徐宏臻

有人說，數學教學有三重境界，一教知識，二教方法，三教思想。其中，數學思想被認為是數學的靈魂。實踐表明，學生領會某種數學思想，需要在積極參與教學活動的過程中，逐步地、多次地、深入地體會，以及反復地應用，才能真正領悟?？梢哉f，反復體會是感悟數學思想的必由之路和關鍵之策?，F(xiàn)以蘇教版數學四年級上冊“列表的策略”教學為例（如圖1），談談如何讓學生通過多次體會逐步感悟數學思想的實踐與思考。

就“解決問題的策略”教學而言，首先，教師要有一雙“慧眼”，看到所教策略中蘊含的數學思想;其次，教師要精心設計教學活動，呈現(xiàn)策略形成的過程，特別是要通過回顧、反思、比較、交流，讓策略中蘊含的數學思想凸顯出來;再次，教師要通過運用和拓展，豐富感知，增強體會。那么，列表的策略中蘊含的數學思想是什么？筆者認為，是分類和對應的思想。

從上面的例題中可以看到，其實例題已經把3種樹的相關信息，按樹名、每種樹栽的行數和每行栽的棵數分別進行了整理，并按同樣的順序一一呈現(xiàn)，整齊劃一。筆者認為，教材已經把需要學生整理的許多環(huán)節(jié)代替包辦了，這不利于學生自主地產生整理信息的強烈需求，不利于學生經歷列表整理信息的全過程，學生不但難以體會到列表整理的好處，也難以體會到其蘊含的數學思想。為此，筆者在教學時進行了教學改進。

一、在形成過程中逐步體會

在教學中，筆者不直接出示例題，而是把課前已經制作好的3種果樹的樹名、每種樹栽的行數和每行栽的棵數以及要求的問題，共7塊板貼，隨意地貼在黑板上。筆者讓學生看題后直接解答“桃樹和梨樹一共有多少棵？”，隨后分別一一展示列式和得數。學生驚訝地發(fā)現(xiàn)，列式和得數各不相同，他們個個睜大了眼睛，不禁迷惑起來：同一個問題，怎么有這么多的列式和結果？這時，筆者順勢讓學生說說看板貼的感想。學生一致認為，信息太多太亂了，沒有順序和條理，叫人看得眼花繚亂，需要好好整理一下。于是，筆者引導學生，那你們認為怎樣整理才算有條理呢？學生認為，應該把桃樹的相關信息、杏樹的相關信息、梨樹的相關信息各自集中地放在一起。

筆者肯定了學生想法，讓學生上臺自主移動板貼進行整理，結果學生歸類整理為：“小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，杏樹每行6棵，8行杏樹，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？”筆者問：“現(xiàn)在已經歸類整理了，你覺得怎樣？”學生說：“比過去清楚多了，但還是有點亂，因為桃樹是先出現(xiàn)行數，再出現(xiàn)每行的棵數，而杏樹是先出現(xiàn)每行的棵數，再出現(xiàn)行數，梨樹又是先出現(xiàn)行數，再出現(xiàn)每行的棵數，出場的順序不一致。筆者再問：“那你認為怎么調整才順序一致，更有條理、更清楚呢？”學生認為，要統(tǒng)一出場順序：要么先出現(xiàn)每種樹的行數，再出現(xiàn)每行的棵數;要么先出現(xiàn)每種樹每行的棵數，再出現(xiàn)行數?？梢?，學生頭腦中已經萌發(fā)了有序和對應的思想。

于是，筆者再次讓學生上臺移動板貼，學生整理為：“小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，8行杏樹，杏樹每行6棵，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？”但有學生反對說：“問題是求桃樹和梨樹一共有多少棵，與杏樹無關，應該把有關杏樹的信息直接去掉?！睂W生已經初步學會根據所求的問題去尋找并整理相關信息，會用分析法思考問題了。學生最后整理為：“小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？”

這時，筆者再問學生：“現(xiàn)在有什么感受？”學生一致認為，現(xiàn)在有條理多了，簡潔多了，清楚多了。但有的學生還反對說：“題目的文字還是多了，還是有點不簡潔，不能讓人一目了然，還可以進一步簡化?！彪S后，筆者放手讓學生進行自主簡化，結果如下。

