閆 磊，王 萌，朱燁繁

(南陽理工學(xué)院 a.智能制造學(xué)院；b.數(shù)理學(xué)院，河南南陽 473003)

0 引言

當(dāng)下，高性能數(shù)控加工技術(shù)成為現(xiàn)代機(jī)械加工領(lǐng)域的一個重要部分。多軸數(shù)控機(jī)床，特別是五軸機(jī)床是一種典型的高性能數(shù)控機(jī)床，廣泛用于各種零件的加工，尤其可以滿足航空航天等領(lǐng)域高效率和高精度的加工要求[1]。

由于機(jī)床加工和裝配過程中不可避免的幾何誤差，在加工過程中會出現(xiàn)運(yùn)動誤差，最終影響工件的加工精度[2]。如何提高多軸加床的加工精度，特別是在長時間工作過程中保持較高加工精度，是一個關(guān)鍵問題[3-4]。誤差補(bǔ)償技術(shù)是提高機(jī)床加工精度的一個有效的方法。然而，機(jī)床誤差補(bǔ)償?shù)那疤崾菣C(jī)床誤差的測量[5-6]。

相比于三軸機(jī)床，五軸機(jī)床在三個直線軸的基礎(chǔ)上增加了兩個旋轉(zhuǎn)軸。搖籃式AC回轉(zhuǎn)工作臺五軸加工中心是在直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，工件可以實(shí)現(xiàn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)，繞X軸旋轉(zhuǎn)。兩個旋轉(zhuǎn)軸垂直相交，旋轉(zhuǎn)軸在X軸，Z軸兩個方向上的偏差值對于五軸加工中心，特別是具有五軸聯(lián)動功能的加工中心有著至關(guān)重要的作用。薛佟等[7]使用千分表對搖籃式五軸加工中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)軸零位和旋轉(zhuǎn)軸偏移進(jìn)行測量；李亞東等[8]對搖籃式五軸加工中心機(jī)床進(jìn)行精度標(biāo)定；唐清春等[9]提出一種RTCP插補(bǔ)算法來減小非線性誤差從而提高五軸加工中心加工精度。然而，傳統(tǒng)的測量方法效率低、精度低，無法滿足日新月異的高檔數(shù)控機(jī)床精度要求。

激光跟蹤儀是一種大型坐標(biāo)測量儀，具有操作簡單、測量精度高、效率高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于船舶、汽車、機(jī)床等領(lǐng)域[10-11]。余蘇等[12]使用激光跟蹤儀對重型裝備進(jìn)行在線測量；Wang J等[13]使用激光跟蹤儀實(shí)現(xiàn)了多軸數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸與直線軸相對位置關(guān)系的識別；Wang J等[14]提出一種使用激光跟蹤儀對多軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行全向誤差檢測；李金川[15]基于激光跟蹤儀實(shí)現(xiàn)了數(shù)控機(jī)床幾何誤差的快速高精度檢測。

但是，以往的研究和技術(shù)沒有使用激光跟蹤儀實(shí)現(xiàn)對AC搖籃式五軸加工中心回轉(zhuǎn)半徑的測量。為了解決對五軸加工中心回轉(zhuǎn)半徑的測量，提出一種基于激光跟蹤儀的測量方案，并在此基礎(chǔ)上提出了測量精度提升方法，對于提高五軸加工中心旋轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)半徑測量精度和效率具有積極意義。

1 測量原理

本文使用激光跟蹤儀測量五軸加工中心A軸回轉(zhuǎn)半徑，測量原理如圖1所示。

圖1 試驗(yàn)平臺及原理示意圖

測量步驟：

(1) 確定工作臺平面方程：加工中心工作臺A軸回零，使用激光跟蹤儀配合靶標(biāo)，在工作臺平面選擇若干個點(diǎn)，記錄目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)值，根據(jù)坐標(biāo)值擬合平面方程。

(2) 確定A軸回轉(zhuǎn)軸方程:將激光跟蹤儀靶標(biāo)固定在工作臺任意位置，旋轉(zhuǎn)A軸，并在不同位置記錄靶標(biāo)坐標(biāo)值，根據(jù)坐標(biāo)值擬合圓方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑；將激光跟蹤儀靶標(biāo)固定在工作臺另一位置，重復(fù)上述步驟，得到若干個圓心坐標(biāo)和半徑值；根據(jù)得到的若干個圓心坐標(biāo)值，擬合A軸直線方程。

