石雪飛, 王海燕

(東南大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,江蘇南京211189)

1 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展,商品種類和數(shù)量越來越多.面對(duì)市場(chǎng)上種類繁多的產(chǎn)品,百貨商店,超市等零售商由于資金和庫存容量的限制,很難購(gòu)進(jìn)所有品牌和型號(hào)的產(chǎn)品,需要選擇收益高的產(chǎn)品銷售.在選擇產(chǎn)品時(shí),有的產(chǎn)品銷量好,但體積大,利潤(rùn)低.有的產(chǎn)品銷量不是很好,但利潤(rùn)卻很高.在庫存容量限制下如何做出最優(yōu)的選擇?實(shí)際上,很多零售商選購(gòu)產(chǎn)品時(shí)更多的是依靠主觀上的經(jīng)驗(yàn).

在學(xué)術(shù)領(lǐng)域,學(xué)者們更熱衷于研究供應(yīng)商的選擇問題[1?3],僅有少量文獻(xiàn)研究產(chǎn)品的選擇問題[4],其中主要以普通產(chǎn)品和升級(jí)產(chǎn)品的選擇決策[5,6]為主.供應(yīng)商選擇問題則是制造商或零售商們考慮產(chǎn)品質(zhì)量,供貨能力,供應(yīng)商信譽(yù),采購(gòu)成本和售后服務(wù)等因素,從而選擇出最有利的供應(yīng)商.大部分供應(yīng)商選擇的定量分析的文獻(xiàn)中,以最小化總成本為目標(biāo)[7?9],而選擇產(chǎn)品時(shí),零售商們通常優(yōu)先選擇收益高的產(chǎn)品.選對(duì)了供應(yīng)商不意味著選對(duì)了產(chǎn)品.不同的產(chǎn)品售價(jià)和成本往往都不一樣,因此選擇成本小的產(chǎn)品可能不是最優(yōu)的選擇,故供應(yīng)商選擇的研究并不適用于產(chǎn)品的選擇問題.

生產(chǎn)企業(yè)常用最小訂貨量來確定最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃[10,11],許多供應(yīng)商要求采購(gòu)企業(yè)的訂單至少要達(dá)到其最小訂貨量.但個(gè)性化的消費(fèi)使得消費(fèi)者對(duì)單一產(chǎn)品的依賴程度越來越低,導(dǎo)致了越來越多的小批量訂貨.規(guī)模小的零售商最優(yōu)訂貨量可能達(dá)不到供應(yīng)商的最小訂貨量要求,按照最小訂貨量訂購(gòu)產(chǎn)品會(huì)增加零售商的庫存成本.故本文將最小訂貨量作為產(chǎn)品選擇模型的一個(gè)約束條件.實(shí)際上,庫存容量限制和最小訂貨量限制是庫存補(bǔ)貨決策模型中很普遍的約束條件,如文獻(xiàn)[12–15]等.

最小訂貨量的限制以及小批量采購(gòu)的高成本導(dǎo)致了越來越多的聯(lián)合采購(gòu).聯(lián)合采購(gòu)?fù)ǔＪ菍⑿∨康挠唵涡纬梢粋€(gè)大訂單進(jìn)行采購(gòu),這樣能夠形成規(guī)模經(jīng)濟(jì)效應(yīng),減小采購(gòu)成本[16].顯然聯(lián)合采購(gòu)能夠更容易滿足供應(yīng)商的最小訂貨量的要求.然而,采購(gòu)周期的協(xié)調(diào)是聯(lián)合采購(gòu)的一個(gè)困難.單獨(dú)采購(gòu)時(shí)一旦發(fā)現(xiàn)庫存水平低于訂貨點(diǎn)就可以立即采購(gòu).聯(lián)合采購(gòu)時(shí)需要合作成員的需求量積累到一定的量或者等到約定的采購(gòu)時(shí)間才會(huì)進(jìn)行采購(gòu).采購(gòu)之前有的成員庫存提前銷售完,在等待采購(gòu)的過程中造成缺貨損失.若聯(lián)盟成員都愿意共享庫存那么就會(huì)降低缺貨損失.并且?guī)齑婀蚕砟軌蚪档蛶齑娉杀?減少運(yùn)營(yíng)成本,改善服務(wù)水平[17].因此本文考慮共享庫存的情況下進(jìn)行聯(lián)合采購(gòu).

聯(lián)合采購(gòu)問題的另外一個(gè)難點(diǎn)是分配問題,如何分?jǐn)傎M(fèi)用或分配利潤(rùn)是聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟達(dá)成的的關(guān)鍵.不公平的分配機(jī)制會(huì)導(dǎo)致聯(lián)盟成員退出合作聯(lián)盟[18].許多學(xué)者致力于研究聯(lián)合采購(gòu)的成本/利潤(rùn)分?jǐn)倷C(jī)制,Schotanus 等[19]調(diào)查發(fā)現(xiàn)87%的合作聯(lián)盟采用等價(jià)法分配收益,而13%的聯(lián)盟采用利于規(guī)模大的成員的分配方案.馮海榮等[20]研究了非瞬時(shí)補(bǔ)貨情況下易腐品聯(lián)合采購(gòu)的分配問題,并給出了一個(gè)核分配方案.肖旦等[21]研究了產(chǎn)品中含有殘次品情況下的聯(lián)合采購(gòu)模型.Heuvel 等[22]針對(duì)零售商多階段聯(lián)合補(bǔ)貨問題,建立了ELS(Eonomic lot sizing)博弈模型并證明了其核為非空的.可以看到這些文獻(xiàn)都應(yīng)用合作博弈理論尋找核分配方案.這是因?yàn)楹朔峙浞桨改軌虼龠M(jìn)聯(lián)合采購(gòu)成員形成穩(wěn)定的合作聯(lián)盟,它能保證參與合作的成員收益最大化.但核分配方案并不總是存在的或容易找到的,不同合作環(huán)境下的核分配方案或接近核分配方案的近似核分配方案需要學(xué)者們?nèi)ヌ剿?

