王 泓 萱

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶 401331)

0 引言

迭代根是指已知函數(shù)自復(fù)合的結(jié)果,而反過來尋找函數(shù)本身的問題.這是一個動力系統(tǒng)理論中的重要問題.具體地說,一個函數(shù)g的n次迭代gn可被遞歸地定義為

g0(x)=x,gn+1(x)=g°gn(x),

n=0,1,2….

如果對一個整數(shù)n≥2有

gn=f,

則說g是f的一個n階迭代根[1].近年來,迭代根問題引起了越來越多研究者的興趣,在圓的自映射[2]、集值函數(shù)[3]、高維映射[4]等方面取得了許多進(jìn)展.此外,人們還討論了迭代根問題在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用[5].實際上,在鋼條的加工過程中會按一系列相同的機(jī)制對鋼材進(jìn)行軋制,以將其直徑減小到所需的尺寸.這個過程實際上是由簡單過程的n次重復(fù)組成的,因此通過計算n階迭代根人們便能很好地掌握軋制過程中鋼材直徑參數(shù)的變化情況,而這些參數(shù)是無法在生產(chǎn)過程中直接測量的.

本文主要關(guān)注區(qū)間(-∞,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的Cr迭代根,與文獻(xiàn)[8]不同的是,本文不僅把有界閉區(qū)間擴(kuò)展到了(-∞,+∞),還考慮了所有遞增、遞減的單調(diào)情形,具體分為以下三類:

(1)嚴(yán)格遞增函數(shù)的Cr遞增迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的嚴(yán)格遞增函數(shù),g(x)是f(x)的Cr遞增迭代根,其中n≥2為任意正整數(shù);

(2)嚴(yán)格遞減函數(shù)的Cr遞減迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的嚴(yán)格遞減函數(shù),g(x)是f(x)的Cr遞減迭代根,其中n≥3且為奇數(shù);

(3)嚴(yán)格遞增函數(shù)的Cr遞減迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的嚴(yán)格遞增函數(shù),g(x)是f(x)的Cr遞減迭代根,其中n≥2且為偶數(shù).

1 Cr遞增迭代根

引理[14]若Cr類的一個非線性微分同胚f在x=0處是雙曲的,r>1且為正整數(shù),那么f局部共軛于一個Cr線性微分同胚φ,即f=φ-1°λ°φ且φ′(0)≠±1,其中λ∈.

定理1設(shè)Cr類的一個非線性微分同胚f在x=0處是雙曲的,其中r>1且為正整數(shù),f在(0,+∞)上嚴(yán)格遞增,令x-1,x-2,…,x-n為(0,+∞)中的任意點(diǎn),其中n≥2且為任意正整數(shù).令

xv-n=f-1(xv),v=0,-1,-2,…,

(1)

且

f(x-1)

令函數(shù)g0(x),g-1(x),…,g-n+2(x)分別是區(qū)間[x-1,x-2],[x-2,x-3],…,[x-n+1,x-n]上的Cr嚴(yán)格遞增函數(shù),

gv-n+1(x)=gv-n+2-1°gv-n+3-1°…°gv-1-1°gv-1°f(x),

v=0,-1,-2,…,

(2)

定義函數(shù)gv(x),x∈[xv-1,xv-2]，則g(x)=gv(x)在(0,+∞)中定義了方程gn(x)=f(x)的一個Cr嚴(yán)格遞增迭代根,其中n≥2且為任意正整數(shù).

證明由引理知,可設(shè)函數(shù)φ(x),x∈(0,+∞)嚴(yán)格遞增,f(x)=φ-1°λ°φ(x),x∈U1,這里U1是0點(diǎn)的右去心圓形鄰域.不妨設(shè)x-1,x-2,…,x-n∈U1,令初始函數(shù)

gi(xi-1)=xi,gi(xi-2)=xi-1,i=0,-1,…,-n+2,

根據(jù)式(1)和式(2)用數(shù)學(xué)歸納法可證明函數(shù)g(x)在每個連接點(diǎn)x=xv-n,v=0,-1,-2,…處滿足

gv-n+1(xv-n)=xv-n+1,gv-n+1(xv-n-1)=xv-n,v=0,-1,-2,…,

(3)

從而在(0,+∞)上定義了一個嚴(yán)格遞增函數(shù)g(x).

