張敏鈴

加法和減法是小學(xué)重要的數(shù)學(xué)模型之一。小學(xué)生建立加減法模型的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要來源于日?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)、教材學(xué)習(xí)資源及課堂學(xué)習(xí)三個(gè)渠道，其中課堂學(xué)習(xí)是連接教材學(xué)習(xí)資源與日常活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要橋梁。教師應(yīng)該基于研讀教材與了解兒童活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的視角，探討加減法模型不同認(rèn)知階段的相應(yīng)教學(xué)策略。

加減法模型集中在小學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)，教材以“合并”與“去掉”的含義呈現(xiàn)加法模型和減法模型。那么，從教材編排的邏輯順序出發(fā)，應(yīng)如何劃分學(xué)生建模的認(rèn)知階段？根據(jù)建模的不同認(rèn)知階段，采用哪些教學(xué)策略可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握模型？運(yùn)用哪些教學(xué)策略，能融合教材的學(xué)習(xí)素材與學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)兩者的關(guān)系？本文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例進(jìn)行教學(xué)研究與探討。

一、教材視角下的加減法模型

教材編排兩個(gè)例題分三個(gè)層次揭示加法和減法模型。第一層，通過情境連續(xù)圖呈現(xiàn)氣球的“合并”和“去掉”的動(dòng)態(tài)過程（見圖1）。第二層，呈現(xiàn)圓點(diǎn)圖素材，圖1中左圖表示把兩部分合并成一個(gè)整體的集合思想，右圖中的虛線表示拿走、去掉，蘊(yùn)含著從整體去掉其中一部分余下另一部分的集合思想。第三層，引出用“+”或“-”的數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)量的“整體與部分”關(guān)系。

教材提供的素材以“合并”與“去掉”為主線，體現(xiàn)出從直觀到半抽象再到抽象的認(rèn)知過程。

在揭示加減法模型之前，教材安排了數(shù)量和數(shù)的“分與合”學(xué)習(xí)內(nèi)容（見圖2）。教材編排的目的有兩個(gè)：一是讓學(xué)生理解數(shù)與數(shù)之間有著密切聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)感;二是為后續(xù)的5以內(nèi)加減法口算技能學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備?！胺帧北旧砭吞N(yùn)含著減法模型，“合”蘊(yùn)含著加法模型，那么在正式學(xué)習(xí)加減法模型前，可否拓展“分與合”的學(xué)習(xí)目標(biāo)，使之成為建立模型前的學(xué)習(xí)素材？

其次，在初步建立加減法模型后，教材編排了19道鞏固模型的練習(xí)題，其中有18道題通過現(xiàn)實(shí)情境呈現(xiàn)或?qū)W具操作等形式，讓學(xué)生列出加法或減法算式，即從具體到抽象。教材只有1道題提供加減法算式，讓學(xué)生用自己喜歡的方式表征算式意義，即從抽象回到具體，用數(shù)學(xué)符號(hào)描述現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)語言解釋現(xiàn)實(shí)世界。兩種途徑都是理解和掌握加減法模型的重要認(rèn)知方式，但是兩類途徑的教材編排比例是否有利于學(xué)生深刻理解加減法模型？

二、兒童視角下的加減法模型

學(xué)齡前兒童在日常生活中積累了大量“合并”與“去掉”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，例如他們會(huì)把一些物品按照一定的可視屬性，如顏色、形狀、大小等不同標(biāo)準(zhǔn)，分成幾類，也會(huì)把同屬一類別的物品合并在一起。分與合，是兒童熟悉的日?；顒?dòng)，但兒童沒有具備主動(dòng)運(yùn)用語言去描述操作過程的意識(shí)，在兒童眼里，分與合就是一種熟悉的、具體的游戲活動(dòng)。

在進(jìn)行加減法模型的鞏固性練習(xí)中，類似于圖3所示的練習(xí)題，學(xué)生錯(cuò)誤率非常高，其錯(cuò)誤類型都是把要求的答案參與列式，這是什么原因？

