唐瑞琳， 鞏 磊， 王 博

(航空工業(yè)第一飛機設計研究院飛控系統設計研究所， 西安 710089)

在飛機研制的過程中，需要在飛行模擬器上進行飛行品質評估試驗以評價飛行品質，并在后期培訓飛行員以降低試飛風險。除空中飛行外，飛行模擬器還需要在飛機滑跑、離地、觸地階段能準確地模擬飛機的地面運動特性，提供給飛行員真實的起降感受。由于地面存在支反力和摩擦力，飛機在空中和地面的受力情況有著本質區(qū)別，不僅導致飛行員在空中和地面的操縱方式不同，對于電傳飛機而言，一般也是依據起落架承載情況，切換飛控系統控制律的邏輯或結構。因此對起落架動力學模型的要求不僅是起著地面支反作用，而是應盡可能地精準。特別對于螺旋槳飛機，由于螺旋槳同向旋轉引起不對稱滑流，地面滑跑時會受到滑流和氣動的側力，需要飛行員通過偏轉轉向輪(或方向舵)進行糾偏，因此需要正確描述起落架在橫側向的受力情況，才能反映飛機地面運動特性。這對起落架動力學模型精準度的要求更加嚴格。由于無人機自主滑跑仿真的需要，通過對無人機起落架的建模[1]可用于分析無人機特定的自主滑跑仿真[2-7]及轉彎操縱分析[8]。

由于起落架結構、受力、工況復雜，通過建立虛擬樣機在ADAMS環(huán)境中仿真是一種行之有效的起落架系統設計手段[9-13]，但飛行模擬器具有高實時性要求，因此虛擬樣機的方法不適用。在以往起落架實時仿真模型中，起落架結構和受力的簡化和假設造成了一定的局限性。楊春生等[14]所建立的起落架動力學模型只限于特殊姿態(tài)的解算；Sun等[15]只在二維對稱平面建立了起落架動力學模型；蘇彬等[16]建模假設了起落架前輪轉向軸垂直安裝并忽略機輪傾側效應；徐冬苓等[17]和徐世玥[18]忽略了起落架的側向受力；張雯等[19]獨立計算機輪和緩沖器受力導致受力不平衡；袁東[20]未考慮俯仰姿態(tài)對機輪觸地判斷的影響且著陸時緩沖器壓縮量高頻振蕩。

為了建立能真實仿真飛機任意狀態(tài)的地面運動特性的起落架動力學模型以更好的評價飛行品質和培訓飛行員，首先提出極坐標結合坐標轉換的方法計算每個起落架機輪的觸地點并得到承載情況，然后推導緩沖器壓縮行程和壓縮速率的代數計算方法，再分析得到機輪在空間的滾動方向定義，從而解析得到精準的側向摩擦，并利用相互作用力原理在不忽略緩沖器應力的基礎上解算出緩沖器受力及地面摩擦力，最后得到所有起落架相對于飛機的力和力矩，用于飛機運動參數解算，從而可模擬飛機任意狀態(tài)下的地面運動。

1 模型結構

飛行模擬器飛行仿真模型的原理是將飛機的氣動、發(fā)動機和起落架在飛機體軸系下的力和力矩代入到體軸系下的運動方程進行統一解算，得到飛機運動參數。為了將起落架模型與仿真模型集成，起落架模型計算的結果應該是當前狀態(tài)下在飛機體軸系下的力和力矩，如圖1所示。

圖1 起落架動力學模型與飛行動力學模型的關系Fig.1 The relationship between landing gear dynamics model and flight dynamics model

飛機在地面運動狀態(tài)下，起落架緩沖器由于壓縮有行程和速度，形成了緩沖力，通過機輪作用到地面，地面再反作用給機輪支反力和摩擦力，從而形成起落架在體軸系的力和力矩。因此，起落架動力學模型首先需要根據飛機當前運動狀態(tài)計算起落架承載情況及緩沖器壓縮運動參數，然后根據因壓縮形成的緩沖力解算機輪受到的支反力和摩擦力，最后將機輪受力投影到飛機體軸系上，輸出體軸系上的力和力矩供運動方程解算，其結構示意圖如圖2所示，其中前輪偏轉角度、前輪輪軸與轉向軸的向量為前起落架所特有結構；最后將所有起落架在體軸系上的力和相對于重心的力矩進行疊加，得到起落架作用于飛機的力和力矩。