零售商選擇供應(yīng)商時(shí)通常是選擇信用最好成本最低的供應(yīng)商,而選擇產(chǎn)品時(shí)則會(huì)選擇利潤(rùn)最高的產(chǎn)品.以前的文獻(xiàn)主要以供應(yīng)商選擇為主,僅有少量文獻(xiàn)研究?jī)煞N產(chǎn)品的選擇,而目前并沒有文獻(xiàn)研究庫存容量和最小訂貨量約束下多產(chǎn)品的選擇和采購(gòu)決策.故本文構(gòu)建了庫存容量和最小訂貨量約束下的單獨(dú)采購(gòu)時(shí)產(chǎn)品選擇和采購(gòu)量決策模型.為進(jìn)一步幫助零售商提高利潤(rùn),建立了庫存共享?xiàng)l件下的聯(lián)合采購(gòu)模型.分別設(shè)計(jì)了多項(xiàng)式時(shí)間算法來求解這兩個(gè)模型.分配是合作的關(guān)鍵,因此,本文基于合作博弈利理論設(shè)計(jì)了利潤(rùn)分配方案并證明了在聯(lián)盟庫存容量充足的情況下采用的分配方案是核分配方案而在庫存容量不足時(shí)采用的分配方案是滿足個(gè)人理性的并且能夠激勵(lì)零售商共享其真實(shí)的庫存容量信息的有效分配方案.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明聯(lián)合采購(gòu)能夠幫助合作聯(lián)盟提高26%的利潤(rùn).

2 單獨(dú)采購(gòu)決策模型

假設(shè):

1)零售商位于同一區(qū)域,不同零售商都以供應(yīng)商建議的統(tǒng)一零售價(jià)銷售產(chǎn)品.

2)采購(gòu)是瞬間完成的,沒有等待時(shí)間,即交貨期為0.

3)供應(yīng)商已確定,采購(gòu)成本參數(shù)已知.

本節(jié)研究零售商單獨(dú)采購(gòu)時(shí)零售商決策是否選擇采購(gòu)產(chǎn)品以及產(chǎn)品的采購(gòu)量.各產(chǎn)品的采購(gòu)是獨(dú)自完成的,采用的是連續(xù)采購(gòu)策略,即當(dāng)庫存不夠時(shí)立即補(bǔ)貨.下面是本文主要參數(shù)和假設(shè): 某一區(qū)域有m個(gè)零售商,市場(chǎng)上有n個(gè)不同品牌的產(chǎn)品,由不同的供應(yīng)商供應(yīng),記M={1,2,...,m},N={1,2,...,n}.供應(yīng)商要求產(chǎn)品i,i ∈N需要達(dá)到的最小訂貨量記為產(chǎn)品i的體積為vi,產(chǎn)品i的固定采購(gòu)費(fèi)用為ki,采購(gòu)價(jià)格為ci,零售價(jià)為pi.零售商j,j ∈M銷售產(chǎn)品i,i ∈N單位時(shí)間的需求到達(dá)率為λji,單位時(shí)間單位體積的庫存成本為h,零售商j的最大庫存容量為Vj.

零售商采用連續(xù)庫存檢查策略, 當(dāng)產(chǎn)品i的庫存為0 時(shí)立即采購(gòu)qji.產(chǎn)品i產(chǎn)生的總成本包括庫存成本和訂貨成本.零售商j的產(chǎn)品i的期望采購(gòu)周期為qji/λji, 可得到其在一個(gè)周期內(nèi)總成本為若零售商以最大化長(zhǎng)期平均期望利潤(rùn)為目標(biāo),那么零售商j的優(yōu)化模型為

其中qji,xji為決策變量,qji是產(chǎn)品i的每個(gè)周期的采購(gòu)量,xji=1 表示采購(gòu)產(chǎn)品i,xji=0 則表示不采購(gòu)采購(gòu)產(chǎn)品i,式(2)為最小訂貨量約束,式(3)為庫存容量約束.

考慮模型(Pj)中的一個(gè)特殊情況,即

在此情況下只要產(chǎn)品i被采購(gòu),其最優(yōu)采購(gòu)量為是一個(gè)確定值,只需決策xji.而此時(shí)通過模型(Pj)求解決策變量xji為一個(gè)經(jīng)典的二維背包問題,其中λjivi為物品體積,是為物品單位體積的價(jià)值,而Vj為背包的容量并且背包容量是不足的.

0-1 背包問題是NP–難的,目前仍然沒有證明存在多項(xiàng)式時(shí)間算法求得該問題的最優(yōu)解.模型(Pj)中的一個(gè)特殊情況時(shí)已經(jīng)是一個(gè)NP–難問題,為此,設(shè)計(jì)了多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)可解的啟發(fā)式算法來求解一般情境下的模型(Pj),證明在一定條件下可求得最優(yōu)解.

求解模型(Pj)的算法(記作算法1)步驟如下:

步驟1輸入?yún)?shù)值λji,pi,qmini ,ki,ci,h,vi,Vj,i ∈N;

步驟2

步驟3

步驟4找出{fl}l∈S中最大的值

步驟5如果fi′ >0 且

步驟6將S中i′刪除和更新剩余的庫存容量即

步驟7如果S=?或Vj=0 或fi≤0,i ∈S,那么終止算法;否則回到步驟2;

步驟8輸出結(jié)果

定理1算法1 是多項(xiàng)式時(shí)間算法,其時(shí)間復(fù)雜度為O(n2),并且當(dāng)下列情況之一成立時(shí)算法1 得到的解為模型(Pj)的最優(yōu)解:

1)庫存容量充足.

