吳 偉，王國輝，顧 丹

（1.遼寧工程技術(shù)大學 應用技術(shù)與經(jīng)濟管理學院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧省技術(shù)創(chuàng)新研發(fā)工程中心 產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，遼寧 沈陽110112）

0 引言

模糊層次分析法（FAHP）一直是學者們常用的一種有效的綜合評價方法.作為模糊層次分析法的熱點問題之一，由專家給出的兩兩比較的模糊互補判斷矩陣的一致性及排序問題引起了大量學者的關(guān)注[1-3]，并取得大量成果[4-11].但是在實際決策過程中，在進行方案兩兩比較時，決策者受專業(yè)結(jié)構(gòu)、個人偏好等因素影響，會出現(xiàn)難以給出準確判斷，或者不愿發(fā)表自己意見的情形，此時就會得到一個某些元素缺失的判斷矩陣，即形成了殘缺互補判斷矩陣，因此對殘缺互補矩陣的決策研究具有重要的現(xiàn)實意義[12].

近年來，殘缺互補判斷矩陣一致性及排序問題研究也得到了很多學者的關(guān)注，學者們分別基于加性一致性判斷矩陣和乘性一致性判斷矩陣給出相應一致性檢驗和排序方法.文獻[3]對加性一致性殘缺互補判斷矩陣通過行和歸一法來求解殘缺互補判斷矩陣的排序向量；文獻[1]基于乘性一致性給出缺失元素的估計值和排序方法；文獻[12]在分析了利用加性一致性的定義來估計殘缺語言判斷矩陣中的缺失元素的方法，并對其進行了改進，然后根據(jù)偏好值算術(shù)平均數(shù)對方案進行排序；文獻[13]利用殘缺互補判斷矩陣的乘性一致性，給出了殘缺互補判斷矩陣權(quán)重向量最小平方法和權(quán)重向量最小偏差法兩種排序方法；文獻[14]分析了殘缺互補判斷矩陣的加性一致性定義，提出了最小方差法和二次規(guī)劃法兩種方法；文獻[15]基于加性一致性殘缺判斷矩陣定義給出了轉(zhuǎn)換公式，通過轉(zhuǎn)換公式得到新的矩陣，之后通過目標函數(shù)方法獲得排序向量；文獻[16]基于加性一致性殘缺區(qū)間數(shù)互補判斷矩陣，通過建立數(shù)學規(guī)劃模型求得排序向量.以上文獻中學者們提出的方法都能對殘缺互補判斷矩陣進行一致性檢驗和排序，但是同時存在一些不足之處.首先，文獻[3]、文獻[13]～文獻[16]缺失對殘缺判斷矩陣的一致性檢驗，如果殘缺判斷矩陣一致性程度不高，則利用該矩陣獲得的排序結(jié)果不大可信；其次，文獻[1]進行了一致性檢驗并對元素進行了調(diào)整，但對可接受的不一致臨界值ε的確定沒有給出依據(jù)，同時也易產(chǎn)生一致性悖論問題，另外需要調(diào)整的元素返回給專家，此做法在實際決策中也有待商榷；文獻[12]對殘缺判斷矩陣進行了次序一致性性檢驗并排序，該檢驗和排序方法過程繁瑣、不易操作，實際中很難掌握[17].

基于以上分析，本文給出殘缺互補判斷矩陣次序一致性檢驗、調(diào)整及排序的偏序集表示方法，對不滿足次序一致性的殘缺互補判斷矩陣通過調(diào)整每個截集的傳遞性，使之達到完全次序一致性后，給出偏序關(guān)系矩陣，根據(jù)上集和下集特征，給出更為簡捷的殘缺互補判斷矩陣排序方法.

1 基本概念

1.1 偏序集決策方法

定義1對于給定的集合C，R是C中元素的二元關(guān)系，若R滿足

（1）自反性：對任意x∈C，有xRx；

（2）反對稱性：對任意x,y∈C,若xRy且yRx，則x=y；

（3）傳遞性：對于任意x,y,z∈C,若xRy且yRz，則xRz.

則稱R為C上的偏序關(guān)系，記作，偏序關(guān)系R和集合C合在一起我們記作(C,)，稱之為偏序集[18].

如果集合C中的元素有限，將偏序集用矩陣的形式表示出來，即偏序關(guān)系矩陣[24].

定義2給定偏序集(C,)，對于?ci，cj∈C，若cicj，則記sij= 1 ；若ci?cj或者ci與cj不可比，則記sij= 0.則S=(sij)n×n為的偏序關(guān)系矩陣[18].