(3) 確定回轉(zhuǎn)半徑:根據(jù)第(1)步和第(2)步得到的工作臺平面方程和A軸回轉(zhuǎn)軸直線方程，利用空間直線到平面的距離公式計(jì)算回轉(zhuǎn)半徑。

1.1 工作臺平面方程

根據(jù)三點(diǎn)確定一個平面的基本幾何原理，在A軸回零的基礎(chǔ)上，使用激光跟蹤儀結(jié)合靶標(biāo)測量工作臺平面上任意三點(diǎn)坐標(biāo)，記為P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)、P3(x3,y3,z3)并設(shè)平面方程為:

Ax+By+Cz+D=0

(1)

可得：

(2)

其中，

D=-(A·x1+B·y1+C·z1)

(3)

由此，根據(jù)工作臺上三個激光跟蹤儀靶標(biāo)位置坐標(biāo)可以得到工作臺平面方程，如公式(1)所示。

1.2 回轉(zhuǎn)軸直線方程

將激光跟蹤儀靶標(biāo)固定在工作臺任意位置，轉(zhuǎn)動工作臺A軸，分別記錄三個不同位置坐標(biāo)值，記為：PA1(xA1,yA1,zA1)PA2(xA2,yA2,zA2)PA3(xA3,yA3,zA3)，設(shè)圓心坐標(biāo)為：CA0=(xA0,yA0,zA0)，并設(shè)半徑為rA。由PA1,PA2,PA3共面，得到如下方程：

(4)

得到共面方程為：

AAx+BAy+CAz+DA=0

(5)

其中，AA,BA,CA,DA為共面方程的參數(shù)，可根據(jù)1.1節(jié)工作平面方程參數(shù)確定方法求得。由三點(diǎn)到空間圓心坐標(biāo)的距離相等約束得到：

(6)

式(6)消去rA并結(jié)合共面方程，可以得到圓心空間坐標(biāo)線性代數(shù)方程組：

(7)

其中,

解得圓心坐標(biāo)為：

(8)

同樣的方法，在工作平面另一點(diǎn)，固定靶標(biāo)，轉(zhuǎn)動A軸，記錄三個點(diǎn)PB1(xB1,yB1,zB1)、PB2(xB2,yB2,zB2)PB3(xB3,yB3,zB3)，并設(shè)圓心坐標(biāo)為CB0=(xB0,yB0,zB0)，可解得圓心坐標(biāo)為：

上式中所有參數(shù)確定方法與前述方法一致，不再贅述。由圓心CA0,CB0可得A軸回轉(zhuǎn)軸的直線方程為：

(9)

1.3 回轉(zhuǎn)半徑

由AC軸轉(zhuǎn)臺幾何關(guān)系知，當(dāng)工作臺繞A軸轉(zhuǎn)動時，A軸回轉(zhuǎn)軸始終平行于工作臺平面，則回轉(zhuǎn)半徑即為A軸回轉(zhuǎn)軸到工作臺平面的距離。理論上，假設(shè)建立在所形成的回轉(zhuǎn)圓所在平面與工作臺平面垂直，利用第一個回轉(zhuǎn)圓到工作臺平面的距離也可以表示回轉(zhuǎn)半徑。實(shí)際上，如果能盡可能多地形成多個回轉(zhuǎn)圓，使用回轉(zhuǎn)圓圓心擬合回轉(zhuǎn)軸直線，弱化因回轉(zhuǎn)圓平面與工作臺平面不垂直引起的誤差，但是同時增加工作量。因此，本文在權(quán)衡精度與測量方法的工作量后，選擇工作臺兩端形成兩個回轉(zhuǎn)圓來擬合回轉(zhuǎn)軸直線方程。根據(jù)工作臺平面方程和回轉(zhuǎn)軸直線方程，回轉(zhuǎn)半徑r表示為：

(10)

