周建平

[摘 要]從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述、應(yīng)用理解、感悟等環(huán)節(jié)對《弧度制》一課進行教學反思與重構(gòu)，能為教師的教學設(shè)計提供參考.

[關(guān)鍵詞]弧度制;教學;反思;重構(gòu)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0008-03

“弧度制”是繼任意角后，對角的又一次深入學習與認識.弧度制的本質(zhì)是用線段長度度量角的大小.這樣的度量統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位，為我們進一步研究三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).結(jié)合弧度制在教材中的地位和作用，從歷史和知識本身的角度思考概念，進行文本解讀，深刻領(lǐng)會其內(nèi)涵，可以發(fā)現(xiàn)弧度制有著極高的教育教學價值.從引入、建構(gòu)、抽象概括、提煉表述、應(yīng)用理解、感悟思想等環(huán)節(jié)完整地體現(xiàn)數(shù)學概念的形成過程.借助教學內(nèi)容，學生有自我發(fā)現(xiàn)、自主探究、合作交流、感悟知識和方法的獲得過程.可以說其是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的極好素材.

一般來說，概念作為最基本的數(shù)學知識，它的教學通常分為三個環(huán)節(jié).第一，認識概念的來源.即根據(jù)學生已有的知識和經(jīng)驗來建構(gòu)學生知識理解的認知基礎(chǔ).這一環(huán)節(jié)通常伴隨著直觀感知、模型想象的思維活動，指向了數(shù)學核心素養(yǎng)中“直觀想象”素養(yǎng)的發(fā)展.第二，概念的抽象.即在概念對象原型直觀感知的基礎(chǔ)上抽象和概括出概念的特征、要素、關(guān)系以及數(shù)學表示方法，從而建立概念的認識.這一環(huán)節(jié)指向了數(shù)學核心素養(yǎng)中“數(shù)學抽象”素養(yǎng)的發(fā)展.第三，概念的應(yīng)用.這一環(huán)節(jié)的應(yīng)用不是在復雜情境的綜合應(yīng)用，而是針對抽象概念對象的原型的直接應(yīng)用，進一步理解概念的本質(zhì)，建立起對概念比較完整的認識和理解.

下面筆者就圍繞對弧度制的理解，在上述教學三環(huán)節(jié)基礎(chǔ)上來審視弧度制概念的教學，并就教學內(nèi)容及其方法在反思的基礎(chǔ)上做出重構(gòu).

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

弧度制如何有效引入？在教學過程中，如何讓學生體會研究弧度制的必要性，明確概念發(fā)展的意義？部分教師在情境創(chuàng)設(shè)、課堂引入環(huán)節(jié)的做法需要我們分析和探討.

1.教學現(xiàn)狀及反思

情形1：通過系列探究問題引入新課.比如：

問題1：[30°+sin30°]等于多少？

意圖：引發(fā)學生認知沖突，讓學生意識到角度不是實數(shù)，不能在角度和角度的三角函數(shù)值之間進行運算.

問題2 ：你能找到一個合適的實數(shù)來度量30°角嗎？

意圖：讓學生將30°角放在扇形中，圍繞30°對應(yīng)的弧長以及半徑這兩個量來思考探究，然后再一般化，形成相關(guān)結(jié)論.

分析：問題1揭示的現(xiàn)象正是弧度制產(chǎn)生的根源性問題.哪里來的這個問題？為什么要研究這樣的問題？學生完全不清楚，被教師牽著鼻子走，沒有體現(xiàn)學習自主性.問題2的探索，可以說學生完全沒有方向，此時，將角放在扇形中來思考只是教師的一廂情愿.這種引入，沒有為概念對象提供直觀感知材料或想象的模型，后面概念的抽象也就無從談起.

情形2：借助學生熟悉的自行車，將大小齒輪和連接的鏈條中蘊含的圓心角、圓心角所對的弧長和半徑巧妙地聯(lián)系在一起，使學生比較直觀地看到同弧長時，半徑和圓心角的關(guān)系（如圖1）.半徑相同（同一圓中）時，變化弧長，相應(yīng)的圓心角也隨之變化.進而引出本節(jié)課所要探究的問題：保持圓心角的大小不變，探究它所對的弧長與相應(yīng)半徑之間的關(guān)系.這樣的引入，從生活中提煉數(shù)學問題，容易引起學生的共鳴，符合情境創(chuàng)設(shè)的原則.但遺憾的是它帶來的問題并不是本課概念需要探究的問題，是一個間接性問題.這樣從投入的時間和精力以及效率上來看得不償失，值得商榷.

