黃朝軍

（凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

0 引言

積分的計算，大多數(shù)就是要找到原函數(shù)，利用上下限的函數(shù)值來計算出積分值［1］.在積分計算中，被積函數(shù)的形式與積分區(qū)域是緊密關(guān)聯(lián)的.對于定積分即一重積分，積分區(qū)域就是直線上的一個區(qū)間；對于二重積分，積分區(qū)域就是平面上的一個封閉區(qū)域；對于三重積分，積分區(qū)域就是空間中的一個封閉立體區(qū)域；對于曲線積分，積分區(qū)域就是平面或空間中的一條曲線；對于曲面積分，積分區(qū)域就是平面或空間中的一個曲面.積分的計算過程往往就是讓被積函數(shù)的形式與積分區(qū)域的形式逐步融合為一體的過程，常常采用變換達到這樣目的.

1 變換的Jacobi行列式

設(shè)T:Ω →V是一一對應(yīng)的映射，即T:xk=xk(ξ1,ξ2,…,ξn),k=1,2,…,n,(ξ1,ξ2,…,ξn)∈V，n為正整數(shù)，其中每個函數(shù)都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)［2］，則Jacobi行列式為

當(dāng)n=1 時，Jacobi 行列式就是一個數(shù)；當(dāng)n=2 時，Jacobi 行列式就是一個二階行列式；當(dāng)n=3時，Jacobi行列式就是一個三階行列式.在積分中利用變換，被積函數(shù)要發(fā)生變化，同時積分區(qū)域元素形成一個倍數(shù)關(guān)系式dΩ=|J|dV.

很多數(shù)學(xué)教材上都介紹了極坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換、廣義球坐標(biāo)變換、柱坐標(biāo)變換等，實際上還有更多的一些變換，如倒數(shù)變換x=ξ-1，方冪變換ξ1,ξ2,…,ξn≥0）等.

2 利用變換解決積分計算

一般來說，在原函數(shù)能找到的情況下，還要尋找上下限的值，這也是一個困難之處.為了尋找到上下限，往往要對積分區(qū)域施行變換，其作用是把不規(guī)則、不利于被積函數(shù)的積分區(qū)域變?yōu)楸容^簡單的、規(guī)則的、有利于被積函數(shù)的簡化的區(qū)域，這樣的變換是一種一一映射.

2.1 一重積分

一重積分的積分區(qū)域為直線上的一個區(qū)間，使用變換的主要作用是讓被積函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化，以便容易計算出積分值.

2.2 曲線積分

曲線積分的積分路徑為平面上或空間中的一條曲線，使用變換的主要作用是讓積分路徑變得規(guī)則，充分與被積函數(shù)的形式高度融合，以便容易計算出積分值.

2.3 重積分

重積分的積分區(qū)域為平面上或空間中的封閉區(qū)域，使用變換的主要作用是讓積分區(qū)域變得簡單規(guī)則，充分與被積函數(shù)的形式高度融合，以便積分計算更加容易.

推論1設(shè)f(x1,x2)=XT AX+2αTX，其中X=(x1,x2)T，α=(a1,a2)T，A=(aij)2×2是2 階正定對稱矩陣，則平面區(qū)域σ:f(x1,x2)≤h2的面積為其中λ1,λ2是A的特征值，η1,η2是A的正交的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量.

推論2平面區(qū)域σ:f(x1,x2)=XT AX≤h2的面積為其中X=(x1,x2)T，A=(aij)2×2是2階正定對稱矩陣.

推論3空間區(qū)域Ω:f(x1,x2,x3)=XT AX≤h2的體積為，其中X=(x1,x2,x3)T，A=(aij)3×3是3階正定對稱矩陣.

3 結(jié)束語

上述實例看出，變換在積分計算中有著巨大的威力，還有其他一些變換，如u=x+y,v=xy；u=x+y,x=(x+y)v；y=ux,y3=vx2；x=(x2+y2+z2)u，y=(x2+y2+z2)v，z=(x2+y2+z2)w等，在此不贅述.

如何選用變換，主要是根據(jù)積分中的被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點.積分區(qū)域往往是不規(guī)則的復(fù)雜圖形，變換的作用是使積分區(qū)域變?yōu)楸容^規(guī)則的容易“看得見”的圖形，從而方便確定出上下限，同時把被積函數(shù)表達式化成簡單的形式.常規(guī)的做法是把無理式化為有理式，把超越式化為代數(shù)形式，把分式化為整式，把非線性式化為線性式子，等.對于二次曲線與二次曲面［3］，往往考慮用正交變換或可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式.