薛惠華

【摘要】數(shù)學(xué)思維是能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，它不僅是一種思維方式，也是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，學(xué)生只有培養(yǎng)好數(shù)學(xué)思維，才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué).如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就成了一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題.以“雞兔同籠”為例，課堂中利用方法多樣、數(shù)形結(jié)合、講清道理、追溯關(guān)聯(lián)等渠道，以追求學(xué)生數(shù)學(xué)思維的個(gè)性化、可視化、條理化、結(jié)構(gòu)化.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維;個(gè)性化;可視化;條理化;結(jié)構(gòu)化

所謂數(shù)學(xué)思維，就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，它不僅是一種思維方式，也是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.而數(shù)學(xué)思維對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)或者學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是極其重要的，它不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，還能為學(xué)生奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)起到重要作用.數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)認(rèn)識(shí)問(wèn)題，最終解決問(wèn)題的過(guò)程.那么在教學(xué)中如何能有效地利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)，能多渠道、多形式地讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維得以培養(yǎng)呢？筆者以“雞兔同籠”教學(xué)為例，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的策略，追求數(shù)學(xué)思維的“四化”過(guò)程.

一、方法多樣，追求數(shù)學(xué)思維個(gè)性化

個(gè)性化顯然是指學(xué)生的思維獨(dú)特、另類(lèi)，擁有自己的特質(zhì)，那么追求思維個(gè)性化就是要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，具有思維活動(dòng)的主動(dòng)性和獨(dú)特性，能以自己的想法和思考解決問(wèn)題.每個(gè)學(xué)生都是獨(dú)立的個(gè)體，他們有各自的思維、有獨(dú)立的思考能力，因而，教學(xué)中如果能發(fā)揮學(xué)生的個(gè)性化思維，以自己的思維去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，那么學(xué)生的印象是深刻的，體會(huì)是深層的.這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一種能讓學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)揮個(gè)性化思維的機(jī)會(huì)，學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境中可能會(huì)還你一個(gè)活躍的、生動(dòng)的、富于生命力的課堂.例如，我在教學(xué)“雞兔同籠”時(shí)，給學(xué)生開(kāi)放的空間：1.先出示例題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只？2.學(xué)生理解題意：從題目中你了解到什么信息？題中還隱藏著什么信息呢？3.獨(dú)立思考或同桌交流，把你的解題過(guò)程記錄下來(lái).（給學(xué)生學(xué)習(xí)單）

在這個(gè)過(guò)程中，教師不是按部就班地引導(dǎo)學(xué)生去理解、分析、解答，而是以開(kāi)放式的思路，讓學(xué)生自行理解題意，根據(jù)自己的理解獨(dú)立思考或同桌交流，把自己最本真的想法表示出來(lái)，嘗試解答，學(xué)生得到的答案是多樣的.

第一種：列表的方法.學(xué)生根據(jù)教師提供的學(xué)習(xí)單的表格列表找答案，學(xué)生的列表結(jié)果也不是統(tǒng)一的，有的從雞7只兔1只想起，有的從兔1只雞7只想起，有的沒(méi)有按一定的順序想……最終都得到雞有3只、兔有5只.

第二種：畫(huà)圖的方法.知道用圓圈表示一共的只數(shù)，再考慮腳的只數(shù)，得到雞有3只、兔有5只.

第三種：列式的方法.假設(shè)全部是雞，一共有16只腳，再與實(shí)際的腳的只數(shù)比較，最后列式解答也能得到雞有3只、兔有5只.

第四種：一一列舉的方法.學(xué)生用算式的形式一一列舉，從雞有1只兔有7只想起.

第五種：直接寫(xiě)答的方法.

在短短的時(shí)間里，教師沒(méi)有教學(xué)，也沒(méi)有引導(dǎo)解答，大膽地讓學(xué)生嘗試，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考—同桌交流—無(wú)法完成的情況下給予提示的過(guò)程，充分挖掘?qū)W生的潛能，學(xué)生就展現(xiàn)出了這么多種不同的方法，而且每個(gè)學(xué)生的思維和想法都是那么自然、有個(gè)性，每個(gè)學(xué)生都能帶著自己的思考、想法進(jìn)行交流，表示自己的解答過(guò)程，所以孩子的思維真的是不可限量的.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以大膽地放手，給足時(shí)間、創(chuàng)造空間，用學(xué)生不同的思維解決問(wèn)題，真正展示學(xué)生思維的個(gè)性化.

