韋美

[摘 要]課堂是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)的主陣地.課堂教學(xué)可以從教學(xué)資源的挖掘、教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)及課堂活動(dòng)的組織等方面探究實(shí)現(xiàn)育人的目標(biāo).

[關(guān)鍵詞]課堂教學(xué);學(xué)科育人;方程的根;函數(shù)的零點(diǎn)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）14-0003-03

數(shù)學(xué)學(xué)科有著獨(dú)特的育人價(jià)值，其所特有的語言系統(tǒng)和邏輯系統(tǒng)可以幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)事物數(shù)量、數(shù)形關(guān)系的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)抽象思維，促進(jìn)他們形成準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)能力.學(xué)生通過了解數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過程，感受數(shù)學(xué)的基本思想方法，逐步形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng).德國偉大教育家赫爾巴特曾說過：我想不到有任何“無教學(xué)的教育”，正如在相反方面，我不承認(rèn)有任何“無教育的教學(xué)”一樣.數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值需要依托每天的課堂教學(xué)來實(shí)現(xiàn)，遺憾的是，在日常的教學(xué)活動(dòng)中，由于受到教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)壓力等外界因素的影響，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)只關(guān)注到了對(duì)知識(shí)的傳授而忽視學(xué)科育人的作用，這與“教書”為手段、“育人”為目的的教學(xué)理念是不相符的.筆者受到黃河清校長(zhǎng)“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法的啟發(fā)，對(duì)于新授課中的“育人”活動(dòng)有了自己的一些思考，下面以《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》的教學(xué)為例談?wù)劰P者的看法.

一、對(duì)教學(xué)內(nèi)容的基本認(rèn)識(shí)

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》是人教版高中數(shù)學(xué)必修一第三章的內(nèi)容，本節(jié)課借助一元二次方程和二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)引出零點(diǎn)的概念，通過由特殊到一般的化歸轉(zhuǎn)化思想，由易到難，逐步滲透“數(shù)形結(jié)合”思想和“轉(zhuǎn)化”思想.這節(jié)課的授課對(duì)象是高一年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)了解了基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，但尚未學(xué)習(xí)函數(shù)連續(xù)、定理可逆等概念.因此在對(duì)零點(diǎn)存在性定理概念的理解和挖掘時(shí)存在困難，在教學(xué)過程中應(yīng)給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間，結(jié)合圖形借助問題情境引導(dǎo)他們主動(dòng)探究，共同得出定理的條件、結(jié)論和適用范圍.

二、教學(xué)過程概述

1.新課引入

活動(dòng)一：求解下列方程.

設(shè)計(jì)意圖：通過具體的方程求解，回憶舊知為新知學(xué)習(xí)做好鋪墊，借助三次方程和超越方程引發(fā)認(rèn)知沖突，此時(shí)教師自然引出本節(jié)課的課題，并適時(shí)介紹方程的發(fā)展史，讓學(xué)生了解方程發(fā)展的進(jìn)程及歷史背景，了解我國古代數(shù)學(xué)家的智慧和成就，增強(qiáng)民族自豪感，達(dá)到史料育人的效果.

問題1：一元二次方程的根與二次函數(shù)圖像有怎樣的聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過完成學(xué)案上的表格，學(xué)生可以初步得到方程的根就是函數(shù)圖像與[x]軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的結(jié)論，教師幫助學(xué)生補(bǔ)充完善得出函數(shù)零點(diǎn)的概念.由舊知引出新知，從學(xué)生最熟悉的一元二次方程和二次函數(shù)圖像入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程的根與[x]軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，符合學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的規(guī)律，教會(huì)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)系和發(fā)展的數(shù)學(xué)眼光看待問題.

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)強(qiáng)調(diào)零點(diǎn)是實(shí)數(shù)不是交點(diǎn)這個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).（通過巡堂發(fā)現(xiàn)，幾乎一半的學(xué)生選擇C選項(xiàng)，對(duì)概念模糊，教師及時(shí)強(qiáng)調(diào)零點(diǎn)的概念）

2.概念形成

問題2：下列函數(shù)是否有零點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生學(xué)習(xí)零點(diǎn)概念后，借助他們所熟悉的基本初等函數(shù)得出不是所有函數(shù)都有零點(diǎn)的結(jié)論.

生：函數(shù)圖像與[x]軸有交點(diǎn)，則一定有零點(diǎn).

