劉娜 顧利娟

【導讀】

“鴿巢問題”的教學內(nèi)容是人教版小學數(shù)學六年級下冊的“數(shù)學廣角”的內(nèi)容，讓學生初步感受“鴿巢原理”（也叫“抽屜原理”）。對于六年級學生而言，理解“鴿巢原理”的難度還是挺大的。對教師來說，上好“鴿巢問題”這一課是具有挑戰(zhàn)性的任務。

在本案例中，來自昆明市盤龍區(qū)昆明重工中學的劉娜老師引導學生經(jīng)歷“鴿巢問題”的完整學習過程，在豐富的情境變換中逐步揭開“鴿巢問題”的神秘面紗，取得了良好的教學效果。

【案例】

課堂實錄：

一、引入

師：同學們玩過搶凳子的游戲嗎？

……

師：這類問題在生活中有許多應用，我們接著往下看。

二、新課探究

（一）感性認知

師：思考以上問題，同學們認為，總有一個鴿巢里至少要飛進幾只鴿子？

生1：2只。

……

師：要回答這個問題，我們用數(shù)的分解的方法來分一分，4只鴿子飛進3個鴿巢，有哪些情況？請同學們在作業(yè)單上寫一寫。

學生作品代表：

師：我們按照一定順序分解，有以下4種情況。

師：只有這4種情況嗎？

生：只有這4種情況，因為分成1、1、2和分成2、1、1是同一種情況。

師：分完之后，我們來思考，什么叫“總有”？

生1：其中有一個。

生2：只要保證有，就叫總有。

師追問：“總有”是要求所有鴿巢里都要滿足條件嗎？

生：不是。只要有一個鴿巢滿足條件就可以了。

師：按第一種情況來看，總有一個鴿巢里至少有4只鴿子，對不對呢？

生（齊）：不對。

師追問：為什么？

……

師：那么，總有一個鴿巢里至少有3只鴿子，對不對呢？

……

師（追問）：為什么？

生1：總有一個鴿巢里至少有2只鴿子，至少兩只包含了所有情況。

生2：至少有2只的意思是可能有2只，也可能比2只多。

師：為什么不是至少1只？

……

師：要解決總有一個鴿巢里至少飛進幾只鴿子，鴿子要怎么飛，就是至少數(shù)2只了？

生1：飛的分散一點。

生2：把鴿子平均分進鴿巢。

師：照同學們所說，把4只鴿子平均分到三個鴿巢，先每個鴿巢分進一只鴿子。

師：那就是總有一個鴿巢里至少有1只鴿子呀？

生：還有1只鴿子飛在外面，還要加1。

師：加1加在哪里呢？

生：無論加在哪一個鴿巢里都可以。

師：這個平均分的過程，能列式表達嗎？

生（作業(yè)單上列式）：4÷3=1（只）……1（只）1+1=2（只）

……

（二）加深理解

師：現(xiàn)在，又飛來了一只鴿子，一共5只鴿子，飛進3個鴿巢?？傆幸粋€鴿巢里至少飛進幾只鴿子呢？請在作業(yè)單上列式。

學生作品：

師：哪種算法正確呢？為什么？

生1：第一種對。不能加2。也許這兩只鴿子不飛到同一個鴿巢，而是各飛各的。

生2：剩下的兩只鴿子，我們還要進行平均分。

師：平均分已經(jīng)使鴿巢里的鴿子盡量少了，只要這種情況符合要求，另外的情況肯定符合要求。

（三）歸納建模

師：像這樣的數(shù)學問題，我們把它叫做“鴿巢問題”，里面蘊含的這種數(shù)學原理叫做“鴿巢原理”。

（課件介紹德國數(shù)學家狄里克雷與“鴿巢原理”）

（四）回歸生活

1.回顧“搶凳子”游戲中，參與游戲的人，在坐凳子的時候，總是不約而同地盡量“平均”。

2.每13個人總有至少兩個人是同一屬相。

三、解決生活中的問題

1.超市有7個等待收銀通道，有30個人等待付款，總有一個收銀通道至少有幾個人？

2.有4個醫(yī)生坐診，有31個病人等待看病，總有一個醫(yī)生至少有幾個病人？

師：做題之前，先思考，什么相當于“鴿巢”，什么相當于“鴿子”？

（做完題之后，課件展示答案）

四、小結

你能說一說，生活中還有哪些鴿巢問題呢？（生回答略）

【思考】

“鴿巢問題”編排在小學六年級，從編排的順序上就體現(xiàn)了它的“分量”。怎樣引導學生從生活中的“鴿巢問題”現(xiàn)象逐步深入到問題的本質(zhì)？這確實是一個讓人頭疼的問題。

