林宏

[摘 要]以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)情為依據(jù)，采用先學(xué)后教的教學(xué)模式對(duì)“植樹問題”進(jìn)行再設(shè)計(jì)，突出數(shù)學(xué)思想的滲透，模型的建構(gòu)和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

[關(guān)鍵詞]植樹問題;數(shù)學(xué)思想;核心素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0058-04

【教學(xué)內(nèi)容】 青島版教材四年級(jí)上冊(cè)“智慧廣場(chǎng)”（第106頁～第107頁）。

【教材分析】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，“智慧廣場(chǎng)”的教學(xué)目標(biāo)可概括為以下四點(diǎn)：

1.感悟重要的數(shù)學(xué)思想方法。

2.運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)分析和解決問題的能力。

3.提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)。

4.在參與觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展合情推理能力，感悟演繹推理思想，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考。

教材編排了“兩端都栽時(shí)，間隔數(shù)和棵樹關(guān)系”“一端不栽時(shí)，間隔數(shù)和棵樹關(guān)系”“ 兩端都不栽時(shí)，間隔數(shù)和棵樹關(guān)系”三種不同的情況，并以學(xué)生比較熟悉的植樹活動(dòng)為線索，讓學(xué)生選用自己喜歡的方法來探究栽樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、推理等數(shù)學(xué)探索過程，并啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律、建立模型，再回歸生活，利用規(guī)律解決生活中的實(shí)際問題。

【學(xué)情分析】

四年級(jí)學(xué)生仍以形象思維為主，但抽象思維能力有了初步的發(fā)展，他們具備了一定的分析綜合、抽象概括、梳理規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！爸矘鋯栴}”放在這個(gè)學(xué)段，說明其具有很強(qiáng)的探究空間，需要教師的有效引領(lǐng)和學(xué)生的自主探究。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，掌握植樹問題中棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系，并能利用這一關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

2.經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等解決問題的過程，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)、模型思想等數(shù)學(xué)思想方法。

3.感受數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

【教學(xué)重點(diǎn)】

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，使學(xué)生經(jīng)歷探究過程，建立植樹模型。

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解間隔數(shù)與棵數(shù)之間的規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決問題。

【教具準(zhǔn)備】

課件、自主學(xué)習(xí)單、學(xué)具等。

【教學(xué)過程】

一、任務(wù)前置，以學(xué)定教

課前布置學(xué)習(xí)任務(wù)（學(xué)生獨(dú)立完成）：

“植樹問題”悅學(xué)單

去體育館的小路長(zhǎng)72米，在它的一側(cè)植樹，每隔6米植一棵。四年級(jí)有3個(gè)班認(rèn)領(lǐng)植樹任務(wù)，按路長(zhǎng)平均分給3個(gè)班來完成，每個(gè)班負(fù)責(zé)24米。

一班負(fù)責(zé)的路段從路的開始到24米處;

二班接著一班植樹，完成自己負(fù)責(zé)的24米;

三班接著二班植樹，一直到體育館前，一共24米。

每個(gè)班植樹多少棵？

【設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)是由學(xué)生課前完成的，能夠給學(xué)生提供一個(gè)自主開放的空間，讓學(xué)生獨(dú)立思考問題，從而暴露學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和問題。教師就可以發(fā)現(xiàn)問題且充分把握學(xué)情，確定教學(xué)的重難點(diǎn)，體現(xiàn)以學(xué)定教。同時(shí)，這個(gè)情境把植樹問題的三種情況都包括在內(nèi)，是實(shí)際生活中的真實(shí)情境，不是為了研究而研究，是基于問題解決來研究，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)和理解?！皩W(xué)”在教之前，既實(shí)現(xiàn)了“先學(xué)后教”，也實(shí)現(xiàn)了“悅自主獨(dú)學(xué)”?！?/p>

二、小組合作，展示交流

師：昨天大家已經(jīng)獨(dú)立研究了植樹問題，（板書課題：植樹問題）你們認(rèn)為什么是植樹問題？

生1：有關(guān)植樹的問題就是植樹問題。

生2：研究樹與間隔的問題就是植樹問題。

……

師：那到底是不是你們想的這樣呢？今天就一起來研究。根據(jù)課件中的圖示，請(qǐng)?jiān)谛〗M內(nèi)交流自己的研究成果。

1.一班植樹棵數(shù)