定理1設S=(sij)n×n為偏序關(guān)系矩陣，則G= (S?I)2，其中sij∈ ( 0,1)，I為單位陣，G為布爾代數(shù)運算.

對于任意偏序關(guān)系矩陣S，稱集合為x在C的下集；稱集合為x在C的上集；稱集合U(x)為x在C的不可比集，得到U(x) =C?O(x) ?F(x).若以 及表示為O(x) 、F(x)以及U(x)元素個數(shù)，則對于m個方案的偏序集其x的O(x)、F(x)和U(x)元素個數(shù)滿足

對于任意x∈A方案在偏序集上的高度為

在偏序集決策方法中，最后各個方案通過計算在偏序關(guān)系矩陣中hav(x)大小進行排序[19].

1.2 殘缺互補判斷矩陣一致性

在多屬性決策中，設X= {x1,x2, … ,xN}為方案集[20]，且N= { 1 , 2,… ,n}.當方案較多時，決策者不容易給出方案的直接排序，但兩兩方案的優(yōu)劣關(guān)系bij卻容易給出，形成的矩陣為B= (bij)n×n，描述如下：

定義 3設矩陣B= (bij)n×n，若 ?bij∈ [ 0,1]，則稱B是模糊矩陣[21].

根據(jù)定義3可知：

（1）0.5

（2）0 ≤bij<0.5，表示方案xj優(yōu)于方案xi；

（3）bij= 0.5，表示方案xi和方案xj同樣重要.

定義 4若模糊矩陣B= (bij)n×n滿足：對于?i,j∈N有bij+bji= 1，則稱B是互補判斷矩陣[22].

定義5如果互補判斷矩陣B= (bij)n×n中既含殘缺元素又含非殘缺元素，且非殘缺元素滿足bij+bji=1，bii=0.5，bij≥ 0 ，則稱B為殘缺互補判斷矩陣[1].

定義6對于殘缺互補判斷矩陣B= (bij)n×n，若?i,j,k,bij≥ 0.5，bjk≥ 0.5時有bik≥ 0.5，則稱B具有次序一致性[23].

定義6給出了判斷任意殘缺互補判斷矩陣是否滿足次序一致性的標準，對于方案較少時，很容易判斷，當比較的方案較多時，判斷起來就會很困難.另外，該定義重點關(guān)注的是方案之間的優(yōu)劣關(guān)系，為得到更加準確的排序向量，還需要關(guān)注方案之間的比較的重要程度，因此考慮按照定義7將殘缺互補判斷矩陣進行如下轉(zhuǎn)換.

定義7設殘缺互補判斷矩陣B= (bij)n×n對任意λ∈ [ 0 , 1]，稱Bλ=(rij)n×n為B的截集矩陣，其中

定義8對于殘缺互補判斷矩陣B，如果任意方案xi>xj，都有bik>bjk（k= 1 ,2,… ,n），稱B具有完全次序一致性[24].

1.3 殘缺互補判斷矩陣一致性及排序偏序集表示

定理1給定偏序集(C,?)，若G中對于任意元素gij= 1 (i≠j,k= 1 ,2,…,n)時，都有sij= 1 (i≠j)，則殘缺互補矩陣B滿足次序一致性.

證明

? 若gij=sik×skj=1(i≠j,k= 1 ,2,… ,n)， 則sik= 1 且skj= 1 ，即xi>xn且xn>xj，又因為sij= 1 ，即xi>xj，滿足定義6，因此，殘缺互補矩陣B滿足次序一致性.

?若殘缺互補矩陣B滿足次序一致性，則根據(jù)定義 6，當bik>0.5，bkj> 0.5時，bij> 0.5，即根據(jù)定義2所得當rik=1，rkj= 1 時，rij= 1 ，滿足gij=sik×skj= 1 (i≠j,k= 1 ,2,… ,n)時 ， 都 有sij= 1 ，證畢.

上述定理1給出了判斷任意殘缺互補判斷矩陣是否滿足次序一致性的方法，將殘缺互補判斷矩陣表示成為偏序關(guān)系矩陣后，按照公式G= (S?I)2進行布爾代數(shù)運算，如果在矩陣G中g(shù)ij(i≠j)= 1的元素，在S中對應位置的元素sij(i≠j) = 1 ，則殘缺互補矩陣B具有次序一致性，反之，殘缺互補矩陣B不具有次序一致性.

定理2給定偏序集，殘缺互補矩陣B具有完全次序一致性 ?Bλ( 0.5 ≤λ≤ 1) 滿足傳遞性.