3)存在常數(shù)b,有λjivi=b,i ∈N.

證明首先證明算法1 是多項(xiàng)式時(shí)間算法.在算法1 中, 對(duì)于每個(gè)零售商, 找出第一個(gè)購(gòu)進(jìn)的產(chǎn)品需要計(jì)算n次qji和fi, 找出第二個(gè)購(gòu)進(jìn)的產(chǎn)品需要計(jì)算n ?1 次, 以此類推,總共要計(jì)算不多于n+(n ?1)+···+1 =n(n ?1)/2 次,而qji,fi的計(jì)算量是一個(gè)常數(shù),因此算法1 的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(n2).

然后證明三種情況下,算法1 的解是模型(Pj)的最優(yōu)解.

情況1庫存容量充足.在此情況下式(3)的約束可以忽略掉,然后模型(Pj)可以分解成如下n個(gè)子模型

情況2存在常數(shù)a使得(piqji ?(ki+ciqji+(2λji)))(qjivi)?1=a,其中λji(pi ?(ki+ciqji+(2λji))是產(chǎn)品i的總利潤(rùn),[piqji ?(ki+ciqji+(2λji))](qjivi)?1是產(chǎn)品i單位體積的價(jià)值.

那么這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)變成一維背包問題,λjivi是產(chǎn)品體積,Vj是背包容量,單位體積的產(chǎn)品價(jià)值是一樣的.一種產(chǎn)品可以看成一個(gè)物品,每個(gè)物品的單位體積的價(jià)值是一樣的,物品i的總價(jià)值為fi=λjivia,其中λjivi為物品的體積.那么背包里物品所占空間越大,背包里的價(jià)值越高.而算法1 是先選擇價(jià)值高的物品,也就是陸續(xù)將物品按體積從大到小裝進(jìn)背包里,這樣背包裝的就是價(jià)值最高的.因此,算法1 得到的是最優(yōu)解.

情況3存在常數(shù)b,有λjivi=b,i ∈N.這種情況下同樣把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成一維背包問題,其中物品的體積為λjivi,物品的價(jià)值為fi.而物品的體積λjivi都是一樣的,對(duì)于固定的背包容量Vj,最優(yōu)的裝包方案是先裝價(jià)值高的物品.fi計(jì)算的正是產(chǎn)品i的總利潤(rùn)即物品的價(jià)值,fi越大,物品的價(jià)值就越高,因此算法1 的解是最優(yōu)解. 證畢.

定理1 證明了算法1 是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間算法,這也意味著當(dāng)產(chǎn)品種類較多的時(shí)候,算法1 也能夠快速求解模型(Pj),但算法1 并不能保證得到的解是模型(Pj)的最優(yōu)解,只有滿足定理1 中三個(gè)條件的其中一個(gè)才是最優(yōu)解.

3 聯(lián)合采購(gòu)決策模型

本節(jié)的目的是求出參與聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟所有成員的采購(gòu)量和庫存目標(biāo).假設(shè)零售商愿意共享需求和庫存容量信息,存在一個(gè)可信賴的零售商或者第三方來組織聯(lián)合采購(gòu),組織者需要決策聯(lián)合采購(gòu)的補(bǔ)貨量,并且聯(lián)合采購(gòu)是在單獨(dú)采購(gòu)決策之后的,即參與聯(lián)合采購(gòu)的零售商的采購(gòu)的產(chǎn)品種類是確定的,采購(gòu)量則是需要聯(lián)合采購(gòu)決策的.通過第2 節(jié)的模型(Pj),零售商們都確定了自己要采購(gòu)的產(chǎn)品,不妨假設(shè)模型(Pj)的最優(yōu)解為若所有參與聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟的零售商共享采購(gòu)周期,即聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟的零售商采購(gòu)?fù)环N產(chǎn)品的周期是一樣的.下面建立采購(gòu)聯(lián)盟的長(zhǎng)期平均利潤(rùn)函數(shù)來確定聯(lián)合采購(gòu)時(shí)產(chǎn)品的采購(gòu)量.零售商j的產(chǎn)品i期望采購(gòu)量記為為產(chǎn)品i的總采購(gòu)量.由于采購(gòu)周期一樣,所以也有記合作聯(lián)盟的產(chǎn)品i的總需求到達(dá)率為由于零售商們共享庫存,且交貨期為0.因此當(dāng)所有零售商的產(chǎn)品i的庫存為0 時(shí),聯(lián)盟向供應(yīng)商發(fā)出一個(gè)聯(lián)合采購(gòu)訂單量為Qi的訂單.那么產(chǎn)品i的期望采購(gòu)周期為由集合M中成員形成聯(lián)盟的長(zhǎng)期平均總利潤(rùn)模型為

式(5)為最大化聯(lián)盟的單位時(shí)間內(nèi)的總利潤(rùn),決策變量為零售商的采購(gòu)量Qi,式(6)為供應(yīng)商最小訂貨量的約束,式(7)保證了零售商有足夠的庫存容量接收采購(gòu)量,式(7)中的右邊是合作聯(lián)盟共享庫存后的總庫容量.

求解模型(CPM)的算法(記作算法2)步驟如下:

步驟1輸入?yún)?shù)λji,pi,,ki,ci,h,vi,Vj,,j ∈M,i ∈N;

步驟2計(jì)算下面的參數(shù)值,

步驟3如果那么進(jìn)入步驟8,否則進(jìn)入步驟4;

步驟4?i ∈S,如果

步驟5找出{fl}l∈S中最大的值記為fi′,如果fi′ >0,那么

步驟6將S中i′刪除和更新剩余的庫存容量即S ←S{i′},V ←V ?