回顧原題，學(xué)生通過點(diǎn)數(shù)的方式直接提取數(shù)量：總車位10個(gè)，停車8輛，空位2個(gè)，并把這些數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為自己生活中熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，有的學(xué)生熟悉“合并”的現(xiàn)實(shí)情境，由此寫出“2+8”的數(shù)量關(guān)系;有的學(xué)生熟悉“去掉空白部分”的現(xiàn)實(shí)情境，由此寫出“10-2”的數(shù)量關(guān)系。也就是說，學(xué)生不能把外化的圖像、文字轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的思維操作，即不能展示從已知數(shù)量出發(fā)，通過數(shù)字與符號(hào)的一系列操作求出未知數(shù)量的思維過程。

三、構(gòu)建加減法模型的教學(xué)策略

基于教材編排的邏輯順序，本文研究劃分構(gòu)建加減法模型的三個(gè)認(rèn)知階段，融合兒童積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提出每一階段相應(yīng)的教學(xué)策略。

（一）模型鋪墊階段：初步感受“整體與部分”的關(guān)系

拓展教材中“分與合”素材的學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓學(xué)生在活動(dòng)中充分感悟整體與部分的數(shù)量關(guān)系，為正式建立加減法模型做鋪墊。

活動(dòng)1：把一個(gè)整體拆分成兩部分的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

活動(dòng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生一邊操作學(xué)具一邊用數(shù)學(xué)語言描述分與合的活動(dòng)過程，把動(dòng)作表征與語言表征相互一一對(duì)應(yīng)，逐漸把日?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使思維外顯，初步感受到一個(gè)整體可以分成兩部分、兩部分可以合并成一個(gè)整體的模型思想。

活動(dòng)2：把一個(gè)整體拆分成若干部分。

在教學(xué)過程中可創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境：有8個(gè)圓片，你能把它們分成三堆、四堆、五堆……嗎？把你分的過程描述出來。學(xué)生面對(duì)這樣的開放性問題，會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的挑戰(zhàn)欲。教師應(yīng)先讓學(xué)生展示分與合的形式，然后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)表示分與合的結(jié)果，如圖4。用符號(hào)表征數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，雖然較之?dāng)?shù)學(xué)語言更抽象，但同時(shí)更能凸顯“整體與部分”的數(shù)量關(guān)系。

從教材“把一個(gè)整體拆分成兩部分”拓展到“把一個(gè)整體拆分成若干部分”的活動(dòng)，借助動(dòng)作表征、語言表征和符號(hào)表征等多種形式，豐富了“分與合”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中深刻體會(huì)到一個(gè)整體可以“分成”幾部分，也可以把幾部分“合并”成一個(gè)整體的思想，感悟到“整體”與“部分”的相互依存關(guān)系，為正式學(xué)習(xí)加減法模型奠定了厚實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。

（二）模型建立階段：多元表征凸顯“整體與部分”的關(guān)系

布魯納的多元表征理論表明，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解有多種方式，多種方式之間建立其聯(lián)系，才能深化概念的理解。在建立加減法模型的認(rèn)知階段，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方式表征加法和減法含義，并且體悟到盡管表征方式不同，但都表示“合并”與“去掉”的含義。

例如，教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)實(shí)情境表征、動(dòng)作表征、語義表征、符號(hào)表征等方式描述加減法模型，不同的表征方式都深刻反映加減法意義（見表格），讓學(xué)生經(jīng)歷了從具體到抽象的認(rèn)知過程，從動(dòng)作思維逐漸向數(shù)理邏輯思維過渡。

建立了加法和減法模型后，要告訴學(xué)生：“+”和“-”像“1、2、3……”一樣，都是數(shù)學(xué)的符號(hào)，它們一起能幫助我們解決許多數(shù)學(xué)問題。目的是讓學(xué)生親近抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的普適性，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)能簡(jiǎn)潔、抽象地表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界“整體與部分”的數(shù)量關(guān)系。

（三）模型鞏固階段：表征互相轉(zhuǎn)化達(dá)成深度理解

布魯納認(rèn)為，在人類智慧生長(zhǎng)期，有3種表征系統(tǒng)在起作用，即動(dòng)作表征、表象表征、符號(hào)表征。萊什在布魯納表征系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，又增加了兩種表征：口頭語言表征和現(xiàn)實(shí)情境表征。有學(xué)者認(rèn)為，要獲得真正意義上的理解，就要靈活地實(shí)現(xiàn)多種表征方式之間的轉(zhuǎn)化。

