方 正，王奕賢，孫錦棟，黃澤淇，張雅男，楊 迎，芮云軍

(1.南京工業(yè)大學 數(shù)理科學學院，江蘇 南京 211816；2.南京信息工程大學 工程訓(xùn)練中心，江蘇 南京 210044)

液體表面存在著張力，趨向于將液體表面收縮為球形，表面張力系數(shù)是表征張力大小的重要參量. 表面張力在船舶制造、水利學、化學化工、凝聚態(tài)物理中都有廣泛應(yīng)用，因此測量液體表面張力系數(shù)具有重要的現(xiàn)實意義. 表面張力系數(shù)有很多測量方法，如拉脫法、毛細管法、滴重法、氣泡法等[1-4]，其中拉脫法是通過拉升吊環(huán)下的液膜直至斷裂，從而測量液體表面張力系數(shù)的方法. 現(xiàn)在更多采用力敏傳感器實時記錄吊環(huán)受力，從而計算出表面張力系數(shù). 相比傳統(tǒng)的約利彈簧秤，力敏傳感器讀數(shù)方便，測量更可靠[1]. 為了提高實驗精度，人們對拉脫法實驗儀器進行了很多研究，如金屬絲形狀、吊環(huán)的直徑、拉升速度等[5-9]. 但在實驗過程中，測量點的選取非常重要，關(guān)系到實驗結(jié)果的精確程度以及對物理概念的理解[10-11]. 王美玉等人采用液膜拉斷前電壓表讀數(shù)的最大值做為測量點，得到的表面張力系數(shù)誤差為2.7%[12]. 鄭經(jīng)學等人也認為讀取吊環(huán)上升過程中數(shù)字電壓表顯示的最大值使實驗的數(shù)據(jù)測量更為準確[13]. 另一些研究者則認為最佳讀數(shù)的選取點，應(yīng)為斷裂時瞬間的電壓值，而不是拉斷前出現(xiàn)的最大電壓值[14-16]. 為什么會出現(xiàn)2種不同的觀點？究竟選擇電壓“最大值”還是斷裂前的“瞬間值”，大學物理實驗過程中，學生常常有這樣的疑問. 以拉環(huán)放置不水平，表面不干凈的解釋已經(jīng)無法讓學生信服[17-18]. 為此，筆者自制不同直徑的吊環(huán)，設(shè)計實驗方案，對液膜斷裂點問題進行了探究.

1 理論分析

吊環(huán)從拉出液膜到液膜斷裂的過程中，力敏傳感器輸出電壓的數(shù)值經(jīng)歷從小變大再變小的過程[12]. 圖1給出了該過程中吊環(huán)受力和液膜形狀變化的示意圖. 吊環(huán)脫離液面時將拉出一段液膜，此時吊環(huán)所受合外力為

F=m環(huán)g+m膜g+2fAcosθ,

(1)

式中,m膜g為液膜重力，m環(huán)g為吊環(huán)重力，fA為表面張力,由于液膜內(nèi)、外表面都存在fA,所以有系數(shù)2；θ是液面與金屬吊環(huán)的接觸角.

隨著液面高度逐漸下降，吊環(huán)拉出的液膜(m膜g)變多，θ則減小，由式(1)可知，吊環(huán)拉力F變大，直至達到最大Fmax，此時θ=0[圖1(b)]，有

圖1 液膜拉伸過程示意圖

Fmax=m環(huán)g+m膜g+2fA,

(2)

繼續(xù)下降液面高度，在重力和分子內(nèi)聚力的作用下，液膜的體積和形狀將發(fā)生顯著變化，液膜剖面從鞍面型逐漸變成雙曲面型[圖1(c)][15].內(nèi)、外2個雙曲面的頂點處液膜將逐漸變薄，直至液膜斷裂[圖1(d)].為了便于分析，將拉出的液膜質(zhì)量分成m1和m2上下2部分.將吊環(huán)與上半部分液膜(m1)作為整體，該整體受到的表面張力，作用點在液膜最薄處，表示為fB，如圖1(c)所示.很顯然，液膜變薄過程中，fB保持不變，作用力的方向也始終豎直向下，但是上半部分液膜質(zhì)量將從m1逐漸減小到m1′，所以吊環(huán)拉力F也漸漸減小.在斷裂瞬間[圖1(d)]，有

F斷前=m環(huán)g+m1′g+2fB,

(3)

此時的液膜m1′將停留在吊環(huán)上，如圖1(e)所示.所以拉斷后，吊環(huán)所受拉力為吊環(huán)重力與殘留液膜重力之和.