步驟7如果S=?或V=0 或{fi≤0|i ∈S}進(jìn)入步驟12,否則回到步驟4;

步驟8對(duì)于Xi= 1 且如果S′∪{i},否則更新聯(lián)盟庫存容量V,即V ←V ?若不滿足條件Xi=1 且=0,i ∈N,則進(jìn)入步驟9;

步驟9

步驟10若fi′為{fl}l∈S′中最大的值,將S′中i′刪除和更新剩余的庫存容量即S′ ←S′{i′},V ←V ?Qi′vi′;

步驟11如果S′=?或V=0,則進(jìn)入下一步,否則回到步驟9;

步驟12

步驟13如果Qji > Vj/vi, 那么否則Vj ←Vj ?Qjivi,i ∈M,j ∈N;

步驟14從{Vj}j∈M中找出最大的值找出中最大的值如果那么否則

步驟15若q′i=0,i ∈N,則結(jié)束算法2,否則回到步驟13;

步驟16輸出結(jié)果

當(dāng)庫存容量不足時(shí),首先保證每種產(chǎn)品的采購(gòu)量不低于任何一個(gè)零售商單獨(dú)采購(gòu)時(shí)的采購(gòu)量,然后將庫存容量?jī)?yōu)先分配給利潤(rùn)高的產(chǎn)品.確定合作聯(lián)盟的總采購(gòu)量之后,將聯(lián)盟的總采購(gòu)量分配給聯(lián)盟成員,也就是從算法2 中的步驟11 開始,其計(jì)算量為O(nm)+O(nm)+O(n2).因此,算法2 也是多項(xiàng)式時(shí)間算法.注意到并不是零售商j每個(gè)周期對(duì)產(chǎn)品i的需求量,而是每個(gè)周期零售商j對(duì)產(chǎn)品i的目標(biāo)庫存量.零售商j對(duì)產(chǎn)品i的需求量為但由于零售商j的庫存空間可能不夠,需要存儲(chǔ)在其他零售商的庫存容量里,從而可能導(dǎo)致

4 利潤(rùn)分配方案設(shè)計(jì)

信息共享是合作聯(lián)盟合作的基礎(chǔ),然而一個(gè)能讓聯(lián)盟所有成員接受的分配方案是合作的關(guān)鍵.公平合理的分配方案能夠促進(jìn)采購(gòu)聯(lián)盟長(zhǎng)期穩(wěn)定的合作,而合作博弈理論是研究合作聯(lián)盟運(yùn)作策略和穩(wěn)定性的理論,因此本節(jié)將基于合作博弈理論設(shè)計(jì)利潤(rùn)分?jǐn)偡桨?

將由集合M中的成員參與合作的博弈定義為(M,ν),其中Π: 2M→R,ν(?) = 0.同時(shí)滿足下面條件的利潤(rùn)分配方案為核分配方案或者稱這個(gè)分配方案是在聯(lián)合采購(gòu)博弈的核中的,即

其中是合作聯(lián)盟M分配給成員j的利潤(rùn).

滿足1)的分配方案稱為有效分配方案.把所有成員都參與合作形成的合作聯(lián)盟稱為大聯(lián)盟.R為M的子集,子聯(lián)盟R所產(chǎn)生的利潤(rùn)是不大于R中所有零售商從大聯(lián)盟的所獲的利潤(rùn)之和的.故從利潤(rùn)的角度上考慮,子聯(lián)盟R若是理性的集體則不會(huì)脫離大聯(lián)盟來形成小聯(lián)盟R的,因?yàn)樽勇?lián)盟R無法得到更高的利潤(rùn).同時(shí)可以看到R={j}時(shí),≥ν({j}),這意味著合作之后零售商分配到的利潤(rùn)不會(huì)比單獨(dú)采購(gòu)所產(chǎn)生的利潤(rùn)低.故從利潤(rùn)的角度上考慮,對(duì)于理性的零售商而言是不會(huì)采取單獨(dú)采購(gòu)的.1)和2)表明核分配方案是滿足集體理性和個(gè)體理性的有效分配方案,它能保證任何子聯(lián)盟離開大聯(lián)盟都不能獲得更大收益.因此,核分配方案能夠保證理性的零售商都參與合作,因?yàn)樗麄兌紖⑴c合作能夠獲得最大的利潤(rùn).

定義聯(lián)合采購(gòu)博弈(M,Π),其中Π是聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟的總利潤(rùn),那么合作聯(lián)盟M的總利潤(rùn)為

其中剔除了不采購(gòu)的產(chǎn)品.那么易知Π(M)的最優(yōu)解和模型CPM的最優(yōu)解是相同的,Π({j})的最優(yōu)解和模型(Pj)的最優(yōu)解是相同的.

引理1聯(lián)合采購(gòu)博弈是超可加的.

證明設(shè)R,T ?M且R ∩T=?,R ∪T=H,分別是Π(R),Π(T),Π(H)的最優(yōu)解.記是Π(H)的一個(gè)可行解,所以有

又因?yàn)棣啊銱≥Π(R)+Π(T),所以有Π(R)+Π(T)≤Π(H). 證畢.

超可加博弈是核分配方案存在的必要條件,引理1 表明這個(gè)合作博弈的核是有可能找到的.

下面首先給出兩種分配方案,記

其中分別表示聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟M分配給零售商j的利潤(rùn)分配方案,是Π(M)優(yōu)化模型的最優(yōu)解.

定理2當(dāng)分配方案φ= (φ1,φ2,...,φm)是聯(lián)合采購(gòu)博弈的核分配方案.當(dāng)分配方案ξ=(ξ1,ξ2,...,ξm)是滿足個(gè)人理性的有效方案.