本案例中，劉娜老師創(chuàng)設豐富的教學情境，不斷豐富“鴿巢問題”的表現(xiàn)形式，最終帶領學生艱難地突破了認知瓶頸。特別是以下四個方面表現(xiàn)得尤為突出：

1.數(shù)形結合，降低難度?！傍澇矄栴}”之所以難以理解，是它紛繁的表象讓人眼花繚亂。假設有4只鴿子飛進3個鴿巢，以具體形象思維為主的小學生往往更關注4只鴿子的外表——黑、白、花、灰，還可能會關注每一個籠子的具體情況——左、中、右。每一只鴿子都可能飛進任意一個籠子，每一只鴿子都有可能和其他鴿子結伴共同進入一個籠子。這樣，4只鴿子飛進3個籠子的情況就比較復雜了。但是，如果我們4只鴿子用數(shù)字“4”來代替，把數(shù)字“4”拆分為三個數(shù)，列舉出可能存在的情況，“4只鴿子飛進3個籠子”的結果就大大簡化了。

2.數(shù)據(jù)離散，找出“總有”。為什么大部分學生之所以覺得“鴿巢問題”難以理解？數(shù)學語言與生活語言的差別是一大障礙。一些學生會認為：當3只鴿子都飛進了第一個籠子，最后一只鴿子飛進第三個籠子的時候。第二個籠子和第三個籠子都沒有達到“至少有兩只鴿子”的要求，怎么能說“總有”呢？通過動畫演示、畫圖實驗、數(shù)字拆分等途徑，學生終于明白了“總有”指的是“4只鴿子飛進3個籠子”這個場景的整體，而不是指某一個局部。通過對比數(shù)據(jù)的離散情況，“4只鴿子”這組數(shù)據(jù)的整體離散度越大，每個局部就越不均衡，就越可能出現(xiàn)“總有”的極端情況。

3.逐步分解，理解“至少”?；跀?shù)據(jù)的“離散度”（教學中老師并沒有出現(xiàn)這樣的專業(yè)名詞）觀察、比較，學生們發(fā)現(xiàn)了4只鴿子進入籠子越不“平均”，就越容易出現(xiàn)極端情況，就越有機會達成“總有一個籠子至少飛進兩只鴿子”的目標。如果要很好地做到“至少”，那就得讓這些鴿子進入籠子的情況盡量“平均”。在“平均”的基礎上出現(xiàn)了“余數(shù)”——落單的那只鴿子，它總得進入其中一個籠子，無論這只鴿子進入了哪個籠子，這個籠子就變成了“總有”的那一個，而且是“總有”當中的“最少”情況。

4.回歸生活，升華應用。在學生經(jīng)歷百轉千回的“艱辛”之后，終于對“鴿巢問題”的本質(zhì)有了深入理解。學生真的懂了嗎？需要我們回歸生活，在解決問題中加以檢驗。為什么要平均分呢？——再次回顧“搶凳子”的游戲，只有“傻子”才會去跟已經(jīng)坐了凳子的人搶，大家總是不約而同地奔著空凳子去，所以搶凳子的人在坐凳子的時候總是盡量“平均”?！懊?3個人總有至少有兩人是同一屬相”的問題就有些抽象了。有些學生囿于定式思維，會覺得這個問題好奇怪——我們班的13個人都是同齡人，肯定屬相相同啊，有必要提這樣的問題嗎？一時之間，學生的思維水平又回到了“最有利”情況中了。經(jīng)過老師的引導，學生跳出定式思維的影響，聯(lián)想到了13個人可能男女老少都有。從“最不利”的角度出發(fā)，這13個人的屬相可能各不相同，但是前面12人把所有屬相都占據(jù)了，第13個人的屬相總要和前面的一個人重復。

本課例中，劉老師并沒有歸納出計算的公式，而是抽絲剝繭般地耐心引導學生逐步深入探究“鴿巢問題”的本質(zhì)，體會平均分的策略價值——從“最不利”角度出發(fā)，反向證明“鴿巢問題”的正確性。