師：若不知道函數(shù)的具體圖像，如何判斷是否有零點(diǎn)？

師：接下來讓我們借助生活中的具體實(shí)例來探討.請(qǐng)同學(xué)們先欣賞下列景象（展示潑水成冰的圖片）.每年冬天來臨，我國北方都銀裝素裹，風(fēng)景迤邐，網(wǎng)友驚喜地發(fā)現(xiàn)潑水成冰的壯麗景象.理論上在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，當(dāng)溫度達(dá)到[0] ℃時(shí)，水會(huì)形成冰晶.已知我國北方某市清晨[5]點(diǎn)，氣溫達(dá)到最低溫度零下[8] ℃ ;中午[11]點(diǎn)，溫度回升至零上[6] ℃ ;下午5點(diǎn)，降至零上[1] ℃ ;晚上[10]點(diǎn)，溫度降至零下[4] ℃ .請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行以下探究.

（1）5點(diǎn)至11點(diǎn)，一定會(huì)在某個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)0 ℃ 嗎？（學(xué)生將學(xué)案中的溫度曲線圖補(bǔ)充完整并回答問題）

（2）5點(diǎn)至11點(diǎn)，每間隔[1]小時(shí)進(jìn)行測(cè)量，試填寫下列表格整時(shí)溫度變化的可能值.在整時(shí)段的測(cè)量值一定會(huì)有0℃ 嗎？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)具體的情境，讓學(xué)生自己畫圖，開展合作學(xué)習(xí)，逐步探究零點(diǎn)存在性定理的條件.通過讓學(xué)生親身經(jīng)歷探索、交流、總結(jié)的過程，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，培養(yǎng)他們分析問題與解決問題的能力.

師：為什么（1）中一定會(huì)有某個(gè)時(shí)刻達(dá)到0 ℃，而（[2]）中不確定呢？它們的區(qū)別是什么？

生：（2）中0 ℃的時(shí)候不一定落在整點(diǎn)的地方，有可能測(cè)不到0 ℃.

師：很好，觀察你們畫出的圖像，從函數(shù)的角度來看，這兩個(gè)函數(shù)圖像有什么區(qū)別？

生：定義域不一樣.

師：由于定義域不一樣，第一個(gè)函數(shù)能夠一筆畫完，第二個(gè)函數(shù)是一個(gè)個(gè)散點(diǎn)，類似于（1）中能一筆畫完不斷開的函數(shù)，我們稱之為連續(xù)函數(shù).當(dāng)函數(shù)連續(xù)時(shí)，從負(fù)的函數(shù)值到正的函數(shù)值必定會(huì)經(jīng)歷函數(shù)值為0的時(shí)候.一般地，如果函數(shù)[y=fx]在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有[fa·fb<0]，那么，函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[a， b]內(nèi)有零點(diǎn)，即存在[c∈a， b]，使得[fc=0]這個(gè)[c]也就是方程[fx=0]的根 .這就是我們今天所學(xué)習(xí)的零點(diǎn)存在性定理.

3.概念深化

（1）除了[5]時(shí)至[11]時(shí)，還會(huì)在哪個(gè)時(shí)間段一定出現(xiàn)[0] ℃？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)零點(diǎn)存在性定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

（2）[11]時(shí)至[17]時(shí)，可能會(huì)在某個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)[0] ℃ 嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置一系列的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考零點(diǎn)存在性定理的適用范圍和條件，對(duì)定理進(jìn)一步挖掘.在教學(xué)過程中，教師借助希沃白板進(jìn)行展示互動(dòng)，同時(shí)借助PPT動(dòng)畫演示，加深學(xué)生對(duì)零點(diǎn)存在性定理的逆命題和否命題的理解.教師與學(xué)生借助圖像進(jìn)行分析，得出零點(diǎn)存在性定理的逆命題和否命題不成立，并結(jié)合單調(diào)性得出零點(diǎn)唯一性定理.這個(gè)過程能幫助學(xué)生突破思維，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟零點(diǎn)存在性定理的內(nèi)涵，提高他們的分析能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，以達(dá)到思維育人的教學(xué)目的.

4.應(yīng)用探索

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了從數(shù)和形兩個(gè)角度去求零點(diǎn)，接下來讓我們看看如何判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

生：畫出函數(shù)的圖像，看它和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

師：很好，那么對(duì)于這樣的函數(shù)，我們?nèi)绾萎嫵鏊膱D像呢？

生：描點(diǎn)法.（學(xué)生在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)遇到困難，無法計(jì)算出具體的函數(shù)值）

師：接下來老師借助[Excel]表格幫助大家一起求解出具體的函數(shù)值.（教師展示操作，并用幾何畫板直接畫出圖像）

生：有一個(gè)零點(diǎn).