圖2 起落架動力學模型結構Fig.2 The structure of landing gear dynamics model

為確保起落架動力學模型的準確性，需根據起落架原本結構進行建模，起落架模型結構如圖3所示。

圖3中，λ為前起落架前傾角，pm和pn分別為主起落架和前起落架在機體構造坐標系下壓縮方向的向量，(xO,yO,zO)和(xo,yo,zo)分別為主起落架和前起落架未壓縮時輪軸在機體構造系的坐標，R和r分別為主起落架和前起落架機輪的半徑，ln為前起落架輪軸到壓縮軸在機體構造坐標系下的向量。

2 輪載的判定

由于機輪外輪廓是圓形，機輪距離地面的最低點(或機輪觸地點)與飛機的姿態(tài)相關，其在飛機構造系(以飛機鼻錐為原點，x軸沿機身軸線向后為正，y軸垂直于飛機對稱平面向右為正，z軸垂直于x-y平面向上為正)下的坐標不固定，因此首先需要確定機輪最低點在構造系下的坐標，從而得到機輪軸的地面高度。

由于飛機在偏航時，起落架機輪跟隨飛機進行偏航，所以起落架機輪最低點(觸地點)只與飛機俯仰和滾轉姿態(tài)相關(轉向起落架還與轉向角和轉向軸前/后傾角有關)。先以主起落架為例，起落架機輪相對于地面的姿態(tài)角定義同飛機歐拉角一樣，先俯仰后滾轉。

2.1 主起落架

建立機輪構造坐標系，以機輪軸心為原點，x軸在機輪對稱面內平行于機體構造系x-y面向后為正，z軸在機輪對稱面內垂直機體構造系x-y面向上為正，y軸垂直于輪胎對稱面向右為正，如圖4所示。

機輪外輪廓可由極坐標方程表示為

(1)

式(1)中：下標w表示機輪構造坐標系坐標；R為主起落架機輪半徑；ε為極坐標因子，為原點到輪廓任意一點與x軸的夾角。

建立機輪牽連地軸系，以機輪輪軸為原點，x軸為機輪構造坐標系x軸在地面的投影向后為正，z軸為垂直于地面向上為正，y軸垂直于x-z平面向右為正，如圖5所示。

圖5 機輪牽連地軸系示意圖Fig.5 Schematic diagram of wheel implicated earth coordinate system

若機輪對稱面和機體對稱面平行，則機輪外輪廓坐標轉換到機輪牽連地軸系下為

(2)

式(2)中：下標mg表示主起落架機輪牽連地軸系坐標；Lgw為機輪外輪廓坐標系到機輪牽連地軸系的轉換矩陣；L′wg為機輪牽連地軸系到機輪外輪廓坐標系轉換矩陣的轉置。

Lwg=Lx(φ)Ly(θ)

(3)

式(3)中：Li(σ)為繞i軸旋轉角σ的轉換矩陣，i可以為x、y、z軸中任一個；σ可以為φ、θ中任一個，φ為滾轉角；θ為俯仰角。

(4)

機輪最低點(觸地點)的地軸z坐標有最小值，將z軸坐標對ε求導，可得

(5)

因此機輪最低點(觸地點)在機體構造系的坐標(xm,ym,zm)為

(6)

式(6)中：(xO,yO,zO)為起落架支柱未壓縮時，主起落架機輪輪軸在機體構造系的坐標。

由飛機的姿態(tài)可推出機輪最低點(觸地點)在地軸系下的坐標(xmG,ymG,zmG)，可表示為

(7)

式(7)中：(xg,yg,zg)為飛機重心在構造坐標系下的坐標；(xG,yG,zG)為飛機重心在地軸系下的坐標；ψ為偏航角。

如果求得zmG≥0(地軸系向下為正)，則該主起落架機輪觸地有輪載。

2.2 前起落架

前起落架機輪最低點(觸地點)的計算與主起落架類似，不同的是前起落架機輪可偏轉，而且由于前起落架有前傾角的原因，前起落架機輪偏轉的旋轉軸和體軸系的z軸不平行，故需先將機輪構造坐標(定義同主起落架機輪)轉換到和體軸系平行，經前機輪偏轉后再轉換回前起落架的機輪構造坐標系。因此對于前起落架機輪，機輪外輪廓坐標轉換到機輪牽連地軸系的過渡矩陣為