F斷后=m環(huán)g+m1′g,

(4)

很顯然，對比式(3)和(4)，液膜斷裂前、后的拉力之差為2fB，這正是液膜斷裂點的表面張力，計算出的表面張力系數(shù)是準確的.同樣，對比式(2)和(4)，吊環(huán)拉力之差為2fA+(m膜-m1′)g，此差值中除了有表面張力外，還包含一部分液膜重力，所以計算出的表面張力系數(shù)數(shù)值將明顯偏大.因此文獻中普遍采用液膜斷裂點來計算表面張力系數(shù)[14-16].

值得注意的是，圖1(c)中的fA表示液體與金屬環(huán)接觸處附近的表面張力，fB表示液膜最薄處的表面張力，兩者都是液體在空氣界面處的表面張力，所以fA=fB.采用整體法，將吊環(huán)與m1整體作為研究對象，fB為該整體受到豎直向下的外力，而fA則為內(nèi)力，無論其角度θ如何變化，與吊環(huán)拉力F無關(guān).

由此，表面張力f用電壓來表示，為

f=F斷前-F斷后=(U斷前-U斷后)/K，

(5)

2 實驗結(jié)果與討論

2.1 基于Umax與U斷前的表面張力系數(shù)比較

表1 采用電壓最大值和水膜斷裂瞬間值計算得到的表面張力系數(shù)及其誤差

圖2 實驗設(shè)備

圖3 水膜拉升高度與傳感器電壓值之間的關(guān)系

圖4 5個吊環(huán)拉升水膜的高度與電壓值的關(guān)系

對于標準環(huán)，可以發(fā)現(xiàn)，采用電壓最大值計算得到的表面張力系數(shù)α1=87.2×10-3N/m，與標準值相對偏差為19.4%. 而采用水膜斷裂瞬間值計算得到的α2=72.0×10-3N/m，相對偏差僅為-1.4%，兩者差別非常大. 電壓最大值計算得到的水的表面張力系數(shù)，比采用水膜斷裂瞬間值計算得到的數(shù)值大很多，即α1>α2. 對于其他不同周長的圓環(huán)也都有相同的結(jié)論. 即如前面理論分析所述，是由于(m膜-m1′)g所致，這里得到了實驗驗證. 所以，正如多數(shù)文獻中提到的，采用斷裂點計算得到的α2更加接近標準值，誤差更小[14-18].

2.2 基于U斷前的表面張力系數(shù)修正

實驗發(fā)現(xiàn)，采用斷裂點計算的表面張力系數(shù)α2，隨著吊環(huán)周長的減小而不斷減小.對于126.1 mm周長的吊環(huán)，得到α2=76.7×10-3N/m，對于57.4 mm周長的吊環(huán)，α2=53.3×10-3N/m，表面張力系數(shù)減小了約1/3.表面張力系數(shù)的測量值是否與吊環(huán)尺寸有關(guān)？筆者因此對實驗測量進行更為系統(tǒng)的研究[7-8].

圖5 水膜直徑變小示意圖

表2 環(huán)直徑與水膜斷裂處直徑的比較以及修正后的表面張力系數(shù)

(a)水膜斷裂照片

2.3 基于Umax表面張力系數(shù)的修正

(6)

計算，由表3可以看出，除了最小吊環(huán)，相對誤差仍為-4.5%外，其他自制吊環(huán)測量的表面張力系數(shù)的相對誤差都小于4.0%.

表3 考慮水膜重力用最大電壓處修正后的表面張力系數(shù)

圖7 最大電壓處水膜受力分析圖

3 結(jié)束語

本文討論了表面張力系數(shù)測定中的液膜斷裂點問題. 通過完整的液膜拉升過程的受力分析和實驗驗證，找到誤差來源. 對電壓最大值點，必須考慮液膜自身重力，由此得到的表面張力系數(shù)修正值與理論值的誤差較小. 對于液膜斷裂的瞬間值，則必須考慮液膜斷裂處的直徑收縮，從而對表面張力系數(shù)也要進行修正. 雖然此時液膜受力的物理圖像清晰，但是由于實際操作中，斷裂點的電壓讀數(shù)非常困難，所得結(jié)果誤差較大.