秦旺林， 劉士明， 李 聰， 孟麗霞

（沈陽(yáng)建筑大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110168）

0 引言

汽車(chē)起重機(jī)臂架因高層建筑施工需要而變得高聳，長(zhǎng)細(xì)比增大， 從而導(dǎo)致臂架變形呈現(xiàn)非線(xiàn)性變化而無(wú)法預(yù)期。 因此， 對(duì)汽車(chē)起重機(jī)臂架的變形分析顯得尤為重要，其非線(xiàn)性變形分析成為研究焦點(diǎn)之一[1-2]。 文獻(xiàn)[3]采用撓度放大系數(shù)法， 得到了伸縮臂端部在承受復(fù)雜載荷情況下的撓度表達(dá)式。王鑫[4]對(duì)大長(zhǎng)度伸縮臂的撓度問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí)， 考慮了軸力二階效應(yīng)和鉸支梁變形對(duì)臂架變形的影響。 文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Timoshenko 梁理論，采用位移、轉(zhuǎn)角獨(dú)立插值的方法，獲得了適用于變截面梁、等截面梁以及組合式梁桿結(jié)構(gòu)的切線(xiàn)剛度矩陣。王欣[6]針對(duì)承受橫向均布載荷的壓桿進(jìn)行了幾何非線(xiàn)性分析， 提出了一種新的解決方法。 上述文獻(xiàn)在對(duì)起重機(jī)臂架的撓度分析時(shí)，理論研究多集中在單一種類(lèi)臂架。而對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的主副臂結(jié)構(gòu)，其撓度問(wèn)題雖然有一些學(xué)者進(jìn)行了研究，但多是借助有限元軟件進(jìn)行仿真分析[7-8]。 由伸縮主臂與格構(gòu)式固定副臂組成的主副臂結(jié)構(gòu)為大長(zhǎng)細(xì)比結(jié)構(gòu)， 采用線(xiàn)性理論計(jì)算主副臂結(jié)構(gòu)的變形會(huì)引起較大的誤差[9]，需進(jìn)行幾何非線(xiàn)性分析。 同時(shí)《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB/T3811-2008中沒(méi)有給出主副臂結(jié)構(gòu)幾何非線(xiàn)性變形的數(shù)據(jù)和計(jì)算公式[10]，研究人員也沒(méi)有給出相關(guān)的理論計(jì)算公式。

本文以汽車(chē)起重機(jī)的伸縮主臂與慣性矩沿截面二次變化的格構(gòu)式固定副臂組成的主副臂結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，基于二階理論， 采用微分方程法建立主副臂結(jié)構(gòu)的撓曲微分方程，獲得其撓度表達(dá)式。 利用撓度表達(dá)式和有限元軟件ANSYS 對(duì)主副臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行撓度計(jì)算，將公式計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析， 以驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的撓度表達(dá)式的正確性。

1 主副臂結(jié)構(gòu)撓度表達(dá)式的建立

由于汽車(chē)起重機(jī)變幅油缸的軸向剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于伸縮臂的側(cè)向剛度， 變幅油缸與伸縮主臂鉸接點(diǎn)以下及起重機(jī)工作臺(tái)形成一個(gè)穩(wěn)定的三角形區(qū)域， 在工作中這部分基本不會(huì)產(chǎn)生變形。 因此，在圖1 所示的主副臂結(jié)構(gòu)中，將主副臂實(shí)際結(jié)構(gòu)等效為根部固定的懸臂梁，將伸縮主臂部分等效為多級(jí)階梯柱模型， 變截面格構(gòu)式固定副臂部分等效為慣性矩沿截面二次變化的變截面實(shí)腹式模型[6]，則圖1 實(shí)際主副臂結(jié)構(gòu)等效為圖2（a）的主副臂結(jié)構(gòu)計(jì)算模型。 圖2（b）為主副臂結(jié)構(gòu)在軸向力P、 側(cè)向力Q 以及彎矩M 作用下主副臂結(jié)構(gòu)的變形曲線(xiàn)， 臂端撓度值為δ。

圖1 具有主副臂結(jié)構(gòu)的起重機(jī)施工現(xiàn)場(chǎng)

圖2 主副臂結(jié)構(gòu)幾何非線(xiàn)性計(jì)算模型

圖2（a）中，伸縮主臂總長(zhǎng)為l，各臂節(jié)到固定端的長(zhǎng)度為li（i=1，2，…，n），每節(jié)伸縮臂的截面慣性矩為Ii（i=1，2，…，n）；固定副臂部分長(zhǎng)度為b，大端面截面慣性矩Ig1，小端面截面慣性矩為Ig2，副臂任意截面處截面慣性表示為Ig（x）=Ig2（L-x）2/a2，a 為固定副臂錐度部分長(zhǎng)度；主副臂結(jié)構(gòu)總長(zhǎng)度L=l+b，其材料的彈性模量為E，L=l+a+b。

基于小變形理論， 由圖2 列寫(xiě)出考慮軸力二階效應(yīng)的主副臂結(jié)構(gòu)撓曲微分方程：

設(shè)ki2=P/（EIi）（i=1，2，…，n），則式（1）的通解：

結(jié)合式（13）、（14）則式（11）表示為：

將式（10）代入式（15）中，得到系數(shù)An+1、Bn+1的遞推表達(dá)式：

2 主副臂結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性變形的算例分析

以圖3 所示6 節(jié)伸縮主臂與變截面格構(gòu)式固定副臂組成的主副臂結(jié)構(gòu)模型為例，在主副臂結(jié)構(gòu)的臂端施加軸向力P、側(cè)向力Q 以及彎矩M，并對(duì)其進(jìn)行非線(xiàn)性變形分析，將有限元軟件ANSYS 的仿真分析結(jié)果與撓度表達(dá)式（20）計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所推撓度表達(dá)式的正確性。