證明

?對于任意Bλ，如果xi>xj，bij> 0.5，假設xj>xk，bjk> 0.5時，因為殘缺互補矩陣B滿足定義8，具有完全次序一致性，所以，xi優(yōu)于xj時，bik>bjk，所以bik>bjk> 0.5，再由定義3中（1）可得，xi>xk，即xi>xj,xj>xk?xi>xk，滿足定義1中的（3）；

?如果Bλ( 0.5 ≤λ≤ 1) 滿足定義1中的（3），根據(jù)傳遞性可得，當xi>xj，如果xj>xk時，xi>xk，又根據(jù)模糊矩陣定義 3可得，xj>xk、xi>xk方案j優(yōu)于方案k，方案i優(yōu)于方案k可表示為bik和bjk，因為任意Bλ( 0.5 ≤λ≤ 1) 中的元素都滿足傳遞性，這就意味著當xj>xk存在于Bλ( 0.5 ≤λ≤ 1) 中時，即bjk≥λ，xi>xk必須存在截集矩陣Bλ1( 0.5 ≤λ<λ1≤ 1)中，即bik≥λ1，又因為λ1>bjk≥λ，所以bik>bjk，證畢.

定理 2給出調(diào)整殘缺互補判斷矩陣滿足完全次序一致性的方法，該方法就是通過調(diào)整殘缺互補判斷矩陣的任意截集都使其滿足傳遞性，因此，如果通過定義1的檢驗方法判定殘缺互補判斷矩陣不滿足次序一致性，那么就可以通過定理2進行調(diào)整即可.

定理3設S=(sij)m×n為偏序集的偏序關(guān)系矩陣，對于 ?ci,cj∈C，若Τ(ci)≥Τ(cj)，則hav(ci)≥hav(cj)， 其 中

證明

式（2）可以簡化為

O(ci)又因為Γ(ci) =， 所 以Τ(ci) ≥Τ(cj) ?hav(ci) ≥hav(cj)，證畢.所以，根據(jù)定理 3可以根據(jù)偏序關(guān)系矩陣中每個方案的下集O(cj)（行和）和上集F(cj)（列和）的比值大小進行排序.

因此，殘缺互補判斷矩陣次序一致性及排序的偏序集表示方法步驟如下：

步驟1根據(jù)定義2給出殘缺互補判斷矩陣的偏序關(guān)系矩陣S（殘缺元素暫時認為不可比，數(shù)值為0），根據(jù)定理1對S進行判定，若滿足次序一致性則轉(zhuǎn)到步驟3，否則轉(zhuǎn)到步驟2；

步驟2根據(jù)定理2逐個調(diào)節(jié)S的截集矩陣滿足傳遞性，得到調(diào)整后的殘缺互補判斷矩陣B′，返回到步驟1；

步驟3根據(jù)調(diào)整后的殘缺模糊互補判斷矩陣，給出偏序關(guān)系矩陣，根據(jù)定理3求出方案的排序.

2 算例

某投資公司欲就建立一個購物中心進行可行性研究，設有6個地點X={x1,x2,x3,x4,x5,x6}可供選擇，設某專家給出殘缺互補判斷矩陣B= (bij)n×n如下，試確定最佳地點.

步驟1根據(jù)定義2給出殘缺互補判斷矩陣的偏序關(guān)系矩陣S并求出G.

根據(jù)定理1，在G中

而在S中對應位置

則矩陣B不具有次序一致性，轉(zhuǎn)到第二步.

步驟2把矩陣B中的大于等于0.5的元素從大到小排列為0.9 > 0.8 > 0.7 > 0.6 > 0.5.

B0.9關(guān)系圖見圖1，滿足傳遞性.

圖1 截集矩陣B0.9關(guān)系Fig.1 cut set matrix B0.9 relation

B0.8關(guān)系圖調(diào)整過程見圖2，首先增加的是1→6，根據(jù)傳遞性，增加1→5，根據(jù)定理 2，B中b15修改為0.94，然后增加的是3→2和4→5，根據(jù)定理2，不需要調(diào)整.

圖2 截集矩陣B0.8關(guān)系調(diào)整過程Fig.2 cut set matrix B0.8 relation adjustment process

B0.7關(guān)系調(diào)整過程見圖3.首先，新增加的關(guān)系是1→5，這個關(guān)系在B0.8關(guān)系圖中已經(jīng)出現(xiàn)；其次是2→1，依據(jù)傳遞性，需要增加的線為2 → 6 ,2 → 5 ,3 → 1 ,3 → 6 ,3 → 5，根據(jù)定理 2，B中b25,b35分別調(diào)整為0.95，0.96；b26,b36分別調(diào)整為 0.85，0.9；b31調(diào)整為 0.85.再次，是2→6已經(jīng)出現(xiàn)，最后是3→4，無需調(diào)整.