證明1)即聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟的庫存容量充足.首先,

因此,φ=(φ1,φ2,...,φm)是一個(gè)有效分配方案.記為Π(R)的最優(yōu)解,聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟的庫存容量是充足的,產(chǎn)品i的最優(yōu)訂貨量為那么

故

因此有

因此,分配方案φ=(φ1,φ2,...,φm)是聯(lián)合采購(gòu)博弈的核分配方案.

首先有

因此,分配方案ξ=(ξ1,ξ2,...,ξm)是有效分配方案方案.

情況I

情況II

綜合情況I 和情況II,可知

總是成立的.進(jìn)而有

這保證了合作之后分配到的利潤(rùn)不會(huì)比單獨(dú)采購(gòu)時(shí)獲得的利潤(rùn)低,說明分配方案ξ= (ξ1,ξ2,...,ξm)是滿足個(gè)體理性的.因此,分配方案ξ=(ξ1,ξ2,...,ξm)是滿足個(gè)體理性的有效分配方案. 證畢.

定理中的φj,ξj是庫存容量充足和不足的情況下在單位時(shí)間內(nèi)分別獲得的收益.這個(gè)收益可以表示為銷售收入減掉采購(gòu)成本和存儲(chǔ)成本,而銷售入和存儲(chǔ)成本通常是零售商自己管理的,聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟只管理采購(gòu)費(fèi)用.因此需要計(jì)算每次采購(gòu)的零售商應(yīng)該支付的采購(gòu)費(fèi)用.并且不同產(chǎn)品的采購(gòu)周期可能不一樣,因此,下面計(jì)算零售商j在采購(gòu)產(chǎn)品i時(shí)所需支付的費(fèi)用.值得注意的是若計(jì)算結(jié)果為證表示零售商向聯(lián)盟支付的費(fèi)用,若為負(fù)則表示聯(lián)盟向零售商支付的費(fèi)用.

φj是聯(lián)盟庫存容量充足的情況下零售商j最終分配到的利潤(rùn),合作聯(lián)盟可以通過零售商支付采購(gòu)成本來達(dá)到利潤(rùn)的分配.假設(shè)銷售的收入歸零售商自己所有,庫存產(chǎn)生的成本也由零售商自己承擔(dān),每次采購(gòu)聯(lián)盟收取相應(yīng)的采購(gòu)成本.由于庫存共享,零售商j的庫存量未必是零售商j的需求量.定理2 的分配方式實(shí)際上是按照需求比例分?jǐn)偣潭ǔ杀?各自承擔(dān)自己所需采購(gòu)量的采購(gòu)成本和存儲(chǔ)成本.且算法2 得到的是零售商j產(chǎn)品i的庫存量,那么聯(lián)合補(bǔ)貨時(shí)零售商j產(chǎn)品i的每次采購(gòu)應(yīng)該承擔(dān)的采購(gòu)成本為

式(9)右邊的第2 項(xiàng)是零售商j每個(gè)周期產(chǎn)品i的需求量,而是存儲(chǔ)在零售商j的產(chǎn)品i庫存量.若是零售商j庫存空間里的存儲(chǔ)量比需求量大,那么說明零售商j的部分庫存空間被其他零售商所用,被占用的庫存產(chǎn)生的庫存成本需要其他零售商對(duì)零售商j進(jìn)行補(bǔ)償,式(9)右邊的第3 項(xiàng)即是零售商j獲得補(bǔ)償庫存成本的費(fèi)用.若是需求量比庫存量大,那么零售商j獲得的該項(xiàng)費(fèi)用表示零售商j對(duì)其他零售商的庫存成本的補(bǔ)償,這樣就能保證零售商j承擔(dān)了自己產(chǎn)品產(chǎn)生的存儲(chǔ)成本,從而達(dá)到零售商單位時(shí)間產(chǎn)生利潤(rùn)φj的目標(biāo).

ξj是聯(lián)盟庫存容量不足的情況下零售商j最終分配到的利潤(rùn),合作聯(lián)盟同樣通過零售商支付采購(gòu)成本來達(dá)到利潤(rùn)的分配.因此,下面計(jì)算零售商j每次采購(gòu)產(chǎn)品應(yīng)該支付的采購(gòu)成本.

那么零售商j產(chǎn)品i單位時(shí)間內(nèi)需要承擔(dān)的成本為

而一個(gè)周期需要承擔(dān)的成本為

CT是采購(gòu)成本和存儲(chǔ)成本之和.而這個(gè)周期內(nèi)零售商j自己庫存會(huì)產(chǎn)生存儲(chǔ)成本所以聯(lián)盟每次采購(gòu)產(chǎn)品i時(shí)零售商j應(yīng)該承擔(dān)的采購(gòu)成本為

通過定理2 的證明可知, 這個(gè)收益能保證合作后的利潤(rùn)全部分配完, 每個(gè)零售商的利潤(rùn)都能夠增大, 并且當(dāng)聯(lián)盟的庫存容量充足時(shí)任何子聯(lián)盟收益都不會(huì)比參與大聯(lián)盟合作的收益更大.因此, 對(duì)于理性的零售商來說, 這樣的核分配方案能夠促使他們形成穩(wěn)定的合作.盡管定理2 中的核分配方案是需要聯(lián)盟庫存容量充足的條件, 但這個(gè)給定條件并不會(huì)太苛刻.當(dāng)參與聯(lián)合補(bǔ)貨的零售商越多,條件越容易達(dá)到,這是因?yàn)楦鶕?jù)算法1 的計(jì)算過程,在單獨(dú)決策時(shí)零售商最多只有一種產(chǎn)品的訂貨量不是而聯(lián)合采購(gòu)?fù)ǔＤ軌驕p小零售商的訂貨量,從而節(jié)省庫存容量使得最后一種產(chǎn)品也經(jīng)常能達(dá)到最優(yōu)訂貨量.下面用一個(gè)簡(jiǎn)單例子來說明合作之后減少了庫存水平.