2.有效重構(gòu)

有效的教學情境要包含數(shù)學問題，并且要有利于學生提出問題、解決問題.弧度是建立在扇形圓心角基礎(chǔ)上，從圓心角、弧長、半徑三者關(guān)系中分析抽象出來描述圓心角大小的概念，應(yīng)該設(shè)計一個既包含圓心角、弧長及半徑又符合學生認知規(guī)律的情境引入新課.

問題情境：按照國際標準，學校鉛球場地投擲區(qū)是一個圓，落球區(qū)是一個以圓心為頂點的角（根據(jù)比賽對象的不同，在角內(nèi)畫出多條弧線），如圖2所示.

問題3 ：現(xiàn)只有皮尺，你能測算出這個角的大小嗎？

從學生小組的計算方案來看，他們都是采用弧長公式，從中解出圓心角的角度數(shù)[n=180lπr].各組將測量到的弧長及相應(yīng)半徑的值分別代入，計算出n的值分別大約為34.6，35.1，34.8，35，推斷落球區(qū)角度應(yīng)該約為35°，經(jīng)查證與國際標準一致，誤差是由測量引起的.

鉛球比賽是學生比較熟悉的，提出的問題學生也比較容易聯(lián)想到扇形中的弧長公式，達到了通過情境引出問題的效果.

二、經(jīng)歷過程，建構(gòu)概念

這一環(huán)節(jié)是概念的形成階段，在對原型直觀感知的基礎(chǔ)上抽象和概括出概念的特征、要素、關(guān)系以及數(shù)學表示方法，從而建立概念的認識.在概念知識對象的來源階段，教師為學生提供的應(yīng)該是包含圓心角、所對弧長及相應(yīng)半徑的一個扇形，通過適當?shù)膯栴}，引領(lǐng)學生探究交流.教師對知識的理解和把握往往制約著該環(huán)節(jié)的實際效果.

1.教學現(xiàn)狀及反思

情形1：對上述情形1中問題2，在扇形中將角度一般化，如圖3.教師引導學生思考：弧長l和對應(yīng)半徑r與圓心角[α]之間有怎樣的關(guān)系？通過直觀感知，學生基本能夠確定單一的弧長l和半徑r不能用來刻畫角[α]的大小.接下來用弧長l和半徑r的比值[lr]來確定角[α]的大小，學生茫然.有的教師利用扇形分別是半圓和圓周時比值[lr]是定值來推測，既沒道理也不可能完成證明.學生無法完成概念的抽象，主要是缺乏有效的探究活動支撐.

情形2：有的教師啟發(fā)學生：同一個圓心角，它所對的弧長與相應(yīng)半徑總是成對出現(xiàn)的，將以半徑值和弧長值構(gòu)成的數(shù)對對應(yīng)的點放到平面直角坐標系中進行觀察研究，你能發(fā)現(xiàn)什么？然后，通過多媒體技術(shù)發(fā)現(xiàn)所取的數(shù)對對應(yīng)的點幾乎都在過原點的同一條直線上，也就是說[lr]是一個定值.為了避免偶然性，教師再讓學生設(shè)定一個半徑的值，通過[lr]的值求出弧長l 的值，驗證此時對應(yīng)的點仍在直線上.這樣的探究，我們認為教師的設(shè)計有引領(lǐng)過度的嫌疑，學生的參與是被動的，缺少他們自身的探究發(fā)現(xiàn)活動，對于[lr]是一個定值仍將信將疑.

2.有效重構(gòu)

在數(shù)學概念建構(gòu)過程中，教師把對知識的深刻理解，轉(zhuǎn)化為教學設(shè)計，讓學生經(jīng)歷歸納、概括的“數(shù)學抽象”過程，是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的需要.

接上述有效重構(gòu)，各組測量的弧長l及相應(yīng)半徑r的值均不同，為什么算得n的值卻都相同？

學生觀察式子[n=180lπr]，體會運算流程，抽象形成新的認識：[n=180π·lr]同一個圓心角，盡管 l與r不同，但對應(yīng)的比值[lr]卻都相同.也就是說，對于一個圓心角，它所對的弧長與相應(yīng)半徑的比值是一個唯一確定的值.獲得這樣的認識，是弧度概念形成的關(guān)鍵.有了較為有效的發(fā)現(xiàn)活動支撐，學生的抽象感悟?qū)A心角公式的結(jié)構(gòu)特征有了進一步的認識.

問題4： 在上述認識基礎(chǔ)上，大家還有什么想說？

生：對于其他扇形內(nèi)的圓心角，相應(yīng)的[lr]也都是定值.算出[lr]代入[n=180π·lr]后，得到了圓心角的角度數(shù)，表明算出[lr]后，圓心角的大小實際上已經(jīng)確定了.

