劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長(zhǎng)，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國(guó)培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實(shí)證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實(shí)質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點(diǎn)，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國(guó)教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》等。

華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)（shǔ）產(chǎn)生數(shù)（shù），量（liánɡ）產(chǎn)生量（liànɡ）”。數(shù)“計(jì)數(shù)單位”的個(gè)數(shù)產(chǎn)生數(shù)，數(shù)“計(jì)量單位”的個(gè)數(shù)產(chǎn)生量。數(shù)數(shù)即獲知集合元素個(gè)數(shù)的多少，它是認(rèn)識(shí)自然數(shù)的前提，也是認(rèn)識(shí)四則運(yùn)算、測(cè)量、探索規(guī)律以及倍比關(guān)系的重要抓手。數(shù)數(shù)內(nèi)涵豐富而深刻，它貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，是最重要、最基礎(chǔ)的活動(dòng)，甚至可以說(shuō)“沒(méi)有‘?dāng)?shù)數(shù)解決不了的問(wèn)題”。小學(xué)生數(shù)數(shù)活動(dòng)的不同發(fā)展階段各有其教育意蘊(yùn)。

一、利用“唱數(shù)”，初步感知十進(jìn)制思想

數(shù)數(shù)活動(dòng)的第一階段是“唱數(shù)”（也叫記憶計(jì)數(shù)），即像唱歌似的一個(gè)接一個(gè)地“唱出”各個(gè)數(shù)詞。由于漢語(yǔ)一字一音，有節(jié)奏、有韻律，兒童初始“數(shù)數(shù)”行為類似于念歌謠，并不理解自然數(shù)的意義。但是，兒童通過(guò)唱數(shù)能夠初步感知自然數(shù)的順序與大小——先唱的在前面（?。蟪脑诤竺妫ù螅?，挨著唱的兩個(gè)數(shù)相鄰。唱數(shù)是正確“數(shù)出”物品個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)。中國(guó)家庭和幼兒園都非常重視唱數(shù)，很多兒童在上小學(xué)前就能較順利地“唱到50”（可能在唱數(shù)“拐彎數(shù)”時(shí)會(huì)有停頓或者出現(xiàn)個(gè)別錯(cuò)誤），初步感知自然數(shù)遵循十進(jìn)制原則，這為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

唱數(shù)需要用漢語(yǔ)正確地讀數(shù)，但是讀數(shù)與寫(xiě)數(shù)不完全一致，尤其數(shù)中有“0”時(shí)。讀數(shù)符合伊夫斯在《數(shù)學(xué)史概論》中提出的“乘法分群記數(shù)法”，即在選定10作為數(shù)基后，用一組符號(hào)表示1、2……9、0（用漢語(yǔ)說(shuō)就是一、二……九、零），再用第二組符號(hào)表示10、102、103、104……，即十、百、千、萬(wàn)，等等。把這兩組符號(hào)按照從高位到低位的順序從左到右（古代是從上到下）排列出來(lái)，就能表示出任意自然數(shù)。例如，25讀作“二十五”;2003讀作“二千零三”。讀數(shù)蘊(yùn)含十進(jìn)制原理，但沒(méi)有位值制思想，因此不能用數(shù)字所在“位置”表示其大小，需要?jiǎng)?chuàng)造無(wú)數(shù)個(gè)“詞”來(lái)表示計(jì)數(shù)單位。例如“千億”的下一個(gè)計(jì)數(shù)單位是“兆”，然后是“十兆、百兆、千兆”（四位一級(jí)）;再下一個(gè)計(jì)數(shù)單位是“京”，等等。目前最大的計(jì)數(shù)單位是“古戈?duì)枴?，?0的10次冪，“谷歌”就是根據(jù)這個(gè)詞命名的。當(dāng)然，若有需要，還可創(chuàng)造“新詞”以表示更大的計(jì)數(shù)單位。

