu)化方法計(jì)算結(jié)果相比，相較于僅考慮列車服務(wù)時(shí)間，可使客流乘車延誤人數(shù)顯著減少；相較于僅考慮客流乘車延誤人數(shù)，可使列車服務(wù)時(shí)間降低2%～3%。