至此，本課最關(guān)鍵、最核心的認知已經(jīng)形成.學生感悟到圓心角的大小其實可以用弧長與半徑的比值[lr]來確定，可直接用[lr]來反映圓心角的大小.學生通過這次抽象獲得了對弧度初步的認識.

考慮到概念蘊含的數(shù)學文化，介紹歐拉用半徑來度量弧長，用[lr]表示圓心角的大小，并將這種度量角的方法稱之為“弧度”.這不僅統(tǒng)一了角度和長度的單位，還蘊含著當[l=r]時圓心角的大小即為1弧度.用弧度度量角的大小的制度稱為“弧度制”.

弧度制下，扇形的弧長公式和面積公式得以化簡，將來也可以簡化微積分中公式的計算，體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美.進一步利用歐拉提出的圓周所對圓心角為2[π]弧度完成角度制與弧度制之間的換算，使角度與實數(shù)之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系，為學習三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).至此，學生了解了弧度制的價值，增強了對弧度制本質(zhì)的理解，建立起了對弧度概念完整的認識和理解.

三、應(yīng)用體驗，理解概念

要深刻理解概念，僅從對定義文字的閱讀理解是遠遠不夠的.還要創(chuàng)設(shè)合適的例題，將概念的理解置于數(shù)學問題的解決過程中，深化概念的內(nèi)涵與外延，同時讓學生再次經(jīng)歷從具體到抽象的思辨過程.這一環(huán)節(jié)的應(yīng)用不是在復雜情境的綜合應(yīng)用，而是針對抽象概念對象的原型的直接應(yīng)用，進一步理解概念的本質(zhì)，建立起對概念比較完整的認識和理解.

1.教學現(xiàn)狀及反思

在實際教學過程中，存在著對教材內(nèi)容定位以及例題在概念教學過程中的作用理解不到位的現(xiàn)象.表現(xiàn)之一是將角度與弧度的換算理解為概念的應(yīng)用.其實它仍是概念建構(gòu)的重要組成部分.通過換算使學生明白角度與弧度其實就是對同一事物的不同的描述，任意角度與弧度之間可以進行互換，正是由于此，角度與實數(shù)之間就建立了一一對應(yīng)關(guān)系.表現(xiàn)之二是例題功能發(fā)生偏離.如：已知扇形花圃的周長是20 m，求花圃的最大面積.例題已經(jīng)指向運算技能的訓練，沒有指向概念理解的范疇.

2.有效重構(gòu)

實際上，我們在概念建構(gòu)環(huán)節(jié)就應(yīng)該完成角度與弧度的換算，明確[1? rad=180°π≈57.30°]，[1°=π180? rad≈] [0.01745 rad].在此基礎(chǔ)上設(shè)計例1，完成0°到360°之間特殊角的角度和弧度換算.意圖是讓學生正確進行角度與弧度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)特殊角之間的倍數(shù)關(guān)系.體現(xiàn)從特殊到一般、由未知向已知轉(zhuǎn)化的策略.進而引導學生總結(jié)出，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間就建立的一一對應(yīng)關(guān)系：每一個角都對應(yīng)唯一的一個實數(shù);反過來，每一個實數(shù)也都對應(yīng)唯一的一個角（如圖4）.為后面三角函數(shù)的學習做好鋪墊.

我們可以回到情境創(chuàng)設(shè)的問題中，情境再現(xiàn)：鉛球的落球區(qū)為扇形，沿著扇形的弧有一段防護網(wǎng)，如何計算防護網(wǎng)的長度？落球區(qū)是一塊草坪，更換草坪需要知道草坪的面積，如何求出扇形的弧長與面積？

設(shè)計意圖：

（1）在計算弧長的過程中讓學生探究出弧長公式[l=αr].

（3）利用PPT展示，強化學生利用數(shù)學語言規(guī)范表達.

從概念理解的角度看，讓學生了解弧度制的精髓、優(yōu)勢，感受弧度制在數(shù)學知識體系發(fā)展中的作用，切實發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

每一個數(shù)學概念都是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映，都有其產(chǎn)生和發(fā)展的自然性.“弧度制”概念也要遵循這種自然性，充分利用學生原有的知識經(jīng)驗，體驗數(shù)學抽象概括的過程，在揭示概念本質(zhì)、滲透數(shù)學思想方法上做文章，精心設(shè)計每一個教學環(huán)節(jié).無論是概念的引入、概念形成時經(jīng)歷的概括過程，還是概念的理解，都應(yīng)按照教材要求自然展開.

（責任編輯 黃桂堅）