目前全世界通用印度—阿拉伯十進(jìn)位值制記數(shù)法來(lái)寫(xiě)數(shù)，這種記數(shù)法同時(shí)遵循十進(jìn)制（滿十進(jìn)一，每個(gè)“位置”上的最大數(shù)字是9）與位值制（數(shù)字所在的“位置”決定其大?。┰瓌t，因此，0的“占位作用”非常重要。由于讀數(shù)時(shí)“0”有一些特殊讀法，所以讀、寫(xiě)帶“0”的數(shù)是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。例如，將讀數(shù)“十一”錯(cuò)寫(xiě)成“101”，“五萬(wàn)零四十”錯(cuò)寫(xiě)成“50000040”。

會(huì)讀數(shù)和寫(xiě)數(shù)（記錄數(shù)）是數(shù)數(shù)活動(dòng)的意義所在。讀數(shù)的法則到底是什么，目前有一定爭(zhēng)議，筆者認(rèn)為只要能夠正確表達(dá)、交流、運(yùn)用“數(shù)”，沒(méi)有必要一定按照某種讀數(shù)法則讀數(shù)（考試不應(yīng)該考讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)）。例如，20003讀作“二萬(wàn)零三”，也可以讀作“二個(gè)萬(wàn)零個(gè)千零個(gè)百零個(gè)十加三”，雖然讀起來(lái)麻煩，但清楚地表達(dá)了各個(gè)計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)，這是數(shù)概念的本質(zhì)。

二、數(shù)“計(jì)數(shù)單位”，理解數(shù)概念的本質(zhì)

“數(shù)出”自然數(shù)不同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，再累加起來(lái)就得到這個(gè)自然數(shù)。例如，235就是“2個(gè)百+3個(gè)十+5個(gè)一”。小數(shù)的構(gòu)成與此完全相同，也遵循十進(jìn)位值制原則。分?jǐn)?shù)也是通過(guò)數(shù)“分?jǐn)?shù)單位”的個(gè)數(shù)得到的，例如[78]就是7個(gè)[18]。由于每一個(gè)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位不唯一且有無(wú)數(shù)個(gè)計(jì)數(shù)單位，相應(yīng)地計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè)，即分?jǐn)?shù)具有它獨(dú)特的性質(zhì)（分子、分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)非零的數(shù)，其大小不變），所以分?jǐn)?shù)的構(gòu)成比自然數(shù)、小數(shù)更復(fù)雜。分?jǐn)?shù)的這一特性導(dǎo)致每一個(gè)分?jǐn)?shù)都“靈活多變”，有無(wú)數(shù)個(gè)“替身（等值分?jǐn)?shù)）”，所以掌握分?jǐn)?shù)的意義、性質(zhì)以及四則運(yùn)算等都比較困難。數(shù)學(xué)直覺(jué)派代表人物克羅內(nèi)克提出，自然數(shù)是上帝創(chuàng)造的，其他的數(shù)都是人造的。自然數(shù)是認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)及其他數(shù)學(xué)知識(shí)的根基，其發(fā)展經(jīng)歷手指計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、象形符號(hào)表示數(shù)等過(guò)程，是非常漫長(zhǎng)的。

瑞士心理學(xué)家皮亞杰指出，數(shù)（自然數(shù)）不是某個(gè)東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關(guān)系，表明的是一個(gè)物體在一個(gè)序列中的位置以及一組物體中包含了多少個(gè)物體，這種關(guān)系不是直接用語(yǔ)言來(lái)教的，而是兒童通過(guò)感知、操作活動(dòng)，在動(dòng)作中體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的。因此，小學(xué)生自然數(shù)概念的形成不是可以教會(huì)的，必須經(jīng)歷邊實(shí)際操作邊數(shù)數(shù)的過(guò)程，通過(guò)對(duì)具體數(shù)量的體驗(yàn)和感悟抽象而來(lái)。理解自然數(shù)的多重含義離不開(kāi)數(shù)數(shù)活動(dòng)。