圖3 6 節(jié)伸縮主臂的主副臂結(jié)構(gòu)受力模型

2.1 主副臂結(jié)構(gòu)參數(shù)的說(shuō)明

在圖3 中，伸縮主臂總長(zhǎng)度l=70m，基本臂截面慣性矩I1=0.04326m4， 各 臂 節(jié) 長(zhǎng) 度l1=0.2l，l2=0.4l，l3=0.6l，l4=0.8l，l5=0.9l，l6=l， 各臂節(jié)截面慣性矩I2=I1/1.3，I3=I2/1.3，I4=I3/1.6，I5=I4/1.6，I6=I5/1.6。 固定副臂部分，錐度系數(shù)λ=4，副臂大端面橫截面為方形H=0.75m， 主弦桿橫截面為方形hx=0.072m，斜腹桿橫截面為方形hxf=0.06m，橫腹桿橫截面為方形hhf=0.06m，斜腹桿與主弦桿的夾角為α，固定副臂單層高0.5m，副臂長(zhǎng)度b=0.5n。 主副臂結(jié)構(gòu)總長(zhǎng)度L=l+b，彈性模量為E=2.05×1011Pa。 在圖4 中給出了工程中常用的4 種四肢變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)展開(kāi)圖。

圖4 常見(jiàn)變截面構(gòu)件腹桿布置形式

式（20）計(jì)算所用大端面截面慣性矩Ig1=Idx，Idx采用式

（21）計(jì)算[11]，小端面截面慣性矩Ig2=Ig1/λ2。

式中：Idx—等截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)等效為實(shí)腹式結(jié)構(gòu)的慣性矩；I—肢桿對(duì)中性慣性矩之和（I=H2hx2+hx4/3），hx—主弦桿尺寸；η—腹桿影響系數(shù)，見(jiàn)表1。

表1 腹桿影響系數(shù)

表 中λ1=1/（EAxH2），λ2=1/（EAxfH2cos2αsin2α），λ3＝tanα/（EAhf），b—副臂長(zhǎng)度，Ax、Axf、Ahf分別為主弦桿截面面積、斜腹桿截面面積、 橫腹桿截面面積；H—固定副臂大端面截面尺寸；n—副臂層數(shù)。

2.2 算例分析

在ANSYS 中建立6 節(jié)伸縮臂與格構(gòu)式固定副臂的仿真模型見(jiàn)圖5， 其伸縮主臂采用Beam44 單元建立，實(shí)際的變截面格構(gòu)式固定副臂采用Beam188 單元建立。

圖5 ANSYS 模型

以6 節(jié)伸縮主臂和不同固定副臂組成的4 種主副臂結(jié)構(gòu)為例，利用理論公式（20）和有限元軟件ANSYS 對(duì)由圖3 中伸縮主臂與圖4 中格構(gòu)式副臂組成的4 種主副臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何非線(xiàn)性分析。表2、表3、表4 和表5 給出給出了A 型、B 型、C 型和D 型4 種主副臂結(jié)構(gòu)在軸向力P=100kN，側(cè)向力Q=30kN 及彎矩M=80kN·m 作用下的撓度值，誤差為ANSYS 仿真結(jié)果與理論公式式（20）計(jì)算結(jié)果之間的誤差。

由表2、表3、表4 和表5 可知，不同形式的格構(gòu)式固定副臂組成的4 中主副臂結(jié)構(gòu)， 其理論公式計(jì)算結(jié)果與ANSYS 仿真分析結(jié)果的最大誤差分別為0.5%、0.15%、0.86%和0.73%，表2 到表5 理論公式計(jì)算結(jié)果與仿真分析結(jié)果之間誤差均小于1%。 算例分析結(jié)果表明：本文推導(dǎo)的主副臂結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性變形表達(dá)式是正確的， 可以應(yīng)用于實(shí)際主副臂結(jié)構(gòu)的幾何非線(xiàn)性變形計(jì)算。

表2 A 型副臂的主副臂結(jié)構(gòu)撓度值

表3 B 型副臂的主副臂結(jié)構(gòu)撓度值

表4 C 型副臂的主副臂結(jié)構(gòu)撓度值

表5 D 型副臂的主副臂結(jié)構(gòu)撓度值

3 結(jié)論

本文對(duì)伸縮主臂與變截面格構(gòu)式固定副臂組成的主副結(jié)構(gòu)進(jìn)行了幾何非線(xiàn)性分析，其研究結(jié)論如下：

（1）基于縱橫彎曲理論，建立了主副臂結(jié)構(gòu)的撓曲微分方程，結(jié)合各臂節(jié)間的邊界條件，推導(dǎo)了以遞推形式表示的主副臂結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性變形表達(dá)式。

（2）利用所推導(dǎo)的非線(xiàn)性變形表達(dá)式和ANSYS 仿真，計(jì)算了6 節(jié)伸縮主臂和不同形式的固定副臂組成的4 種主副臂結(jié)構(gòu)的幾何非線(xiàn)性變形， 并將理論公式的計(jì)算結(jié)果和ANSYS 仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析， 其最大誤差均在1%以?xún)?nèi)。

（3）分析結(jié)果表明：推導(dǎo)的理論計(jì)算公式在對(duì)多種副臂形式的主副臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何非線(xiàn)性變形計(jì)算時(shí)， 表現(xiàn)出較高的計(jì)算精度， 證明本文推導(dǎo)的主副臂結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性變形表達(dá)式是正確的，可以滿(mǎn)足工程實(shí)際應(yīng)用。