其中，(x1,y1,z1)為工作臺平面上任意一點(diǎn)，(x2,y2,z2)為A軸回轉(zhuǎn)軸直線上任意一點(diǎn)。

1.4 誤差分析與精度提高方法

由式(10)知，回轉(zhuǎn)半徑由回轉(zhuǎn)軸直線方程和工作臺平面方程參數(shù)確定，上述方程參數(shù)的擬合精度與擬合這些方程的點(diǎn)的個數(shù)有關(guān)。在回轉(zhuǎn)半徑公式理論推導(dǎo)過程中，工作臺平面方程、回轉(zhuǎn)圓心的確定僅僅使用三個點(diǎn)來確定方程。另外，由于激光跟蹤儀存在測量誤差，為了提高測量方法的精度，在確定平面方程以及回轉(zhuǎn)圓心坐標(biāo)的時候，增加采樣點(diǎn)個數(shù)，提高擬合精度，以此來提高測量精度。在此基礎(chǔ)上，提出一種基于奇異值分解和最小二乘優(yōu)化圓心擬合方法來提高擬合精度。具體做法如下所述：

假設(shè)有n個采樣點(diǎn)P0,...,Pn-1,其中Pi=(xi,yi,zi)T∈R3,為了得到一個盡可能接近這些點(diǎn)的圓，參數(shù)方程表示為：

P(t)=rcos(t)u+rsin(t)(n×u)+C,0≤t≤2π

(11)

其中，r為半徑，C為圓心坐標(biāo)，n為單位法向量，u垂直于n。用天頂角φ和方位角θ指定圓在空間中的方向，得到：

(12)

擬合式子(11)表示的圓，按以下步驟進(jìn)行：

(1)使用SVD(奇異值分解)找到與均值中心點(diǎn)集最匹配的平面。

(13)

使用奇異值分解將矩陣A分解為A=UΣVT,其中U，V為酉矩陣，Σ為對角陣，包含奇異值σ1≥σ2≥σ3≥0。由此可得：

(14)

其中，引入b=VTn。由于σ3為最小的奇異值，因此取b=(0,0,1)T可以最小化公式(14)。并且可以得到單位法向量n。

(15)

(2)在新的2D坐標(biāo)中將均心點(diǎn)投影到擬合平面上。

使用羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式將三維點(diǎn)映射到一個新的擬合平面，選擇旋轉(zhuǎn)軸K為平面法向量和新的擬合平面發(fā)向量之間的矢量積。因此，K=n×(0,0,1)T。映射到新平面的點(diǎn)的坐標(biāo)為

Prot=Pcos(θ)+(k×P)sin(θ)+
k(1-cos(θ))

(16)

(3)使用最小二乘法在2D坐標(biāo)中擬合一個圓并獲得圓的中心和半徑。

定義二維平面半徑為r，圓心為(xc,yc)T的圓方程為：

(17)

其中，引入c=(c0,c1,c2)T作為未知參數(shù)。帶入所有的二維平面輸入點(diǎn)，得到如下線性方程：

Ac=b

(17)

其中，

(4)將圓心轉(zhuǎn)換回3D坐標(biāo)，擬合圓由其中心，半徑和法線向量指定。

根據(jù)羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式，將圓心坐標(biāo)映射到三維空間，不再贅述。

2 試驗(yàn)平臺及測量方法

試驗(yàn)需要的設(shè)備有：EUMASPINNER DU5-650五軸加工中心，萊卡AT930激光跟蹤儀，靶標(biāo)，計(jì)算機(jī)。見圖2。

圖2 試驗(yàn)設(shè)備及現(xiàn)場

試驗(yàn)實(shí)施步驟：

固定并校準(zhǔn)激光跟蹤儀，將激光跟蹤儀靶標(biāo)分別按照測量工作臺平面、測量回轉(zhuǎn)軸直線要求安裝在五軸加工中心工作臺上。分別進(jìn)行以下兩組試驗(yàn)：

(1) 將激光跟蹤儀靶標(biāo)安裝在工作臺平面，加工中心A軸、C軸回零；按照5°間隔轉(zhuǎn)動C軸，轉(zhuǎn)動360°，每個位置記錄一次靶標(biāo)位置，共計(jì)72組。