下面證明函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是Cr的,考慮函數(shù)g(x)在各個連接點(diǎn)處的r階導(dǎo)數(shù).令

由萊布尼茨公式及數(shù)學(xué)歸納法可以得到

(4)

(5)

其中，i=-1,-2,….

事實上當(dāng)r=1,x∈U1時,g0(x),g-1(x),…,g-n+2(x),f都由φ定義,則

g-n+1′(x)=

(g-n+2-1)′(g-n+3-1°…°g0-1°f(x))·

(6)

(7)

x∈(0,+∞)但x?U1那些點(diǎn),由于式(4)和式(5)展開式所包含的各項形式相同,根據(jù)式(1-3)可以知道gi-n+2(r)(xi-n)與gi-n+1(r)(xi-n)是否相等僅僅與gi-n+3(r)(xi-n+1),gi-n+2(r)(xi-n+1),i=-1,-2,…有關(guān),則gi-n+2(r)(xi-n)=gi-n+1(r)(xi-n).

綜上,函數(shù)g(x)在每個連接點(diǎn)x=xv-n,v=0,-1,-2,…，處有

gv-n+2(r)(xv-n)=gv-n+1(r)(xv-n),v=0,-1,-2,….

由式(2)可以知道,函數(shù)gv(x),x∈[xv-1,xv-2]是Cr的,也就是說函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是Cr的.關(guān)系式(2)表明

gv°gv-1°…°gv-n+2°gv-n+1(x)=f(x),x∈[xv-2,xv-3].

根據(jù)式(3)得到gn(x)=f(x),x∈[xv-2,xv-3].因為v是任意的,則(0,+∞)中Cr嚴(yán)格遞增函數(shù)g(x)滿足方程gn(x)=f(x),其中n≥2且為任意整數(shù).

2 Cr遞減迭代根

定理2設(shè)Cr類的一個非線性微分同胚f在x=0處是雙曲的,其中r>1且為正整數(shù),f在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減,令x0,x2,…,xn-1為(0,+∞)中的任意點(diǎn),x1,x3,…,xn-2為(-∞,0)中的任意點(diǎn),其中n≥3且為奇數(shù).令

xv+n=f(xv),v=0,1,2,…,

(8)

且

x0x3>…>xn-2>f(xn-3)>-∞.

令函數(shù)g1(x),g2(x),…,gn-1(x)分別是區(qū)間[x0,x2],[x3,x1],…,[xn-3,xn-1],[xn,xn-2]上的Cr嚴(yán)格遞減函數(shù),

gv+n(x)=f°gv+1-1°gv+2-1°…°gv+n-1-1(x),v=0,1,2,…,

(9)

定義函數(shù)gv(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1],那么g(x)=gv(x)在(-∞,+∞)中定義了方程gn(x)=f(x)的一個Cr嚴(yán)格遞減迭代根,其中n≥3且為奇數(shù).

證明由引理知,可設(shè)函數(shù)φ(x),x∈(-∞,+∞)嚴(yán)格遞增,f(x)=φ-1°λ°φ(x),x∈U2,這里U2是以0點(diǎn)為心的圓形鄰域.那么,不妨設(shè)x0,x1,…,xn-2,xn-1∈U2,令初始函數(shù)

……

gi(xi-1)=xi,gi(xi+1)=xi+2,i=1,2,…,n-1,

根據(jù)式(8)和式(9)用數(shù)學(xué)歸納法可證明函數(shù)g(x)每個連接點(diǎn)x=xv+n,v=0,1,2,…處滿足

gv+n(xv+n-1)=xv+n,gv+n(xv+n+1)=xv+n+2,v=0,1,2,…,

(10)

又g(x)=gv(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1],由此定義了一個在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減函數(shù)g(x).