在唱數(shù)基礎(chǔ)上，數(shù)出物品的個(gè)數(shù)，抽象出自然數(shù)，理解自然數(shù)的基數(shù)含義，是數(shù)數(shù)活動(dòng)的第二重教育意蘊(yùn)。此階段兒童的數(shù)數(shù)活動(dòng)必須遵循以下原則，否則得不到物品總個(gè)數(shù)：一個(gè)數(shù)詞對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)過(guò)的物品;按正確順序說(shuō)出數(shù)詞;計(jì)數(shù)可以從所數(shù)物品中的任何一個(gè)開(kāi)始，但不要重復(fù)和遺漏;基數(shù)原則，即最后一個(gè)數(shù)詞是所有數(shù)過(guò)物品的總數(shù)。

小學(xué)生的數(shù)數(shù)活動(dòng)有不同階段，具體可以分為：①感知計(jì)數(shù)階段：0～4個(gè)以內(nèi)的物品不需要數(shù)數(shù)也能知道其多少。②理解計(jì)數(shù)階段：5個(gè)及以上的物品需要數(shù)一數(shù)才能知道有多少。該階段主要有一一點(diǎn)數(shù)和按群計(jì)數(shù)（例如2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)、4個(gè)4個(gè)地繼續(xù)數(shù)。這種方法需要不斷地“做加法”，學(xué)生極容易得出錯(cuò)誤結(jié)果）兩種數(shù)數(shù)方法。③在半形象半抽象的數(shù)尺、數(shù)線或數(shù)軸上數(shù)數(shù)：“數(shù)”與數(shù)軸上的“點(diǎn)”建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。這樣既可以在數(shù)軸上表示數(shù)，也可以在數(shù)軸上通過(guò)“數(shù)數(shù)”進(jìn)行四則運(yùn)算。

后文將進(jìn)一步論述上述第三個(gè)階段，下面筆者深入分析影響第一、二個(gè)階段數(shù)數(shù)活動(dòng)的因素：所數(shù)對(duì)象的物理屬性、個(gè)數(shù)多少、排列方式、結(jié)構(gòu)化程度等。如前所述，0～4個(gè)物品不需要逐一點(diǎn)數(shù)，憑借人的本能即可知道個(gè)數(shù);當(dāng)數(shù)目大于5個(gè)時(shí)，遵循一一對(duì)應(yīng)思想數(shù)數(shù)，就不會(huì)數(shù)重、數(shù)漏。所數(shù)對(duì)象的排列方式、密集程度等因素影響小學(xué)生的數(shù)數(shù)能力，所數(shù)對(duì)象如果有順序、有結(jié)構(gòu)地?cái)[放就容易計(jì)數(shù)，如果無(wú)結(jié)構(gòu)、散亂地?cái)[放則容易數(shù)錯(cuò)。另外，所數(shù)對(duì)象的物理屬性要相同，例如數(shù)教室里有多少人、多少盞燈等相同物品的個(gè)數(shù)。

教學(xué)中，為學(xué)生提供可操作的直觀化學(xué)具（最好不用帶“圖”的卡片以及糖果等，這些材料的某些特征容易分散學(xué)生的注意力）非常重要。這樣的學(xué)具分三個(gè)層次：一是齊性（每一個(gè)的物理特征都相同，表示的意義也相同）、無(wú)結(jié)構(gòu)的直觀化學(xué)具，例如散的小棒、豆子、紐扣、第納斯（Dienes）木塊等;二是有結(jié)構(gòu)的直觀化學(xué)具，例如十根一小捆、百根一大捆的小棒;三是有結(jié)構(gòu)的半直觀半抽象化學(xué)具，例如算盤(pán)、計(jì)數(shù)器。這些學(xué)具，能幫助小學(xué)生在操作與數(shù)數(shù)活動(dòng)中逐步理解“數(shù)位”，進(jìn)而深入理解用印度—阿拉伯十進(jìn)位值制記數(shù)法表示出來(lái)的自然數(shù)。