（1）小組內(nèi)交流自主學(xué)習(xí)的成果

師：可以用學(xué)具來試著擺一擺，說明一班植樹多少棵;也可以用一條線表示小路，用小線段或圓點(diǎn)表示樹，畫一畫，看看一班植樹多少棵。

（2） 班內(nèi)展示小組研究成果

師：請(qǐng)匯報(bào)你們的研究成果。

生1：我們開始研究的成果是24÷6=4（棵），也就是看24里面有幾個(gè)6米，然后通過畫線段圖、擺小樹、交流、討論，發(fā)現(xiàn)一班植樹應(yīng)該是5棵，24÷6=4（棵），4+1=5（棵）。（在黑板上畫出線段圖表示小路，點(diǎn)上圓點(diǎn)表示樹）

生2：我們組也認(rèn)可這個(gè)結(jié)論，但是生1沒有說清楚為什么加上1棵，誰能講清楚？

生3：因?yàn)閺念^到尾植樹的時(shí)候，最后還有一棵樹，也就是第一棵樹需要第一個(gè)空，第二棵樹需要第二個(gè)空，第三棵樹需要第三個(gè)空，第四棵樹需要第四個(gè)空，最后終點(diǎn)還有一棵樹，可是沒有空了，就把最后的這棵樹加上。

師：大家明白生3的講解嗎？數(shù)學(xué)上稱這個(gè)空為間隔。那24÷6 表示什么？4指的是什么？為什么+1？

生4：24÷6表示有幾個(gè)間隔，4是4個(gè)間隔，因?yàn)?棵樹對(duì)應(yīng)4個(gè)間隔，最后一棵樹沒有對(duì)應(yīng)的間隔，所以+1。

師：咱們一致得出結(jié)論，一班植樹5棵，這是兩端植樹的情況。因?yàn)橐豢脴鋵?duì)應(yīng)一個(gè)間隔，最后一棵樹沒有間隔相對(duì)應(yīng)，所以要加上1，這里利用了一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。（板書：兩端植樹 一一對(duì)應(yīng)）

2.二班、三班植樹棵數(shù)

師：我們知道了一班植樹的棵數(shù)，那二班、三班植樹多少棵呢？在小組內(nèi)繼續(xù)交流討論。

生5（在黑板上畫圖）：二班為24÷6=4（棵），因?yàn)槎嗟牡谝豢脴浔灰话嘀擦?，就不用植了，這樣一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，有4個(gè)間隔，所以植樹4棵。

生6：這道題也是利用了一一對(duì)應(yīng)思想。

師：你聽得真仔細(xì)，還補(bǔ)充了數(shù)學(xué)思想，非常好。

師：一班是兩端植樹的情況，那二班是什么情況？

生（齊）：一端植樹。

師：對(duì)，是一端植樹的情況。那三班植樹多少棵？

生7：三班和二班一樣，第一棵樹被二班植了，就不用植了，這樣一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，有4個(gè)間隔，所以植樹4棵，列式為24÷6=4（棵）。

生8：我不同意你的說法，三班應(yīng)該植樹3棵，因?yàn)樽詈笫求w育館，也不能植樹，末尾那棵樹不用植，所以是3棵，列式為24÷6-1=3（棵）。

（其他學(xué)生都表示同意）

生9：我覺得三班是兩端都不植的情況。

師：大家分析得很透徹，有理有據(jù)，不僅解決了二班和三班植樹棵數(shù)的問題，還推理得出二班和三班分別是一端植樹和兩端不植的情況。

（板書：一端植樹? ? 兩端不植）。

3.間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系

師：計(jì)算三個(gè)班的植樹棵數(shù)都有算式24÷6，都是先算出4個(gè)間隔，然后再+1，或不加不減，或-1，你們發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)?jiān)诮M內(nèi)交流一下，然后匯報(bào)。

生10：兩端都植的情況，總有最后一棵樹沒有對(duì)應(yīng)的間隔，所以“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”;而一端植樹正好是每棵樹都對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，所以“棵數(shù)=間隔數(shù)”;而兩端都不植的情況就是多了一個(gè)間隔，所以“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”。

師：說得很好！發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，表達(dá)有邏輯，還總結(jié)出了“通過兩端都植推理得出一端植樹和兩端都不植樹”的結(jié)論。

