江駿杰,鄧冬梅

(華南師范大學(xué) 廣東省微納光子功能與器件重點實驗室，廣東 廣州 510631)

0 引言

2010年，Efremidis[1]等人首次提出了具有激增自聚焦特性的徑向?qū)ΨQ波包。這類光束有一個特殊的性質(zhì)，即在傳播過程中，它們的最大強(qiáng)度幾乎保持不變，而在焦點處突然以數(shù)量級激增。與克爾介質(zhì)(Kerr Media)產(chǎn)生的自聚焦效應(yīng)不同的是，這類光束的自聚焦是純線性的，是光場結(jié)構(gòu)本身的結(jié)果[2]。隨后，Efremidis[3]和Panagiotopoulos[5]通過實驗證實這種光束確實存在。激增自聚焦光束在燒灼點的形成[3]，介電微粒子的光學(xué)捕獲和操縱[4,6,7]以及非線性強(qiáng)光子彈的產(chǎn)生[5]有著獨特的應(yīng)用前景。然而，對于傳統(tǒng)的自聚焦光束而言，即環(huán)艾里高斯光束，對于較長的傳播距離時，其自聚焦能力由于焦平面強(qiáng)度相對較低而受到限制。

1987年，Durnin等人推導(dǎo)出亥姆霍茲方程的精確解，即貝塞爾模式，是非衍射光束族的重要成員[8-10]。由于貝塞爾光束的準(zhǔn)無衍射特性，它可以應(yīng)用于不同的領(lǐng)域，如光學(xué)操控[11]、自由空間光通信[12,13]、顯微鏡成像[14]等。

光學(xué)渦旋(Optical Vortices)是一種具有螺旋相位波前，帶有軌道角動量(OAM)，能夠攜帶不同拓?fù)潆姾蓴?shù)的光束。對于有l(wèi)個拓?fù)浜傻臏u旋光束，繞光束傳播方向(z軸)一周，相位改變2lπ，光束橫截面中心處振幅為0，在z軸上存在相位奇異。渦旋光束在光通信[15-17]、光學(xué)捕獲[18]、光學(xué)顯微鏡[19]等方面有廣泛的應(yīng)用。近年來，嵌入不同類型自動聚焦光束的渦旋光束得到了廣泛的研究[20-23]。

根據(jù)現(xiàn)有研究成果，提出一種可以在長距離內(nèi)實現(xiàn)焦平面強(qiáng)度較高的自聚焦新型圓貝塞爾高斯渦旋光束(Circular Bessel Gaussian Vortex Beams，簡稱CBGVBs)，并系統(tǒng)的研究了它在自由空間的傳播特性。

1 同軸渦旋的自聚焦圓貝塞爾高斯渦旋光束的傳播特性

我們假定CBGVBs在自由空間中傳播，在傍軸光學(xué)系統(tǒng)中，波的復(fù)包絡(luò)服從傍軸亥姆霍茲方程，即

(1)

在柱坐標(biāo)系中，帶有同軸渦旋的CBGVBs初始光場表達(dá)式為

(2)

其中C為控制初始輸入功率的無量綱常數(shù)，Jn為n階第一類貝塞爾函數(shù)，當(dāng)n=0時，r0為主環(huán)的半徑，當(dāng)n>0時，r0為兩個主環(huán)的中點(如圖1(a)所示)，w0為長度參數(shù)，m為拓?fù)浜蓴?shù)，a為控制初始光束衰減的衰減系數(shù)，z為光束傳播距離。

圖1 (a) CBGVBs的橫截面光場分布；(b) CBGVBs的初始強(qiáng)度I0與r的關(guān)系

由于CBGVBs在自由空間的傳播解析表達(dá)式難以求出，我們這里將采用分步傅里葉循環(huán)的方法[24]來數(shù)值模擬其傳播過程。若未作其他特殊說明，本文的部分參數(shù)選取如：C=1,r0=3 mm，w0=20 μm，a=0.001，n=1，λ=632.8 nm。