Lwg=Ly(-λ)Lz(δ)Ly(λ)Lx(φ)Ly(θ)

(8)

式(8)中：δ為前輪偏度(機輪左偏為正)；λ為前起落架前傾角(支柱前伸為正)。

ε=arctan{(cosθcosφcosλ-sinθsinλ)cosλ+[(sinθcosλ+cosθcosφsinλ)cosδ-

cosθsinφsinδ]sinλ}{(cosθcosφcosλ-

sinθsinλ)sinλ-[(sinθcosλ+

cosθcosφsinλ)cosδ-cosθsinφsinδ]cosλ}-1

(9)

由于前起落架機輪輪軸一般不在轉向軸上，所以前輪偏轉時輪軸的機體構造系坐標會發(fā)生變化，令輪軸到轉向軸連接處在機體構造坐標系下的向量為ln(前起落架未偏轉時)，則前起落架機輪最低點(觸地點)在機體構造系的坐標(xn,yn,zn)為

(10)

式(10)中：(xo,yo,zo)為前起落架未轉向的機輪輪軸在起落架支柱未壓縮時的機體構造系坐標。

再由飛機姿態(tài)推出機輪最低點(觸地點)在地軸系下的坐標(xnG,ynG,znG)可表示為

(11)

如果求得znG≥0(地軸系向下為正)，則前起落架機輪觸地，有輪載。

3 起落架緩沖力的計算

起落架緩沖器所提供的緩沖力是起落架提供給飛機支反力的主要組成部分，主要由隨壓縮行程變化的彈簧力、隨壓縮速率變化的阻尼力以及緩沖器內部有相對運動而產生的滑動摩擦力組成。

3.1 壓縮行程

當計算得到主起落架機輪觸地有輪載時，則主起落架緩沖器被壓縮。令主起落架的壓縮方向在機體構造系下為pm=[pmx，pmy，pmz]，將其轉換到地軸系下，壓縮方向pmG，可表示為

(12)

由此可得主起落架壓縮行程Lm為

(13)

上述計算過程對于前起落架同樣適用。

3.2 壓縮速率

壓縮速率可通過緩沖器無壓縮時(假設未觸地)機輪輪軸地速和實際壓縮時(實際已觸地)的機輪輪軸地速在壓縮方向的差求得。輪軸的地速是重心速度與繞重心轉動的線速度之和。

3.2.1 無壓縮時機輪輪軸沿壓縮方向速度

令飛機重心的地速為Vg=[Vgx，Vgy，Vgz]，則無壓縮時主起落架機輪輪軸沿壓縮方向的地速Vmg_uncomp可表示為

(14)

3.2.2 壓縮時機輪輪軸沿壓縮方向速度

壓縮時機輪輪軸沿壓縮方向的速度計算方法與未壓縮時相似，不同點在于：①輪軸與重心在機體構造系下的相對位置有變化；②壓縮時輪軸地速在機輪牽連地軸系z軸的分量為0。由此可推出主起落架壓縮時機輪輪軸沿壓縮方向的地速Vmg_comp可表示為

(15)

因此主起落架緩沖器的壓縮速率為

Vm_comp=Vmg_uncomp-Vmg_comp

(16)

同理可計算前起落架的壓縮速率，不同的是式(14)、式(15)中未壓縮機輪輪軸在機體坐標系的坐標(xO,yO,zO)修正為前起落架偏轉后的未壓縮機輪輪軸在機體坐標系的坐標，即

(17)

3.3 緩沖力

根據起落架緩沖器的結構和參數可以得到緩沖器彈簧力、阻尼力與壓縮行程、壓縮速率的函數關系；滑動摩擦和壓縮速率有關，即有壓縮速率就有反向的固定滑動摩擦力(滑動摩擦力具有消除仿真振蕩的作用，只采用彈簧-阻尼特性的緩沖器會存在振蕩現象[21])。由此可得主起落架的緩沖力Fm_comp為

Fm_comp=Fm_spring(Lm)-sgn(Vm_comp)×

Fm_damp(Lm,Vm_comp)-sgn(Vm_comp)Fm_0

(18)

式(18)中：Fm_spring(Lm)為主起落架緩沖器彈簧力與壓縮行程的函數關系；Fm_damp(Lm,Vm_comp)為阻尼力與壓縮行程和壓縮速率的函數關系；Fm_0為滑動摩擦由起落架緩沖器的設計決定，其具體形式由起落架設計方提供。同理可得前起落架的緩沖力。