師：函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處還有零點(diǎn)嗎？需要添加什么條件就可以確定了呢？

生：這個(gè)函數(shù)是單調(diào)遞增的.

師：我們借助計(jì)算機(jī)可以計(jì)算出具體的函數(shù)值，但如果你正在考場(chǎng)上，身邊沒有電腦，又該如何解決這個(gè)問題呢？

生： [f2<0]， [f3>0]，所以[2， 3]上肯定有零點(diǎn).

師：非常棒，借助今天所學(xué)習(xí)的零點(diǎn)存在性定理，我們成功解決了這個(gè)問題.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合數(shù)形結(jié)合方法從多個(gè)角度分析確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).通過及時(shí)解決新課引入中提出的問題，學(xué)以致用，增強(qiáng)學(xué)生解決問題的信心和勇氣.

5.歸納小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和思想方法兩個(gè)角度自行歸納總結(jié)，教師補(bǔ)充完善.通過回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生結(jié)合自己的理解進(jìn)一步抽象概括，形成自己的知識(shí).

6.課后作業(yè)

教材習(xí)題3.1（A組）1，2題.

設(shè)計(jì)意圖：通過課后練習(xí)，加深對(duì)零點(diǎn)存在性定理的理解，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理解決問題.

三、教學(xué)反思

“育人”作為數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，貫穿于整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，看似漫不經(jīng)心，實(shí)則需要教師對(duì)每一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行精心的設(shè)計(jì).首先是對(duì)數(shù)學(xué)教材的處理，教材作為課程的載體，背后蘊(yùn)含著豐富的文化內(nèi)涵，只有懂得其歷史，才能夠深刻地理解數(shù)學(xué).本節(jié)課的開頭，在學(xué)生求解超越方程的根遇到困難時(shí)，適時(shí)向他們介紹方程的發(fā)展史，一方面讓他們了解方程的來源以及研究的進(jìn)程，另一方面希望他們意識(shí)到任何一個(gè)公式、理論的發(fā)展都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的探索過程，培養(yǎng)他們求真務(wù)實(shí)、勇于探索的品質(zhì).在其他內(nèi)容的教學(xué)中，教師也可以充分挖掘與其相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，借助與數(shù)學(xué)有關(guān)的小游戲、歷史上的數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)家的逸事等增加課堂趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，教學(xué)內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)設(shè)計(jì)中要關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系.函數(shù)的零點(diǎn)是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖像與[x]軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和方程的根這兩個(gè)概念的基礎(chǔ)上提出來的，在概念教學(xué)的時(shí)候，可以引導(dǎo)學(xué)生在“求方程的根”和“畫函數(shù)圖像”兩個(gè)活動(dòng)中抽象出函數(shù)零點(diǎn)的概念，有助于構(gòu)建三者的等價(jià)關(guān)系，幫助學(xué)生自然地獲取新知.

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該僅僅停留在對(duì)已經(jīng)知道的或者已經(jīng)存在的事物的復(fù)制，我們要思考如何幫助學(xué)生參與到數(shù)學(xué)探究中.在探索零點(diǎn)存在性定理的過程中，筆者創(chuàng)設(shè)了具體的教學(xué)情境，組織學(xué)生進(jìn)行合作探究，通過觀察圖像、抽象辨析，挖掘零點(diǎn)存在性定理的條件;學(xué)生在思考和交流的過程中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，只有學(xué)生自己經(jīng)歷過（選擇、探討）的才能變成他們自己的智慧.總而言之，作為一名數(shù)學(xué)教師，要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，有意識(shí)地開發(fā)“育人”資源，設(shè)計(jì)相應(yīng)的課堂活動(dòng)，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，或許“興趣”和“體驗(yàn)”不能直接用分?jǐn)?shù)來衡量，但對(duì)于學(xué)生思維品質(zhì)的提升和個(gè)人發(fā)展卻是至關(guān)重要的.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 章建躍.“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2012（Z1）：16-18.

[2]? 史寧中.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評(píng)價(jià)與教學(xué)實(shí)施[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2017（5）：4-9.

[3]? 戴風(fēng)明.數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的缺失與對(duì)策[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（6）：74-77.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）