（1）文字整理為：

桃樹：3行，每行7棵。

梨樹：4行，每行5棵。

（2）表格整理為表1和表2（如圖2）：

至此，筆者讓學生體會用表格整理條件的好處。學生一致認為，用表格收集和整理信息更簡潔、更有條理、更清楚，也更便于找到數量關系，有利于解決問題，可以直接看表分別求出桃樹和梨樹的棵數，且不容易混淆和出錯。

教學本例題時，筆者故意雜亂無章地呈現(xiàn)題中的信息，激發(fā)了學生整理信息的需要，通過引導學生自主整理、簡化信息，使學生充分經歷了列表整理信息的全過程，從無序到有序，從不對應到對應，從文字到列表，從而讓分類和對應等數學思想一步步凸顯出來，愈加清晰地、鮮明地呈現(xiàn)在學生眼前。這樣改造，既一波三折，又一氣呵成，直達策略的本質——數學思想。學生從中不但很容易學到整理信息的過程和方法，而且他們對表格的結構和含義會了然于心，還很容易體會和感悟到其中所蘊含的數學思想。

二、在反復比較中突出思想

1.在比較中體會

為了進一步凸顯列表的作用，筆者及時引導學生看表說明表的意義。學生一致認為，列表更簡單、更清楚，快速地找到數量關系，快捷地解決問題。筆者問：“你認為在列表時要注意什么？”學生認為，要把同類的集中歸在一起，并且出現(xiàn)的順序也要一致，這樣才更清楚、更順暢。通過回顧、反思、比較、提煉和交流，策略中蘊含的數學思想——分類和對應等逐步開始凸顯出來。學生在以后整理信息時，也會自覺地先分類，講究排列順序，注意一一對應，從而提升自主整理信息、快速解決問題的能力。

2.在解題中體會

列出表后，筆者讓學生各自獨立解答問題。學生或用綜合法，或用分析法，都順利地列出了算式。有的學生分步列式計算，并說對了理由：先分別算出桃樹和梨樹各有多少棵，再把兩者相加。還有的學生列出了綜合算式：7×3+5×4，雖然他們還未學過4個數的混合運算，但根據題中的數量關系，他們認為應分別先算出式中兩個積，再把兩積相加。筆者問：“在解決這個問題時，你是選擇了看文字，還是選擇了看表格？”學生說是看表格，因為這樣簡單、方便和快捷。筆者說：“也要注意對照文字，因為表格是根據文字整理出來的?！睂W生在解決問題的過程中，真切地體會到分類和對應給解決問題帶來的便利，開始喜歡這一策略了。這時，筆者再讓學生回看課始他們的各種列式和得數。他們說：“不列表整理，還真容易張冠李戴?！边@樣，就進一步增強了學生的策略體驗，促使學生更自覺地運用列表策略去整理信息和解決問題。

3.在檢驗中體會

檢驗是解決問題的一個重要步驟，也是必不可少的一個教學環(huán)節(jié)。它可以培養(yǎng)學生良好的解題習慣和學習品質。筆者引導學生依據表格進行檢驗，即把表中的某個條件改為問題，把原來所求的問題改為條件，看能否由此及彼，相互推算出來。學生依據表格探索出4種不同的檢驗方法，充分感悟到運用表格進行檢驗的簡單和快捷，而表格中的分類和對應等數學思想則不斷被學生領悟到，學生更加喜歡這一策略了。

三、在拓展延伸中深化認識

數學思想具有強大的生命力和發(fā)展力，是數學知識的內核。學生一旦掌握它，就能輕松地解決很多相關的問題，且能觸類旁通。為了進一步凸顯分類和對應這些數學思想，感受數學思想的魅力，筆者還有意識地進行拓展延伸，引導學生回顧已學過的統(tǒng)計圖表，如“統(tǒng)計表與條形統(tǒng)計圖”中的例1（如圖3），體會圖表中所蘊含的數學思想。先看統(tǒng)計表，分別說說每行和每列的含義，感悟其中的分類和對應數學思想;再看統(tǒng)計圖，分別說說橫軸和縱軸的含義，以及每個直條所表示的含義，從而讓學生直觀形象地體會分類和對應的數學思想。通過拓展延伸，幫助學生自覺增強運用數學思想的意識，讓數學思想逐步內化于心。

（作者單位：江蘇省高郵實驗小學）