圖1給出了部分CBGVBs的橫向截面圖以及光場分布情況，其中I0代表初始平面的光強(qiáng)，為了現(xiàn)象更加明顯，這里我們?nèi)0=1 mm，m=0。從圖1我們可以看到，初始強(qiáng)度分布是關(guān)于r=r0對稱的。從圖1(a)我們可以看到，零階CBGVBs在r=r0處有一個主環(huán)，而高階的CBGVBs則有兩個環(huán)且對稱分布在r=r0的兩側(cè)。注意到在光束內(nèi)部區(qū)域(rr0)卻有著剛好相反的行為。從圖1我們可以看到，隨著階數(shù)n的不斷增大，強(qiáng)度為0的區(qū)域也會不斷變大。因此，當(dāng)n較低時，r=r0處的空心區(qū)域較小，外圈和內(nèi)圈引起的聚焦變得很近，這可能會增強(qiáng)自動聚焦特性。為了更好地展現(xiàn)CBGVBs的聚焦特性，下文中的討論我們都令n=1。

圖2展示了當(dāng)m=0時，光束初始半徑r0對聚焦特性的影響。圖2(a)的縱坐標(biāo)Imax/I0為歸一化強(qiáng)度(任意位置的最大強(qiáng)度與初始輸入強(qiáng)度的比值)，而(c)中的FWHM為半高全寬(full width at half maximum)。從圖2(a)我們可以看出隨著r0的增加，歸一化強(qiáng)度也隨著光束功率的增加而增加。從圖2(b)(c)中可以看出，CBGVBs的焦距和半高全寬幾乎隨r0的增加而線性增加。然而，如圖2(d)所示，即使r0發(fā)生改變，焦平面內(nèi)的光斑大小基本不變，半徑約為53.7μm，因此，當(dāng)我們縮放光斑的初始尺寸r0時，光束的聚焦特性即聚焦強(qiáng)度，焦距及半高全寬會同時發(fā)生改變。

圖2 聚焦特性與r0的關(guān)系 (a) Imax/I0與r0的關(guān)系；(b) 聚焦位置與r0的關(guān)系；(c) 半高全寬與r0的關(guān)系；(d) 不同r0對應(yīng)的焦平面橫向分布

圖3給出了m=0和m=1的傳播側(cè)視圖(z-y圖)及部分截面圖，其中colorbar代表歸一化強(qiáng)度I/I0max(任意位置處的強(qiáng)度與初始輸入強(qiáng)度最大值的比值)，從圖3的(a1)、(b1)可以看出CBGVBs沿z軸傳播的過程中，強(qiáng)度不斷增加，并在焦平面前激增自聚焦。同時，圖3的(a4)、(b4)以及圖2的(d)表明光束在達(dá)到焦平面前，光斑不斷縮小，即強(qiáng)度不斷向光束中心聚焦。與傳統(tǒng)的圓貝塞爾光束相比(m=0)，當(dāng)m=1時，CBGVBs沿z軸存在一個由同軸渦旋引起的中空通道。從圖4(b)我們可以看到，當(dāng)m>0時，CBGVBs的歸一化強(qiáng)度比m=0時要小得多。并且當(dāng)m增大時，光束的歸一化強(qiáng)度變小，而光束中心的零強(qiáng)度區(qū)域變大。這一特殊性在粒子捕獲這一應(yīng)用中有著極其重要的作用。近年來，圓貝塞爾光束已被廣泛應(yīng)用于粒子的操縱和捕獲[10]，與普通的光鑷設(shè)置相比，因其突自聚焦特性而使用了放大率較低的物鏡。但由于其在焦點處的強(qiáng)度分布不是中空的，傳統(tǒng)的圓貝塞爾光束(m=0)不適合捕獲折射率小于周圍介質(zhì)的微粒。并且傳統(tǒng)貝塞爾光束并不攜帶軌道角動量，這在光扳手以及光鑷的應(yīng)用上是非常不利的。因此，焦平面為存在中空區(qū)域且攜帶軌道角動量的圓貝塞爾高斯渦旋光束有著更廣泛的應(yīng)用。此外，拓?fù)浜蔀閙=0，1，2的CBGVBs分別在z=65.2，65.6，65.8 cm處聚焦。可以看到，當(dāng)m上升時，聚焦位置也會稍稍后移。

圖3 CBGVBs的傳播側(cè)視圖及部分截面圖 (a)m=0；(b)m=1 其中(a)(b)圖的坐標(biāo)上下對應(yīng)