但是在實(shí)際教學(xué)中，教師往往使用單向表征加減法模型，如提供現(xiàn)實(shí)情境、小棒操作等素材，讓學(xué)生根據(jù)情境或操作列式計(jì)算，即從動(dòng)作表征轉(zhuǎn)換為符號(hào)表征，學(xué)生只經(jīng)歷從具體到抽象的建立模型過程，極少經(jīng)歷從抽象回到具體的深化模型過程。這是學(xué)生難以進(jìn)行內(nèi)在思維操作的原因之一，這既與教材編排的練習(xí)比例有關(guān)，也與教師沒能準(zhǔn)確掌握學(xué)生的認(rèn)知方式、認(rèn)知規(guī)律有關(guān)。

因此，在教學(xué)中要加強(qiáng)現(xiàn)實(shí)情境表征、加減法模型語義表征、動(dòng)作表征與符號(hào)表征的互相轉(zhuǎn)化，在抽象與具體的循環(huán)反復(fù)中把外化的動(dòng)作表征、現(xiàn)實(shí)情境表征轉(zhuǎn)化為語言表征、符號(hào)表征等內(nèi)在的思維操作，進(jìn)而深刻理解加減法模型。

例如，可設(shè)計(jì)看圖編數(shù)學(xué)題，或者說一說小棒拆分過程并列式計(jì)算等練習(xí)，旨在把情境表征、動(dòng)作表征轉(zhuǎn)化為語言表征、符號(hào)表征，經(jīng)歷從具體到抽象的建立模型過程;也可以設(shè)計(jì)根據(jù)算式意義擺小棒，或根據(jù)算式編一個(gè)數(shù)學(xué)故事，或者用圖畫表示算式的意義等練習(xí)，旨在將符號(hào)表征轉(zhuǎn)化為動(dòng)作表征、語言表征，經(jīng)歷從抽象回到具體的深化模型過程。

除此以外，教材和教師都比較重視“+”表示“合并”，“-”表示“去掉”的符號(hào)意義，但缺少引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)和理解“=”表示“等量”含義的教學(xué)設(shè)計(jì)。從數(shù)的計(jì)算角度看，“=”表示數(shù)的運(yùn)算結(jié)果，但是從數(shù)量關(guān)系的角度看，“=”蘊(yùn)含著左右兩邊數(shù)量等價(jià)的數(shù)學(xué)思想，這是加減法模型的內(nèi)涵之一。

因此，還可以設(shè)計(jì)以下的數(shù)學(xué)活動(dòng)，制作10個(gè)長(zhǎng)方形卡片，每張卡片對(duì)應(yīng)編上號(hào)碼1-10，其長(zhǎng)和寬的數(shù)值分別為下表。

選擇其中的卡片，使它們拼成的長(zhǎng)度一樣，如圖5所示。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)拼成的卡片列出加法或減法算式，通過圖形直觀，讓學(xué)生感受到上面與下面的長(zhǎng)方形卡片同樣長(zhǎng)，可以用“=”表示，就有算式2+3與數(shù)5相等，算式2+3與1+4相等。同樣，折疊數(shù)5的紙條，算式5-2與數(shù)3相等。不同的拼法、折疊法有不同的算式，就能列出不同的等式，讓學(xué)生深刻理解“=”所表示的數(shù)學(xué)意義，也更進(jìn)一步理解加減法模型。

建立加減法模型是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的認(rèn)知過程，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)乘除法模型有著重要作用。教師應(yīng)深入研讀教材，了解兒童活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)確地劃分構(gòu)建模型的三個(gè)認(rèn)知階段：模型的鋪墊、建立與鞏固階段。不同認(rèn)知階段有不同的認(rèn)知側(cè)重點(diǎn)，目的均是運(yùn)用操作、語言、游戲、圖畫、演示等多種教學(xué)策略，理解模型的核心——“合并與去掉”，體現(xiàn)加減法模型“整體與部分”的數(shù)量關(guān)系，努力尋找教材與兒童活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)契合點(diǎn)，幫助學(xué)生順利構(gòu)建加減法模型。

責(zé)任編輯 羅 峰