二、數(shù)形結(jié)合，追求數(shù)學(xué)思維可視化

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形分家萬(wàn)事休”.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的[1].在應(yīng)用題教學(xué)中什么時(shí)候利用數(shù)形結(jié)合？怎么運(yùn)用數(shù)形結(jié)合？課堂教學(xué)中教師要把握機(jī)會(huì)，適時(shí)引導(dǎo)，當(dāng)學(xué)生對(duì)同學(xué)的列式不懂不理解時(shí)，如果把列式用畫(huà)圖的過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，把列式和圖形結(jié)合起來(lái)分析講解，那么學(xué)生對(duì)式子的理解將會(huì)更透徹、更到位.例如，“雞兔同籠”的教學(xué)中，學(xué)生展示出了多種多樣的解題方法，一名學(xué)生在匯報(bào)時(shí)（列式為2×8=16（只） 26-16=10（只） 10÷2=5（只） 8-5=3（只）），很多同學(xué)是沉默的，因?yàn)橛型瑢W(xué)看不懂為什么這樣列式.這時(shí)教師要抓住時(shí)機(jī)追問(wèn)：同學(xué)們都看不懂，怎么解釋一下能讓同學(xué)們懂呢？學(xué)生開(kāi)始解釋每一個(gè)算式的意義：如果這8只都是雞，那么有2×8=16只腳，實(shí)際有26只腳，少了26-16=10只腳……很多學(xué)生還處在茫然當(dāng)中，這時(shí)用畫(huà)圖方法的學(xué)生說(shuō)道：他說(shuō)的好像跟我畫(huà)圖時(shí)的想法一樣.教師順勢(shì)利導(dǎo)，讓這個(gè)學(xué)生用畫(huà)圖來(lái)解釋每一個(gè)算式的意義（先畫(huà)8個(gè)圓圈表示8只動(dòng)物，每個(gè)圓圈加兩條線表示雞，一共畫(huà)了16只腳，表示8只雞有16只腳，就是2×8=16;而實(shí)際有26只腳，少了10只腳，就是26-16=10;我就在5只動(dòng)物身上各添上2只腳變成兔子，所以兔子有5只，雞有3只）.不但解釋了每一道算式的意義，還弄懂算式10÷2=5（只）中“2”的含義，讓全班同學(xué)經(jīng)歷了一次數(shù)形結(jié)合的過(guò)程.

細(xì)看前面的教學(xué)過(guò)程，學(xué)生的思維層次總是參差不齊的，這名學(xué)生想到的方法其他學(xué)生未必能懂，但要讓每名學(xué)生都能讀懂，該怎么辦呢？還是要以學(xué)生為主導(dǎo)，適時(shí)引導(dǎo)其他想法的學(xué)生找到方法的共鳴之處，讓學(xué)生經(jīng)歷師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、生疑、解疑、釋疑的過(guò)程，自主利用數(shù)形結(jié)合思想化難為易，化抽象為形象，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，真正做到數(shù)學(xué)思維的可視化.

三、講清道理，追求數(shù)學(xué)思維條理化

讓學(xué)生講道理是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)，這里的道理是應(yīng)有的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，首先要求教師要對(duì)所教的知識(shí)認(rèn)知完整、結(jié)構(gòu)清晰，不僅要有很強(qiáng)的學(xué)生意識(shí)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，還要懂得學(xué)生認(rèn)知、心理、情感的發(fā)展規(guī)律，能講出數(shù)學(xué)知識(shí)中的“道理”，還數(shù)學(xué)以生動(dòng)活潑的本來(lái)面目[2].教學(xué)中，教師可以在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講道理，進(jìn)而表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維過(guò)程.

例如，“雞兔同籠”的教學(xué)中，教師讓學(xué)生獨(dú)立思考或同桌交流，把自己的解題過(guò)程記錄下來(lái).學(xué)生通過(guò)思考有了五種不同的解題方法，教師在匯報(bào)的過(guò)程中，并不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生把自己的解題方法展示在屏幕上，而是問(wèn)：你是怎么想的？說(shuō)說(shuō)道理.于是有讓學(xué)生自己說(shuō)道理的，有讓其他同學(xué)說(shuō)屏幕上的做法的道理的.