下面證明函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上是Cr的,此時考慮函數(shù)g(x)在各個連接點(diǎn)處的r階導(dǎo)數(shù).令

根據(jù)式(10),由萊布尼茨公式,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以得到

(11)

(12)

其中，i=3,4,….

事實上,當(dāng)r=1,x∈U2時,g0(x),g1(x),…,gn-1(x),f都由φ定義,則,

(13)

(14)

由于式(13)和式(14)的展開式各項具有相同的形式,則gn-2(r)(xn-1)是否與gn(r)(xn-1)相等僅僅與gn-2(r-1)(xn-1)=gn(r-1)(xn-1)有關(guān);此外,gn-2′(xn-1)=gn′(xn-1),從而可以得到gn-2(r)(xn-1)=gn(r)(xn-1).同理,當(dāng)求r-1階導(dǎo)數(shù)時,有g(shù)n-1(r-1)(xn)=gn+1(r-1)(xn)成立,易知gn-1(r)(xn)=gn+1(r)(xn).

x∈(-∞,+∞)但x?U2那些點(diǎn),由于式(11)和式(12)的展開式所包含的各項形式相同,根據(jù)式(8-10)可以知道gi+n-2(r)(xi+n-1)與gi+n(r)(xi+n-1)是否相等僅僅只與gi+n-4(r)(xi+n-3),gi+n-2(r)(xi+n-3),i=3,4,…有關(guān)系,又由于gn-2(r)(xn-1)=gn(r)(xn-1),gn-1(r)(xn)=gn+1(r)(xn),從而gi+n-2(r)(xi+n-1)=gi+n(r)(xi+n-1).

綜上，函數(shù)g(x)在每個連接點(diǎn)x=xv+n,v=0,1,2,…,處有

gv+n-1(r)(xv+n)=gv+n+1(r)(xv+n),v=0,1,2,….

由式(9)可以知道,函數(shù)gv(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1]是Cr的,也就是說函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上是Cr的.關(guān)系式(9)表明

gv+n°gv+n-1°…°gv+2°gv+1(x)=f(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1],

根據(jù)式(10)得到gn(x)=f(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1].因為v是任意的,則(-∞,+∞)中Cr嚴(yán)格遞減函數(shù)g(x)滿足方程gn(x)=f(x),其中n≥3且為奇數(shù).

定理3設(shè)Cr類的一個非線性微分同胚f在x=0處是雙曲的,其中r>1且為正整數(shù),且f在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞增,令x0,x2,…,xn-2為(0,+∞)中的任意點(diǎn),x1,x3,…,xn-1為(-∞,0)中的任意點(diǎn),其中n≥2且為偶數(shù).令

xv+n=f-1(xv),v=0,1,2,…,

且

f(x0)x1>x3>…>xn-1>-∞.

令函數(shù)g0(x),g1(x),…,gn-2(x)分別是區(qū)間[x0,x2],[x3,x1],…,[xn-3,xn-1],[xn-2,xn]上的Cr嚴(yán)格遞減函數(shù),

gv-n+1(x)=f°gv-n+2-1°gv-n+3-1°…°gv-1-1°gv-1(x),v=0,1,2,…,

定義函數(shù)gv(x),x∈[xv,xv+2]或[xv+2,xv],則g(x)=gv(x)在(-∞,+∞)中定義了方程gn(x)=f(x)的一個Cr嚴(yán)格遞減迭代根,其中n≥2且為偶數(shù).

證明由引理知,可設(shè)函數(shù)φ(x),x∈(-∞,+∞)嚴(yán)格遞增,f(x)=φ-1°λ°φ(x),x∈U3,這里U3是以0點(diǎn)為心的圓形鄰域.不妨設(shè)x0,x1,…,xn-2,xn-1∈U3,其中n≥2且為偶數(shù).令初始函數(shù)

是Cr嚴(yán)格遞減的,其中n≥2且為偶數(shù).證明過程與定理1和定理2類似,在此不再贅述.

3 例子