例1若三個(gè)零售商決策購(gòu)進(jìn)五種產(chǎn)品, 這五種產(chǎn)品的最小訂貨量分別取qmin= 60,50,60,30,20, 產(chǎn)品售價(jià)p= 10,25,25,25,25, 單位產(chǎn)品的采購(gòu)費(fèi)用c= 2.500 0,6.250 0,6.250 0,6.250 0,6.250 0, 產(chǎn)品體積v= 0.100 0,0.250 0,0.050 0,0.500 0,0.350 0, 固定采購(gòu)費(fèi)k= 100,50,10,50,90, 各零售商庫存容量V=30,60,45,單位體積單位時(shí)間的庫存成本h=1,各零售商的需求到達(dá)率為

當(dāng)零售商單獨(dú)決策時(shí),通過算法1 可得到他們的采購(gòu)量為

當(dāng)三個(gè)零售商庫存容量都增加到75 時(shí),他們單獨(dú)決策式的采購(gòu)量為

這說明當(dāng)庫存容量充足時(shí)所有產(chǎn)品都是能夠盈利的, 而庫存容量為30,60,45 時(shí), 零售商的庫存容量是不夠的, 因?yàn)樗麄兌歼x擇放棄采購(gòu)至少一種產(chǎn)品.而當(dāng)他們聯(lián)合采購(gòu)時(shí), 各產(chǎn)品的總采購(gòu)量為Q= 94.701 5,64.477 9,60.000 0,76.124 6,130.193 7, 占用庫存容量為112.219 7, 比他們的總庫存容量135 小.聯(lián)合采購(gòu)是在零售商確定了采購(gòu)產(chǎn)品之后發(fā)生的,當(dāng)零售商們選擇的產(chǎn)品都高度一致時(shí),聯(lián)盟庫存容量總是會(huì)有剩余的,說明總庫存水平降低了.但當(dāng)零售商選擇了很多不一樣的產(chǎn)品導(dǎo)致能形成聯(lián)合采購(gòu)的產(chǎn)品比較少,這樣聯(lián)盟庫存容量不夠的概率會(huì)增加,如下面的例2.

例2若兩個(gè)零售商決策購(gòu)進(jìn)三種產(chǎn)品, 這三種產(chǎn)品的最小訂貨量都為0, 即qmin= 0,0,0, 產(chǎn)品售價(jià)p=60,120,140,單位產(chǎn)品的采購(gòu)費(fèi)用c=10,15,20,產(chǎn)品體積v=1,1,1,固定采購(gòu)費(fèi)k=50,50,50,各零售商庫存容量V=80,80,單位體積單位時(shí)間的庫存成本h=1,各零售商的需求到達(dá)率為當(dāng)零售商單獨(dú)決策時(shí),通過算法1 可得到他們的采購(gòu)量為當(dāng)零售商聯(lián)合采購(gòu)量時(shí),三種產(chǎn)品的聯(lián)合采購(gòu)量分別為3,57,100,聯(lián)盟的庫存容量是不足的,只有產(chǎn)品3 形成了聯(lián)合采購(gòu).若需求到達(dá)率為16,13,0 的零售商3 加入聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟,并且零售商3 的庫存容量為70.單獨(dú)采購(gòu)時(shí),零售商的采購(gòu)量為34,36,0,沒有達(dá)到其最優(yōu)采購(gòu)量40,36,0.但當(dāng)三個(gè)零售商一起聯(lián)合采購(gòu)時(shí),合作聯(lián)盟的采購(gòu)量為60,70,100,正好達(dá)到無庫存容量限制下各產(chǎn)品的最優(yōu)采購(gòu)量,這個(gè)聯(lián)盟的庫存容量是充足的.這時(shí)候產(chǎn)品1,產(chǎn)品2 和產(chǎn)品3 都形成了聯(lián)合采購(gòu),節(jié)省了更多的庫存容量空間.

定理2 給出的分配方案在聯(lián)盟庫存容量不足的情況下只是滿足個(gè)人理性的有效分配方案,無法保證聯(lián)盟的穩(wěn)定.并且是很難找到核分配方案的,這是因?yàn)橥ㄟ^第2 節(jié)對(duì)模型(Pj)的分析容易知道在庫存容量不足時(shí),目前也無法確定能找到多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)的算法能夠求解CP(M)的最優(yōu)解.而近似解是有可能導(dǎo)致子聯(lián)盟R(R ?M)比大聯(lián)盟M得到更優(yōu)的解從而發(fā)生子聯(lián)盟R的總利潤(rùn)比大聯(lián)盟M的利潤(rùn)更大,這種情況下找核分配方案是不現(xiàn)實(shí)的.

定理2 中給出的分配方案φ= (φ1,φ2,...,φm)實(shí)際上也是聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟庫存容量不足情況下滿足個(gè)人理性的有效分配方案.但使用分配方案ξ= (ξ1,ξ2,...,ξm)是因?yàn)檫@個(gè)分配方案能夠激勵(lì)參與聯(lián)合采購(gòu)的零售商共享庫存容量(α<1).ξj的表達(dá)式中很容易看到零售商j的庫存容量占聯(lián)盟的庫存容量比例越大收益就會(huì)越多.在庫存容量不足的情況下,庫存容量是聯(lián)合采購(gòu)的稀缺資源,增大庫存容量會(huì)增加聯(lián)合采購(gòu)聯(lián)盟的利潤(rùn).因此有必要通過利潤(rùn)來激勵(lì)零售商共享其真實(shí)的庫存容量.而在庫存容量充足時(shí),庫存容量不再是稀缺資源,無法通過增加庫存容量來提高聯(lián)盟的利潤(rùn),若是通過利潤(rùn)激勵(lì)零售商會(huì)導(dǎo)致零售商虛報(bào)庫存容量而造成分配的不公平.