（板書：棵數(shù)=間隔數(shù)+1? ? ?棵數(shù)=間隔數(shù)? ? 棵數(shù)=間隔數(shù)-1 ）

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于三個(gè)班植樹棵數(shù)的探究是在互動(dòng)中完成的，教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了寬松的環(huán)境，學(xué)生在自主獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過與組內(nèi)成員充分交流、大膽發(fā)言、探究討論、暢談收獲、分析辯解，經(jīng)歷了操作、分析、推理、驗(yàn)證、解釋、歸納的過程，最后共同解決問題，建構(gòu)植樹問題的模型。因?yàn)橛泻椭C的師生關(guān)系作為基礎(chǔ)，學(xué)生樂于展示、樂于分享和上臺(tái)展示，在互動(dòng)碰撞中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的認(rèn)知、發(fā)現(xiàn)、頓悟和對(duì)自我的超越，學(xué)科素養(yǎng)在潛移默化中逐步提升。這樣的教學(xué)開啟了學(xué)生的口，活動(dòng)了學(xué)生的手，也解放了學(xué)生的腦，體現(xiàn)了以學(xué)為主，真正起到了啟發(fā)學(xué)生智慧，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生興趣，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)的作用，學(xué)生由“學(xué)會(huì)”慢慢向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，并逐漸“樂學(xué)”，真正實(shí)現(xiàn)了“和合作群學(xué)”。】

三、教師點(diǎn)撥，拓展提升

1.方法提升

師：根據(jù)我們總結(jié)的規(guī)律，可以解決類似的問題，如果只記得其中一種情況，另外兩種情況記不住了，怎么能很快知道另外兩種情況？

生11：可以通過一種情況推理得出后，只要+1、

+2，或-1、-2就能得出結(jié)論。

師：如果三個(gè)式子都記不住了，怎么解決呢？

生12：可以通過擺學(xué)具或畫圖的方式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題。

生13：5指4空，可以得到兩端都植的結(jié)論是“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”;把大拇指去掉，4指4空，可以得到“棵數(shù)=間隔數(shù)”的結(jié)論;再把小手指握住，是3指4空，可以得到“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”的情況。

師：真棒！我們完全可以借助身邊的學(xué)具和自己的手指，通過操作和探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用規(guī)律解決問題。這樣不僅掌握了知識(shí)，更主要的是學(xué)會(huì)了方法。

（板書：擺、畫、手）

2.建立模型

師：剛才我們解決了植樹的問題，知道有三種類型，生活中還有類似的現(xiàn)象嗎？

師（課件展示軍人列隊(duì)、學(xué)生做操站隊(duì)、公交站示意圖、衣服上的紐扣的圖片）：大家在這里能找到“樹”和“間隔”嗎？

生14：隊(duì)伍中的人相當(dāng)于樹，兩個(gè)人之間的空相當(dāng)于間隔;公交站牌相當(dāng)于樹，兩站之間的距離相當(dāng)于間隔。

生15：衣服上的紐扣相當(dāng)于樹，兩個(gè)紐扣間的空相當(dāng)于間隔，這是一端栽樹的情況。

師：大家說的都很到位，這些都是研究“樹”與“間隔”之間關(guān)系的一類問題，也就是點(diǎn)與線段之間的數(shù)量關(guān)系，稱為植樹問題。

【設(shè)計(jì)意圖：有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生的學(xué)與教師的教的統(tǒng)一。教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授和學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系。本環(huán)節(jié)在總結(jié)解決植樹問題的三種類型規(guī)律的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，找一找生活中類似植樹問題的現(xiàn)象，并思考可以把什么看作“樹”，引導(dǎo)學(xué)生感悟生活中“模”的存在。學(xué)生在已有成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提升、拓展，在學(xué)習(xí)掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上總結(jié)方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，由“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)了“悅教師引學(xué)”，達(dá)成了深度學(xué)習(xí)?！?/p>

四、多元測(cè)評(píng)，展示成果

出示題目：

（1）四年級(jí)一班教室在4樓，每層樓有20級(jí)臺(tái)階，從1樓回教室需要走多少級(jí)臺(tái)階？

（2）體育館和圖書館之間相距60米，要在兩館之間的小路兩旁擺花盆，相鄰兩盆花之間的距離是3米，一共要擺多少盆花？

生16：第（1）題中，從1樓走到4樓要走3層臺(tái)階，也就是相當(dāng)于有4棵樹、3個(gè)間隔，從而列出算式20×（4-1）=60（級(jí)）。