圖4 (a) CBGVBs傳播過程中的歸一化強(qiáng)度與z和m的關(guān)系圖；(b) CBGVBs在焦平面處的歸一化強(qiáng)度與r和m的關(guān)系圖

2 對稱雙離軸渦旋的圓貝塞爾高斯光束的傳輸特性

近幾十年來，如何產(chǎn)生高質(zhì)量的渦旋光場成為人們研究的一個熱點內(nèi)容，這其中就包括無衍射光束[25]。然而，在產(chǎn)生渦旋光束的過程中，較難保證渦旋軸與傳播軸完全重合，也就是說產(chǎn)生的渦旋具有一定的離軸量。因此，研究離軸渦旋的圓貝塞爾高斯光束是十分有必要的，為了計算簡便，我們假定兩個渦旋沿x軸對稱放置，則其光場表達(dá)式可寫為

(3)

其中±代表渦旋方向，即拓?fù)浜蔀?+1,-1)或(+1,+1)，兩個渦旋的初始距離為2rk。

從圖5(a1)-(b4)中，我們可以發(fā)現(xiàn)拓?fù)浜蔀?+1,+1)的兩個光學(xué)渦旋疊加時，二者都有向中心收攏的趨勢，并在焦平面處重疊但不完全重合(從相位圖可以看出)，同時，在光束的中心附近有兩個中空洞，歸一化強(qiáng)度較低。從相位圖上可以看出，在光源附近存在兩個相鄰的奇點，即在傳播過程中有兩個相同的渦旋向光束中心偏移。然而，如果兩個相反的渦旋加在CBGVBs上，它們在傳播過程中發(fā)生碰撞并湮滅。歸一化強(qiáng)度分布圖(圖5(b4))和相位圖與m=0時CBGVBs的情況相似，只是焦平面的主瓣略微向上移動。

圖5 CBGVBs部分傳播側(cè)視圖，其中(a4)(b4)分別為焦平面(z=65.8，65.9 cm)的歸一化強(qiáng)度和相位圖，其中(a1)-(a4)的拓?fù)浜蔀?+1,+1)，rk=1.5 mm，(b1)-(b4)的拓?fù)浜蔀?+1,-1)，rk=1.5 mm

接下來，我們將研究不同渦旋位置而產(chǎn)生的影響。我們分別將渦旋放置在初始光束中空區(qū)域(rk=r0)以及區(qū)域外部(rk>r0)。如圖6所示，當(dāng)rk=r0時，其傳播情況與rk=1.5 mm類似，但其沿x軸存在一條縫隙。焦平面內(nèi)沿y軸存在兩個主瓣，從其相位圖我們可以看出，兩個主瓣之間的相位差近似為π，相位沿x軸分布混亂。如圖6(b1)-(b4)所示，當(dāng)兩個相反的渦旋位于入射光束的兩個主環(huán)外時，焦平面的主瓣向下位移，與圖5(b1)-(b4)中的情況相反。

圖6 CBGVBs部分傳播側(cè)視圖，其中(a4)(b4)分別為焦平面(z=65.7 cm，z=65.2 cm)的歸一化強(qiáng)度和相位圖，其中(a1)-(b4)的拓?fù)浜删鶠?+1,-1),(a1)-(a4)中rk=3 mm，(b1)-(b4)中rk=4.5 mm

4 結(jié)論

本文系統(tǒng)地研究了CBGVBs在自由空間的傳播特性，我們發(fā)現(xiàn)可以通過改變輸入光束的尺寸r0來控制聚焦位置、聚焦強(qiáng)度和半高全寬。與傳統(tǒng)的自聚焦光束相比，CBGVBs可以在更長的距離和更小的衍射范圍內(nèi)自動對焦。同時，得益于光學(xué)渦旋的作用，我們發(fā)現(xiàn)CBGVBs在焦平面處有一個中空區(qū)域，這一特性在捕獲折射率小于周圍介質(zhì)的微粒有著重要的應(yīng)用前景。除此之外，我們還討論了帶有雙對稱離軸渦旋的CBGVBs的性質(zhì)，通過改變rk以及渦旋形式，渦旋會發(fā)生重疊，碰撞湮滅等等現(xiàn)象。