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

5.1 零售商單獨(dú)決策的算例分析

本節(jié)通過數(shù)值算例調(diào)查庫存容量和最小訂貨量對(duì)零售商利潤(rùn)的影響.下面給出一個(gè)10 種產(chǎn)品的例子,其中h=1,V=75,其它參數(shù)如表1.本節(jié)沒有特別說明都使用表1 中的參數(shù)值以及h=1,V=75.

表1 模型(Pj)的參數(shù)值Table 1 Parameter values of the model(Pj)

首先研究供應(yīng)商的最小訂貨量對(duì)零售商的影響.將產(chǎn)品1 的最小訂貨量從4 增大到200,得到零售商1的總利潤(rùn)曲線圖,如圖1.可以觀察到零售商的總利潤(rùn)變化在區(qū)間[20,72]內(nèi).為進(jìn)一步分析這個(gè)變化過程,將零售商在供應(yīng)商最小訂貨量區(qū)間[20,72]內(nèi)的最優(yōu)訂貨量計(jì)算出來,得到表2.表2 中第2 列至第11 列分別是產(chǎn)品1 至產(chǎn)品10 在產(chǎn)品1 最小訂貨量變化時(shí)的訂貨量.從表2 中可以看到產(chǎn)品1 的最小訂貨量為20 時(shí),零售商產(chǎn)品1 的訂貨量為21.951 4,說明零售商最優(yōu)訂貨量是大于供應(yīng)商最小訂貨量的,供應(yīng)商最小訂貨量小小于21.951 4 時(shí)不會(huì)影響零售商的決策,因此利潤(rùn)也不會(huì)變化.而當(dāng)供應(yīng)商最小訂貨量大于21.951 4 時(shí),零售商的產(chǎn)品1 的訂貨量就是供應(yīng)商要求的最小訂貨量,并且隨著最小訂貨量增大而影響其它產(chǎn)品的決策,這也就造成了圖1 中零售商總利潤(rùn)突然大幅度下降.當(dāng)供應(yīng)商要求的最小訂貨量大于64 時(shí),產(chǎn)品1 被放棄采購(gòu),并且總利潤(rùn)反而提高了.說明之前的解并不是最優(yōu)解,這是因?yàn)檫@種情況并沒有滿足定理1 的條件.

表2 產(chǎn)品訂貨量Table 2 The order quantity of product

接下來研究產(chǎn)品需求到達(dá)率對(duì)零售商利潤(rùn)的影響.將產(chǎn)品1 的需求到達(dá)率從0 開始增大到500,其它參數(shù)仍然用表1 的數(shù)值,另外給出了一個(gè)庫存容量為150 但其它都一樣的零售商的利潤(rùn)曲線作為對(duì)比,得到了圖2.圖2 中V= 75 的這條曲線整體呈上升趨勢(shì),但有的點(diǎn)突然下降,這是因?yàn)橛械漠a(chǎn)品訂貨量逐漸減當(dāng)減小到低于最小訂貨量時(shí)就會(huì)被放棄采購(gòu),而零售商總利潤(rùn)突然下降的點(diǎn)就是被放棄采購(gòu)的臨界點(diǎn).但V= 150 時(shí),庫存容量總是充足的,產(chǎn)品1 的訂貨量上升,但沒有影響的其它產(chǎn)品的決策.其它產(chǎn)品需求到達(dá)率不變的情況下,零售商的總利潤(rùn)隨產(chǎn)品1 的需求到達(dá)率增大而增加.

圖1 產(chǎn)品1 最小訂貨量對(duì)利潤(rùn)的影響Fig.1 The profit affected by minimum order quantity of product 1

圖2 產(chǎn)品1 需求對(duì)總利潤(rùn)的影響Fig.2 The total profit affected by demand arrive rate of product 1

通過上面的數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論是,在一定范圍內(nèi),零售商的利潤(rùn)與庫存容量和需求到達(dá)率正相關(guān).

5.2 聯(lián)合采購(gòu)的算例分析

本節(jié)主要研究產(chǎn)品種類,庫存容量和聯(lián)盟規(guī)模對(duì)聯(lián)盟合作收益的影響.本節(jié)的部分參數(shù)值取一定范圍的隨機(jī)數(shù),其取值范圍為λji ∈[1,25],pi ∈[5,50],ci=另外h=1,Vi=75,i ∈N.

首先研究產(chǎn)品種類數(shù)量和庫存容量對(duì)聯(lián)盟利潤(rùn)的影響.|M|=10,產(chǎn)品種類數(shù)量|N|分別取5,10,20,50,100,500,為方便計(jì)算,所有零售商的庫存容量取一樣的值,其值分別取75,150,300,600.產(chǎn)品種類和庫存容量各取一個(gè)值,h=1,其它參數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生,計(jì)算合作后利潤(rùn)增長(zhǎng)比率,每一組做100 次,取平均值,得到表3.將表3 中的數(shù)據(jù)縱向?qū)Ρ?可以看到,當(dāng)產(chǎn)品種類為5 和10 時(shí),庫存容量增大并沒有幫助聯(lián)盟獲得更大收益,而產(chǎn)品種類大于20 時(shí),聯(lián)盟收益隨庫存容量增大而增大.這是因?yàn)楫a(chǎn)品種類為5 和10 時(shí),庫存容量總是充足的,所以增加庫存容量并不能幫助聯(lián)盟提高收益.而產(chǎn)品種類大于20 時(shí),庫存容量不足導(dǎo)致每次采購(gòu)量受限,增加了采購(gòu)頻率,從而增加了成本.當(dāng)庫存容量增大時(shí)能夠幫助聯(lián)盟減小成本二獲得更高收益.然后進(jìn)行橫向?qū)Ρ?觀察表3 中每一行的數(shù)據(jù),可以看到,每一行從左到右,聯(lián)盟的利潤(rùn)增長(zhǎng)率整體都是呈下降趨勢(shì)的.這是因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)品種類很多時(shí),零售商的選擇更廣了,尤其當(dāng)庫存容量不足時(shí),產(chǎn)品種類越多,選擇相同的產(chǎn)品概率就越低.在極端情況下甚至可能所有的零售商都采購(gòu)不同的產(chǎn)品,從而無法形成聯(lián)合采購(gòu).