三、在數(shù)軸上“數(shù)出”四則運(yùn)算的結(jié)果，多視角理解運(yùn)算

“數(shù)”在數(shù)尺、數(shù)線或數(shù)軸上有兩種含義：一是表示數(shù)軸上的點(diǎn)，一個(gè)數(shù)與一個(gè)點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;二是用數(shù)表示數(shù)軸上線段的長(zhǎng)度。當(dāng)以“0”為起點(diǎn)時(shí)，這兩種含義相同。在數(shù)軸上表示數(shù)，只能刻畫(huà)數(shù)的大小順序，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想，但不能凸顯“數(shù)”概念所蘊(yùn)含的十進(jìn)制、位值制思想。例如，下述問(wèn)題“誰(shuí)離胡蘿卜更近（如圖1）”“填上數(shù)（如圖2）”就是在數(shù)尺上認(rèn)識(shí)數(shù)的相對(duì)大小，這個(gè)內(nèi)容較為抽象，能豐富小學(xué)生對(duì)“數(shù)”概念的理解。

數(shù)數(shù)活動(dòng)與四則運(yùn)算密切相關(guān)。例如，向前（右）繼續(xù)數(shù)就是加法;往后（左）倒著數(shù)就是減法;幾個(gè)幾個(gè)地往前數(shù)就是乘法;幾個(gè)幾個(gè)地往后數(shù)就是除法，能夠數(shù)到“0”就是整除，不能數(shù)到“0”且還剩幾個(gè)就是有余數(shù)除法。通過(guò)數(shù)數(shù)得到計(jì)算結(jié)果是“最原始”的方法，其思維含量較高。例如求“6+3=？”用數(shù)數(shù)的方法獲得結(jié)果就需要學(xué)生進(jìn)行“二重計(jì)數(shù)”（此概念出自朱莉婭·安吉萊瑞《如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感》）：繼續(xù)數(shù)3個(gè)數(shù)，數(shù)到了9，所以結(jié)果是9。在此過(guò)程中還有一個(gè)難點(diǎn)，即要從7而不是6開(kāi)始數(shù)。

在數(shù)尺（數(shù)線、數(shù)軸）上進(jìn)行數(shù)數(shù)活動(dòng)，為學(xué)生理解四則運(yùn)算提供了新視角（滲透數(shù)形結(jié)合思想），很多教材都設(shè)計(jì)了該類學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖3、圖4）。

這類學(xué)習(xí)任務(wù)對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)都有難度，解題時(shí)要把算式中的一個(gè)加數(shù)（被減數(shù)）看作數(shù)尺上的“點(diǎn)”，另一個(gè)加數(shù)（減數(shù)）看作“線段”，計(jì)算的結(jié)果又是數(shù)尺上的“點(diǎn)”。

弗賴登塔爾認(rèn)為，這種解釋缺乏對(duì)稱性，從文法上分析，一個(gè)是運(yùn)算的直接對(duì)象，另一個(gè)卻是間接的，有的數(shù)是“點(diǎn)”，有的數(shù)是“線段”，這種方法對(duì)學(xué)生而言很難。基于此，他提出了運(yùn)算的“算子解釋”法，即用數(shù)軸上的“有向線段（剛性的小棒）”表示算式中的每一個(gè)數(shù)。例如“3”不是數(shù)軸上的“點(diǎn)”，而是將每一“點(diǎn)”向右移動(dòng)3個(gè)單位的映射，也就是用長(zhǎng)度是3的帶箭頭的線段表示，3+5就是長(zhǎng)度是3和5的兩個(gè)有向線段首位相接，得到長(zhǎng)度是8的有向線段。

數(shù)數(shù)活動(dòng)具有豐富的教育意蘊(yùn)。數(shù)數(shù)活動(dòng)除了數(shù)出集合元素的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步理解運(yùn)算以外，2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)、5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)等方法，還可以幫助小學(xué)生感悟數(shù)列的變化規(guī)律，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)的特性。例如5個(gè)一數(shù)，末尾的數(shù)要么是0，要么是5。數(shù)數(shù)活動(dòng)蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。例如“點(diǎn)數(shù)”時(shí)，學(xué)生必然要用到一一對(duì)應(yīng)原則，一一對(duì)應(yīng)是學(xué)習(xí)函數(shù)的思想方法儲(chǔ)備。另外，在數(shù)數(shù)時(shí)，學(xué)生必須有序地?cái)?shù)，有序地觀察，有序地思考，“有序”也是數(shù)學(xué)的重要思想方法。

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