4 機輪摩擦力的構成

起落架機輪和地面的受力關系除了地面提供支反力以外還有摩擦力，摩擦力根據機輪滾動的方向分為縱向摩擦力和側向摩擦力，其中沿機輪滾動方向的摩擦分量為縱向摩擦，垂直于滾動方向的摩擦分量為側向摩擦。

4.1 縱向摩擦

主起落架的縱向摩擦包含滾動摩擦和剎車壓力摩擦，前起落架只有滾動摩擦。滾動摩擦系數根據跑道面的不同而為不同的常數，剎車壓力摩擦系數是剎車壓力的函數，由于剎車壓力與剎車踏板偏度有近似一一對應的關系，剎車壓力摩擦系數也可以認為是剎車踏板偏度的函數。由此，起落架的縱向摩擦系數為

(19)

式(19)中：μm_long為主起落架縱向摩擦系數；μn_long為前起落架縱向摩擦系數；μ0為滾動摩擦系數；μbreke(pedal)為剎車摩擦系數，其中pedal為剎車程度。

4.2 側向摩擦

當機輪運動方向不在機輪對稱平面內時，機輪存在側向摩擦。機輪的側向摩擦系數是機輪運動方向與機輪滾動方向夾角(即側偏角βm)的函數，側偏角較小時，側向摩擦系數與側偏角近似成線性關系。側偏角可視為機輪運動方向和機輪地面坐標系x軸的夾角與機輪地面坐標系x軸和機輪滾動方向夾角的和。此外由于機輪存在最大摩擦系數，側向摩擦系數應小于最大摩擦系數與縱向摩擦系數的幾何差，所以主起落架機輪側向摩擦系數的形式為

(20)

(21)

式中：μm_lat為主起落架側向摩擦系數；μm_max為主起落架最大摩擦系數；μβ(βm)為側向摩擦隨側偏角的函數；(Vmgx,Vmgy,Vmgz)為主起落架輪軸在地軸系的地速；δmg為主起落架機輪滾動方向與機輪牽連地軸系的夾角。

μβ(βm)有多種輪胎模型可使用，可采用魔術公式輪胎模型或Dugoff輪胎模型[22]。為求解主起落架機輪滾動方向相對于機輪地軸牽連系的偏度δmg，需明確機輪滾動方向。由于機輪在只受摩擦力的情況下，在機輪輪廓平面內滾動，因此定義一個垂直于輪軸到觸地點向量并在機輪對稱平面內的單位向量，其機輪構造坐標系的坐標為[-sinε，0，cosε]，該單位向量在機輪牽連地軸系的投影與機輪牽連地軸系x軸的夾角即為δmg，可表示為

(22)

式(22)中：(δmgx,δmgy,δmgz)為主起落架單位向量在機輪牽連地軸系的方向。

前起落架機輪側向摩擦系數與主起落架相似，但由于前起落架可偏轉的原因，式(23)中未壓縮機輪輪軸在機體坐標系的坐標修正為前起落架偏轉后的未壓縮機輪輪軸在機體坐標系的坐標為

(23)

式(23)中：βn為前起落架機輪的側偏角；(Vngx,Vngy,Vngz)為前起落架輪軸在地軸系的地速；δng為前起落架機輪滾動方向與機輪牽連地軸系的夾角；Ln為前起落架的壓縮行程。

前起落架機輪滾動方向相對于機輪地面坐標系偏度的計算中，也要考慮前起落架前傾角和轉彎偏度的因素，可表示為

(24)

式(24)中：(δngx,δngy,δngz)為前起落架單位向量在機輪牽連地軸系的方向。

5 支反力的求解

對于機輪觸地點，地面對于機輪的支反摩擦力和機輪施加于地面的壓力是一對大小相等、方向相反的力。根據上述章節(jié)已求出緩沖力和地面各摩擦力的系數，其中緩沖力只是這對力在緩沖器壓縮方向的分力，垂直于壓縮方向還存在應力；地面各摩擦系數和地面壓力的關系可確定合力的方向，因此已知分力大小和合力方向，可求解出合力的大小和方向，以主起落架為例，合力大小Fm為

(25)