表3 產(chǎn)品種類數(shù)量和庫存容量對(duì)聯(lián)盟收益的影響Table 3 The profit affected by product category quantity and inventory capacity

接下來研究聯(lián)盟規(guī)模對(duì)聯(lián)盟收益的影響.聯(lián)盟成員數(shù)|M|分別取5, 10, 20, 50, 100, 500,h= 1,Vj=150,j ∈M,|N|= 10,100,其它數(shù)據(jù)隨機(jī)產(chǎn)生,同樣每組做100 次,聯(lián)盟利潤(rùn)增長(zhǎng)率取平均值,得到表4 的數(shù)據(jù).可以觀察到表4 中聯(lián)盟利潤(rùn)增長(zhǎng)率是隨聯(lián)盟規(guī)模增大而增大的.通過表4 可以看到僅有產(chǎn)品種類為100,聯(lián)盟成員數(shù)為5 時(shí),才存在聯(lián)盟庫存容量使用完以及零售商出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)的情況,而其它情況下庫存容量總是有剩余的.而定理2 證明了庫存容量充足,并且最優(yōu)訂購(gòu)量大于供應(yīng)商的最小訂貨量的情況下,本文的分配方案總是在聯(lián)合采購(gòu)博弈的核中的.這也意味著當(dāng)聯(lián)盟規(guī)模較大并且聯(lián)盟成員采購(gòu)的產(chǎn)品高度集中(有較多的零售商采購(gòu)?fù)环N產(chǎn)品)時(shí),總是能夠保證設(shè)計(jì)的分配方案是核分配方案,因?yàn)槁?lián)盟規(guī)模較大時(shí)更容易達(dá)到供應(yīng)商最小訂貨量要求.并且當(dāng)采購(gòu)產(chǎn)品種類比較小時(shí),會(huì)有更多的零售商采購(gòu)?fù)环N產(chǎn)品,能夠節(jié)省更多的庫存容量.

表4 聯(lián)盟規(guī)模對(duì)收益的影響Table 4 The profit affected by coalition scale

通過上面的實(shí)驗(yàn),可以看到,產(chǎn)品種類越少,庫存容量越大,聯(lián)盟成員越多,聯(lián)合采購(gòu)提高的利潤(rùn)越多;聯(lián)合采購(gòu)最高可以提高聯(lián)盟總利潤(rùn)的26%.并且可以看到零售商數(shù)量大于10 時(shí),再也沒出現(xiàn)庫存容量不夠的情況了,這說明參與合作的零售商較多時(shí),聯(lián)盟出現(xiàn)庫存容量不夠的概率較小.

這些數(shù)值實(shí)驗(yàn)都是使用MATLAB 2015b 實(shí)現(xiàn)的.通過MATLAB 計(jì)時(shí)函數(shù)tic 和toc, 算法1 求解10 000 種產(chǎn)品的單獨(dú)采購(gòu)決策模型只需要27 s, 而算法2 求解10 000 種產(chǎn)品, 100 個(gè)零售商的聯(lián)合采購(gòu)模型也只需大概660 s 完成.這說明算法1 和算法2 的效率是非常高的,能夠滿足比較大規(guī)模的計(jì)算要求.

6 結(jié)束語

本文研究了庫存容量和最小訂貨量約束的產(chǎn)品選擇和聯(lián)合采購(gòu)問題.首先建立了一個(gè)多產(chǎn)品選擇的模型,通過該模型零售商單獨(dú)決策需要購(gòu)進(jìn)哪些產(chǎn)品以及其購(gòu)進(jìn)量.然后設(shè)計(jì)了一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間算法求解該模型,并證明了在文中給定的三種情況下該算法得到的解是最優(yōu)解.為了幫助中小型企業(yè)提高利潤(rùn),建立了庫存共享下的聯(lián)合采購(gòu)決策模型并證明了該模型能夠提高合作聯(lián)盟的總利潤(rùn).為激勵(lì)零售商形成合作聯(lián)盟,分別為聯(lián)盟庫存容量充足的情況下設(shè)計(jì)了核分配方案和聯(lián)盟庫存容量不足的情況下設(shè)計(jì)了滿足個(gè)人理性的有效分配方案.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明聯(lián)合采購(gòu)總是能夠提高聯(lián)盟的利潤(rùn)并且當(dāng)參與合作的零售商越多,合作聯(lián)盟提高的利潤(rùn)越高.

本文的一些假設(shè)一定程度上限制了模型的應(yīng)用.首先假設(shè)零售商采用統(tǒng)一零售價(jià)進(jìn)行銷售,這限制了聯(lián)合采購(gòu)產(chǎn)品的種類,對(duì)于許多產(chǎn)品零售商會(huì)選擇自主定價(jià).其次在資源限制中并沒有考慮資金限制,并且在聯(lián)合采購(gòu)模型中,并沒有考慮庫存共享時(shí)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)運(yùn)成本.這幾個(gè)因素會(huì)使模型更加的復(fù)雜和難解,但也會(huì)更貼近現(xiàn)實(shí),是值得繼續(xù)深入研究的.