(2) 將激光跟蹤儀靶標(biāo)安裝在工作臺平面，加工中心A軸、C軸回零；按照1°間隔轉(zhuǎn)動A軸，轉(zhuǎn)動120°，每個位置記錄一次靶標(biāo)位置，共計(jì)120組。然后將激光跟蹤儀靶標(biāo)安裝在工作臺另一任意位置，加工中心A軸回零；按照1°間隔轉(zhuǎn)動A軸，轉(zhuǎn)動120°。每個位置記錄一次靶標(biāo)位置，共計(jì)120組。

3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

根據(jù)步驟(1)、(2)的操作方法，分別得到用于擬合工作臺平面、回轉(zhuǎn)圓1和回轉(zhuǎn)圓2的數(shù)據(jù)，見圖3。坐標(biāo)點(diǎn)及擬合結(jié)果見圖4。回轉(zhuǎn)軸擬合結(jié)果見圖5。

圖3 激光跟蹤儀靶球原始坐標(biāo)點(diǎn)

(a)坐標(biāo)點(diǎn) (b) 工作臺平面擬合結(jié)果

(c)回到圓1擬合結(jié)果 (d)回轉(zhuǎn)圓2擬合結(jié)果 圖4 坐標(biāo)點(diǎn)及擬合結(jié)果

圖5 回轉(zhuǎn)軸擬合結(jié)果

3.1 工作臺平面方程擬合試驗(yàn)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，考慮靶球半徑補(bǔ)償之后，根據(jù)測量原理工作臺平面方程擬合方法，擬合結(jié)果見表1。

得到工作臺平面方程為：

0.001906x-0.003333y+0.999993z+292.59=0

(19)

3.2 回轉(zhuǎn)軸直線方程擬合試驗(yàn)

步驟(2)得到兩組靶球坐標(biāo)，分別用于擬合第一個回轉(zhuǎn)圓和第二個回轉(zhuǎn)圓。考慮靶球半徑補(bǔ)償之后，根據(jù)1.4節(jié)空間圓擬合方法，兩個回轉(zhuǎn)圓的擬合結(jié)果見表2。

由此，擬合出來的兩個圓的圓心坐標(biāo)經(jīng)過的直線，也就是回轉(zhuǎn)軸直線方程為：

(20)

表1 工作臺平面擬合結(jié)果

表2 回轉(zhuǎn)圓擬合結(jié)果

3.3 回轉(zhuǎn)半徑計(jì)算結(jié)果及分析

步驟(1)和步驟(2)分別得到工作臺平面的擬合方程和回轉(zhuǎn)軸直線方程，見公式(19)和公式(20)。1.3節(jié)給出了回轉(zhuǎn)半徑的計(jì)算公式，見公式(10)。根據(jù)公式(10)，任意選擇工作平面上一點(diǎn)和回轉(zhuǎn)軸直線上一點(diǎn)，得到回轉(zhuǎn)軸半徑為49.994 mm。

利用傳統(tǒng)的基于機(jī)械式百分表的測量方法，對試驗(yàn)用五軸機(jī)床進(jìn)行回轉(zhuǎn)半徑測量，并與提出的方法進(jìn)行對比驗(yàn)證。機(jī)械式百分表測量結(jié)果為49.843 mm，與本方法測量結(jié)果有0.151 mm的誤差。分別用兩次試驗(yàn)結(jié)果補(bǔ)償五軸加工中心回轉(zhuǎn)半徑，并對加工的標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行測量發(fā)現(xiàn)，本文提出的方法測量結(jié)果更加精確，且步驟簡單。

4 結(jié)論

精確的搖籃式五軸加工中心回轉(zhuǎn)半徑對于五軸加工中心實(shí)現(xiàn)精確的五軸聯(lián)動加工具有重要意義。本文基于激光跟蹤儀對AC搖籃式五軸加工中心A軸回轉(zhuǎn)半徑進(jìn)行測量。由于激光跟蹤儀的使用，簡化了傳統(tǒng)使用千分表測量回轉(zhuǎn)半徑的方法，提高了測量精度，解決了困擾回轉(zhuǎn)半徑測量的技術(shù)難題。在測量原理分析的基礎(chǔ)上，給出了提高測量精度的方法及數(shù)據(jù)擬合算法。基于激光跟蹤儀的搖籃式五軸加工中心回轉(zhuǎn)半徑測量方法作為一種全新的數(shù)字化測量方法值得推廣應(yīng)用。