生1：我從雞8只兔0只想起，一共有16只腳太少了，兔子就要增多……

生2：我假設(shè)全部是雞，一共有16只腳，再與實(shí)際的腳的只數(shù)比較，結(jié)果少了26-16=10只腳，說(shuō)明有兔的腳被我們看成雞了，再列式解答，也能得到雞3只兔5只.

生3：2是怎么來(lái)的呢？為什么要除以2呢？

生4補(bǔ)充：因?yàn)橐恢煌帽纫恢浑u多2只腳，這里把兔子都看成了雞，說(shuō)明一只動(dòng)物就被少算了2只腳，列式是4-2=2，只是他少寫(xiě)了一個(gè)列式而已.

……

通過(guò)教師追問(wèn)、學(xué)生質(zhì)疑、生生解釋的過(guò)程，學(xué)生理性表達(dá)，講清了每一種列式的道理，逐一理解各種方法.在同學(xué)們思維碰撞、理論思辨的過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的“理”的好奇心，明白了數(shù)學(xué)的“理”的重要性，讓他們主動(dòng)汲取知識(shí)，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并對(duì)已知與未知的知識(shí)產(chǎn)生獨(dú)立思考，進(jìn)而在思維相遇與對(duì)話的過(guò)程中還原知識(shí)本真，最終使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維條理化.

四、重視關(guān)聯(lián)，追求數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)化

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)就是建立認(rèn)知聯(lián)結(jié)，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一道題目用不同方法解答，展示出學(xué)生活躍的思維，但在這活躍思維的背后，再能找出每種方法之間的關(guān)聯(lián)，找到解題過(guò)程的聯(lián)系之處，這才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的.尋找解題關(guān)聯(lián)的過(guò)程中，重在探索數(shù)學(xué)知識(shí)、認(rèn)知、思維結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的內(nèi)在規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)認(rèn)知和思維的完整過(guò)程，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的完整樣態(tài)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)化[3].例如，教學(xué)“雞兔同籠”時(shí)：教師讓學(xué)生分析了列表法、畫(huà)圖法、算式法等方法.探問(wèn)：這些方法在解答的過(guò)程中有什么聯(lián)系？都是先干什么，再怎么做？學(xué)生回顧剛才的幾種方法，同桌交流、小組討論，發(fā)現(xiàn)它們都是先假設(shè)，再把假設(shè)的結(jié)果跟實(shí)際比較，稱(chēng)之為“檢驗(yàn)”，檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)不對(duì)再進(jìn)行調(diào)整，最終找到符合題意的答案.從而歸納出解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)都要經(jīng)歷“假設(shè)—檢驗(yàn)—調(diào)整”的步驟，建構(gòu)了假設(shè)——檢驗(yàn)——調(diào)整的數(shù)學(xué)模型.

學(xué)生不但會(huì)想辦法解決問(wèn)題，還通過(guò)展示交流學(xué)生的不同方法，經(jīng)歷自助、師助、生助，以及生疑、解疑、釋疑的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)幾種方法隱藏的共同點(diǎn)，然后通過(guò)比較歸納，尋找方法之間的聯(lián)系，深刻理解假設(shè)—檢驗(yàn)—調(diào)整的思路，掌握解題方法，積累解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn).整個(gè)教學(xué)過(guò)程是讓學(xué)生從一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)研究解法，并上升到一種模型，舉一反三、觸類(lèi)旁通，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)化.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，理應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂中“讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也不是一節(jié)課、一個(gè)階段就能做到的，而是要教師通過(guò)每一節(jié)數(shù)學(xué)課創(chuàng)境、引導(dǎo)，長(zhǎng)期地關(guān)注、培養(yǎng)，倡導(dǎo)愉悅的思維體驗(yàn)，關(guān)注關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)建構(gòu)，改變傳統(tǒng)課堂中以數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決、計(jì)算結(jié)果的獲得作為教學(xué)目標(biāo)，形成追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑦壿嫷臄?shù)學(xué)思維方面的本質(zhì)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓孩子們的數(shù)學(xué)思維真正發(fā)生、富有成效.

【參考文獻(xiàn)】

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