建立機輪地面坐標系，以機輪觸地點為原點，x軸為輪軸滾動方向向前為正，y軸為輪軸在地面的投影向右為正，z軸為垂直于地面向下為正，如圖6所示。可得到合力在主起落架機輪地面坐標系的各分力Fmg為

圖6 機輪地面坐標系示意圖Fig.6 Wheel earth coordinate sytem

(26)

前起落架機輪由于有轉向，式(25)中Lwg的形式[式(8)]與主起落架有區(qū)別。

6 起落架相對機體的力和力矩

將機輪地面坐標系的分力轉換到體軸系上，可得主起落架對機體的力FGear_m為

FGear_m=Lx(φ)Ly(θ)Fmg

(27)

前起落架有同樣的形式。

主起落架對機體的力矩MGear_m由主起落架對機體的力叉乘機輪相對重心在體軸系的坐標可得

(28)

起落架的力矩計算需要將式中未壓縮機輪輪軸在機體坐標系的坐標(xo,yo,zo)修正為前起落架偏轉后的未壓縮機輪輪軸在機體坐標系的坐標，如式(17)所示。

將所有起落架的力和力矩相加就得到起落架系統對飛機在體軸系上的力FGear和力矩MGear為

(29)

7 仿真驗證

起落架動力學模型主要實現飛機在地面的落震、轉彎、剎車功能，為驗證該起落架動力學模型的正確性，對以上3個功能進行仿真驗證。同時為了適用于有運動平臺的飛行模擬器，確保著陸時的過載與實際相符，對著陸工況進行仿真驗證。

7.1 落震

設置飛機初始高度稍高于地面，俯仰角為3°，呈稍抬頭的姿態(tài)，確保主起落架先觸地；速度為0.5 m/s，避免迎角側滑角解算出現奇點。落震過程重心高度和俯仰角變化曲線如圖7所示。

由圖7可見，飛機在落震過程中，重心高度經過三次振蕩后穩(wěn)定(由于起落架有高度，靜止后飛機重心高度為正值)，并且由于抬頭的初始姿態(tài)，飛機初始有俯仰的振蕩，最終快速收斂穩(wěn)定。這與實際試驗現象相符[23]。

7.2 轉彎

設置飛機在第10秒左蹬腳蹬，第14秒時收回，偏航角、滾轉角、前起落架機輪側偏角及3個起落架機輪的軌跡如圖8所示。

機輪軌跡是由空中向地面俯瞰圖8 轉彎過程中仿真結果Fig.8 Simulation result of turning process

由圖8可以看到，左蹬腳蹬后飛機航向向左偏轉，腳蹬回中后航向保持在松腳蹬的時刻；轉彎過程中，飛機由于向右的離心力會產生輕微的右滾轉；前機輪偏轉后，機輪速度方向很快靠近滾動方向。

7.3 剎車

設置初始速度為40 m/s，第5 s開始持續(xù)滿剎車，速度、俯仰角變化如圖9所示，開始剎車后飛機低頭、速度急速減小；因為機輪位于重心以下，剎車帶來低頭力矩。

圖9 剎車過程的仿真結果Fig.9 Simulation result of breaking process

7.4 著陸

設置初始速度為著陸速度，飛機略高于地面并以抬頭姿態(tài)進行著陸。著陸時重心高度、俯仰角及重心法向過載如圖10所示，著陸觸地后，重心高度和俯仰角經過一次振蕩就快速收斂。由于仿真初始設置為“硬著陸”，所以最大法向過載約3.5g(g為重力加速度)，該過載值允許飛行模擬器帶上運動平臺給飛行員提供著陸觸地時的過載感受。

圖10 著陸過程的仿真結果Fig.10 Simulation result of landing process

8 結論

(1)在沒有忽略起落架結構尺寸和受力方式的基礎上建立了受力特性完整的起落架動力學模型。

(2)由仿真結果可知，飛機落震經過3次緩沖振蕩后收斂穩(wěn)定；飛機的航向跟隨前機輪的偏轉而改變，前機輪回中后保持回中時刻的航向，轉彎過程中向轉彎相反的方向傾斜；剎車時飛機速度快速較小并產生低頭的姿態(tài)。

(3)著陸仿真的過載仿真允許將該模型加載到帶運動平臺的飛行模擬器中，使飛行模擬器可模擬任意狀態(tài)下的地面運動并提供給飛行員真實的起降滑跑體驗。