圖3 截集矩陣B0.7關(guān)系調(diào)整過程Fig.3 cut set matrix B0.7 relation diagram adjustment process

B0.6關(guān)系圖調(diào)整過程見圖4：新增加的關(guān)系是2→4，不需要調(diào)整，其次增加的是3 → 1 ,3 → 6，在B0.7關(guān)系圖調(diào)整過程已經(jīng)出現(xiàn)，此時，任意截集都滿足傳遞性.

圖4 截集矩陣B0.6關(guān)系調(diào)整過程Fig.4 cut set matrix B0.6 relation diagram adjustment process

所以，調(diào)整后的殘缺互補判斷矩陣為

返回到步驟1，根據(jù)定義2給出殘缺互補判斷矩陣B′的偏序關(guān)系矩陣S，根據(jù)定理1判斷滿足次序一致性（過程略），因此轉(zhuǎn)到步驟3.

步驟3根據(jù)定理3，hav(xi) 大小跟xi行和與列和的比值成正比，所以從上面的偏序關(guān)系矩陣S′計算得

從表1可見，本文排序結(jié)果和文獻[25]排序結(jié)果完全一致，和文獻[1]的排序略有不同，原因在于調(diào)整方法的角度不一樣所致，但兩種方法都能選出最優(yōu)方案x3.

表1 不同文獻排序結(jié)果對照Tab.1 comparison of ranking results of different literatures

本文提出的殘缺互補判斷矩陣的一致性檢驗、調(diào)整及排序方法與其他文獻的同類方法相比有兩點優(yōu)勢：① 殘缺互補判斷矩陣具有較高的一致性.本文在對方案排序前，對殘缺互補判斷矩陣進行了次序一致性改進，并且賦值有依據(jù)，不僅解決了文獻[25]中由于沒有進行一致性檢驗所帶來的結(jié)果可靠性問題，同時也規(guī)避了文獻[1]檢驗殘缺互補判斷矩陣一致性存在的悖論問題[26].② 排序方法簡捷.文獻[1]、文獻[25]通過計算殘缺元素的估計值進行排序，根據(jù)不同的估計值的計算較繁瑣，而本文的排序方法無需估計殘缺元素的具體值亦能進行有效排序，簡單易操作.③ 本文排序方法具有良好的魯棒性.對于排序方法魯棒性的分析是驗證該方法可靠性的不可缺少的環(huán)節(jié).

本文排序方法的魯棒性體現(xiàn)在以下方面：① 對于殘缺互補判斷矩陣中殘缺元素應用不同的估值方法，導致方案的排序結(jié)果不同，如文獻[1]和文獻[25]，容易造成決策者困惑，對于本文提出的殘缺互補判斷矩陣排序方法，使得殘缺互補判斷矩陣中已知元素滿足次序一致性基礎上，無需計算殘缺互補判斷矩陣中的估計值亦能對方案進行排序，且結(jié)果唯一；② 本文的排序結(jié)果中方案3和方案2是最優(yōu)和次優(yōu)，方案5最差，和文獻[1]和文獻[25]中同類方案排序結(jié)果完全一致，能夠選出最優(yōu)和最劣方案.

3 結(jié)論

針對現(xiàn)有殘缺互補判斷矩陣一致性檢驗、調(diào)整和排序方法中存在殘缺矩陣一致性程度不高、賦值缺乏依據(jù)、估計殘缺元素及排序運算過程繁雜問題，給出了殘缺互補判斷矩陣次序一致性及排序的偏序集表示方法，并得出了以下結(jié)論.

（1）利用偏序集中偏序關(guān)系矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系給出了殘缺互補判斷矩陣次序一致性的檢驗定理.

（2）針對不滿足次序一致性的殘缺互補判斷矩陣給出了調(diào)整定理.

（3）對于滿足次序一致性的殘缺互補判斷矩陣，在不估計殘缺值的情況下給出排序方法，該方法也是本文研究的一個特色體現(xiàn).

（4）通過和傳統(tǒng)的殘缺互補判斷矩陣次序一致性的檢驗、調(diào)整、排序方法比較發(fā)現(xiàn)，本文的檢驗和調(diào)整方法賦值有依據(jù)、易操作，其他文獻都是在估算估計值后提出的排序方法，其結(jié)果不穩(wěn)定，而本文提出的排序方法魯棒性強.