師：很好，找準(zhǔn)了“樹”與“間隔”，并得出是兩端都植的情況，從而利用模型解決了問題。

生17：第（2）題是在兩館之間就是說兩端都不能擺花，兩旁就是要算出兩邊，所以得出（60÷3-1）×2=38（盆）。

【設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)堂檢測(cè)是教師了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)掌握情況的一個(gè)重要手段，對(duì)教學(xué)效果的反饋有著非常重要的作用。在學(xué)生理解了植樹問題的三種類型后，再讓學(xué)生獨(dú)立解決一些數(shù)學(xué)問題，就能緊扣學(xué)習(xí)目標(biāo)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)重點(diǎn)，學(xué)生就能充分體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣和獲得收獲的成就感，實(shí)現(xiàn)了“和評(píng)價(jià)促學(xué)”?！?/p>

五、拓展延伸，開放教學(xué)

師：這些圖中的植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系？（動(dòng)態(tài)演示，把封閉圖形轉(zhuǎn)化為直線）請(qǐng)課后繼續(xù)探究。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的學(xué)習(xí)不止于教材，不止于課內(nèi)，不止于教室內(nèi)。這樣一個(gè)環(huán)節(jié)能幫助學(xué)生打開思維，拓展視野，這是開放的學(xué)習(xí)觀，這是一種大學(xué)習(xí)觀，這實(shí)現(xiàn)了“悅拓展延學(xué)”?！?/p>

六、回顧梳理，歸納總結(jié)

師：本節(jié)課首先是帶著學(xué)習(xí)任務(wù)，通過擺學(xué)具、畫圖、交流討論，得出植樹問題的三種情況，通過一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合，大家理解了棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了兩端植樹情況的規(guī)律是“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，并類比遷移得出一端植樹和兩端不植情況下的結(jié)論，建立了三個(gè)模型，并利用模型解決了問題。最后，把封閉圖形的植樹問題轉(zhuǎn)化為直線上的植樹問題，獲得了數(shù)學(xué)方法和思想。（動(dòng)態(tài)出示思維導(dǎo)圖）

【設(shè)計(jì)意圖：通過回顧所學(xué)知識(shí)，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，獲得了數(shù)學(xué)思想方法，提升了梳理、概括知識(shí)的能力。這樣能使學(xué)生在交流中鞏固新知，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，真正實(shí)現(xiàn)了由雙基到四基，由兩能到四能的轉(zhuǎn)變，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)悄然提升。】

【教學(xué)反思】

一、學(xué)為中心，以學(xué)定教

本節(jié)課采用“三環(huán)五步五學(xué)”的教學(xué)模式，凸顯“學(xué)為中心，以學(xué)定教”的生本理念，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，與同伴共享自學(xué)資源，完整經(jīng)歷了研究問題的全過程，學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)的方法，實(shí)現(xiàn)了由被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化，從而樂學(xué)、悅學(xué)。

二、追尋有思想的教學(xué)

日本教育學(xué)者米山國(guó)藏說過：“我研究了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在初中、高中階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)離校后不到一兩年便很快忘光了，然而，無論他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法、研究方法卻隨時(shí)發(fā)生作用，使他們受益終身。”顧沛教授指出：“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓?！币罁?jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，我在這節(jié)課中力求凸顯數(shù)學(xué)思想的滲透，追尋有思想的教學(xué)。本節(jié)課重點(diǎn)突出以下三種思想：

1.一一對(duì)應(yīng)思想

在植樹問題教學(xué)中，重要的是促進(jìn)學(xué)生從本質(zhì)上理解模型，因?yàn)闊o論哪種模型，其本質(zhì)就是一一對(duì)應(yīng)。

2.模型思想

讓學(xué)生操作學(xué)具、畫圖或用手指研究，自然建立植樹問題三種情況的直觀模型：加一、不加不減、減一。

列舉生活中的擺花、上樓梯等情況，將它們與樹的棵數(shù)和間隔數(shù)進(jìn)行對(duì)比，也就是凸顯點(diǎn)與段數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生感受到，雖然情境不同，但都是一類問題，凸顯數(shù)學(xué)模型。

植樹問題的模型是現(xiàn)實(shí)世界中一類相似事件的放大，它源于生活，卻高于生活。數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識(shí)相比，知識(shí)的有效性是短暫的，思想方法的有效性卻是長(zhǎng)遠(yuǎn)的，能夠使人受益終身。

3.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形反映了事物兩個(gè)方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，就能使抽象思維與形象思維相結(jié)合。

學(xué)生通過擺一擺、畫一畫，把植樹問題中棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系呈現(xiàn)得一目了然，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，這樣不但起到優(yōu)化解題途徑的作用，也使數(shù)學(xué)思想方法得到滲透。

（責(zé)編 金 鈴）