袁國虎

摘? 要：隨著中學數(shù)學綜合性和復雜性的不斷增加，學生需要養(yǎng)成良好的數(shù)學觀察習慣，重視常見公式之間的基本結構特征，尋找?guī)缀螆D形中隱藏的內(nèi)在特殊規(guī)律，嘗試各種假設、變式訓練，洞察解題規(guī)律和本質，找到巧解、妙解、化繁為簡的解題途徑。

關鍵詞：數(shù)學觀察;基本結構;特殊規(guī)律;解題技巧;變式訓練

中學階段，數(shù)學概念不斷擴充，數(shù)學題的綜合性和復雜性增加，有些學生開始采用題海戰(zhàn)術，但是實踐證明，在考試中往往原創(chuàng)題居多，學生仍然一籌莫展?！皽p負”應該減去哪些不利于學生健康成長的高消耗、低產(chǎn)出的過重負擔？在數(shù)學教學中，教師應該如何培養(yǎng)學生面對這些原創(chuàng)題？針對如何培養(yǎng)學生良好的數(shù)感，具體結合初中數(shù)學教學實踐探究如下。

一、在觀察中讓學生找到解題突破口

觀察要從問題入手，問題是數(shù)學的心臟。數(shù)學觀察包括觀察數(shù)式內(nèi)在的關系和圖形中隱含的規(guī)律。幾何問題尤為重要，其中一些看似平淡無奇的信息，通過有效觀察找到關鍵信息，挖掘出其中隱含的有價值的信息，解題思路會豁然開朗，清晰明了，避繁就簡。

例1? 在等腰直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 1，過點C作直線l∥AB，F(xiàn)是l上的一點，且AB = AF，求點F到直線BC的距離。

思路1：如圖1，當點F在點C右側時，得四邊

形CDFE是正方形，得[DF=3-12。] 如圖2，當點F在點C左側時，得四邊形EFDC是正方形，得[DF=3+12。]

思路2：從條件AB = AF出發(fā)，如圖1，發(fā)現(xiàn)∠FAB = 30°，設EF = CE = x，則BD = [3x。] 根據(jù)BD+ CD = BC，得[3x+x=1，] 解得[x=][3-12，] 即[DF=3-12。]同理，如圖2，可求得[DF=][3+12。]

二、引導學生從數(shù)和式的結構中提升數(shù)感敏銳性

數(shù)和式之間的基本結構通常是指基本的公式、方程、不等式和函數(shù)的結構特征。先熟悉公式am·an·ap = am + n + p，[amnp=amnp， abn=anbn，am÷an÷ap=]am - n - p，其中m，n，p都是正整數(shù)，a ≠ 0;常見代數(shù)式乘法公式，如[a+ba-b=a2-b2， a±b2=a2±2ab+b2，x2+][px+q=x+ax+b;ax2+bx+c=ax-x1x-x2。] 另外，還要熟悉[ax2+bx+c=0 a≠0]中的[x1+x2=-ba，x1x2=ca，]以及常見的變形公式[x1-x2=x1+x22-4x1x2]等。

例2? 解二元二次方程組[xy=6 ①，x+y=5 ②。]

解析：設x，y是方程z2 - 5z + 6 = 0 ③的兩個根，由方程③解得z1 = 2，z2 = 3，所以原方程組的解為[x1=2，y1=3，] [x2=3，y2=2。]

三、從圖形結構中誘發(fā)猜想，提高思維廣度

基本圖形結構通常指幾何中的基本圖形。抓住基本圖形的隱含條件，養(yǎng)成有意識地由特殊情形誘發(fā)猜想的習慣，能提高學生思維的廣度。

例3? 如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE。已知AC = 4，AB = 5，求GE的長。

解析：由題可知，對角線相互垂直的四邊形CGEB尤為關鍵。通過探究發(fā)現(xiàn)“對角線相互垂直的四邊形的兩組對邊的平方和相等”這一規(guī)律是解題的突破口。

四、在變式中洞察數(shù)學規(guī)律，提高數(shù)學思維品質

變式訓練如何變，就是將母題進行變化，嘗試從概念、背景、條件與結論、題目的形式、難易程度復雜性、涉及知識點的綜合性等方面和角度加以變化，如利用完全平方公式[a±b2=a2±2ab+b2]衍生的?？碱}型“整體代入法求代數(shù)式的值”。

例4? 已知[x+][1x=6，] 求[x-1x]的值。

變式1：已知[x-1x=6，] 求[x+1x]的值。

變式2：已知[x+1x=2，] 求[x2+1x2+14]的值。

變式3：已知[x+1x=3，] 求[xx2+1]的值。

變式4：已知x2 - x - 1 = 0，求[x-1x]的值。

變式4解析：因為[x≠0，] 將分式[x-1x=1]兩邊同時乘以x，得一元二次方程x2 - x - 1 = 0，找到巧解一元二次方程與分式的關系。

總之，學生有了良好的數(shù)感之后，讓學生自己去探索、解析、綜合，以提高學生解數(shù)學題的速度，最終達到數(shù)學建模的目的。無論將原創(chuàng)題怎么變化，學生都會快速發(fā)現(xiàn)解題的突破口，即使找不到解題入口，也會套用數(shù)學建模思路去解析探究，直至解決。

參考文獻：

[1]李果民. 中學數(shù)學教學建模[M]. 南寧：廣西教育出版社，2003.

[3]張仁貴，嚴虹焰. 教師如何進行學法指導[M].天津：天津教育出版社，2009.