劉士明，趙越贏，孟麗霞

（沈陽建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

1 引言

伸縮臂是輪式起重機(jī)最重要的承載部件，當(dāng)?shù)醣燮鹕?、下降或突然卸載的過程中，伸縮臂結(jié)構(gòu)可能發(fā)生參數(shù)共振現(xiàn)象。在我國《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB∕T3811-2008中，將起重機(jī)伸縮臂靜力穩(wěn)定性分析模型等效為變截面階梯柱，經(jīng)研究證明是符合工程實(shí)際的[1-2]。因此，在計(jì)及油缸作用的起重機(jī)伸縮臂參數(shù)振動分析中，根據(jù)受力特點(diǎn)起升平面內(nèi)伸縮臂簡化為根部彈性支撐、上端自由的變截面階梯柱模型，起升平面外伸縮臂簡化為根部固支的變截面階梯柱模型。文獻(xiàn)[3]提出了解決周期載荷作用下的動力穩(wěn)定性問題，以結(jié)構(gòu)動力不穩(wěn)定區(qū)的形式進(jìn)行表達(dá)。文獻(xiàn)[4]通過梁柱的動力微分方程，研究了直桿在周期載荷作用下的動力穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[5]研究了周期載荷下復(fù)合材料懸臂梁的動力不穩(wěn)定性，推導(dǎo)其動力學(xué)方程，并對不同參數(shù)組合成的組合梁進(jìn)行參數(shù)振動分析。文獻(xiàn)[6]應(yīng)用Hamilton原理研究了雙柱懸索拉線塔塔柱參數(shù)共振，根據(jù)Bolotin提供的方法建立臨界頻率方程，從而得到塔柱的主要動力不穩(wěn)定區(qū)。然而，上述方法只適用于一些簡單且截面連續(xù)變化的結(jié)構(gòu)，不適用復(fù)雜桿系結(jié)構(gòu)。因此一些學(xué)者嘗試應(yīng)用有限單元法求解結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[7]釆用有限元方法研究空間桿系結(jié)構(gòu)的動力失穩(wěn)區(qū)域，通過Ansys和Matlab軟件進(jìn)行編程模擬，并將分析結(jié)果與Bolotin方法進(jìn)行對比。文獻(xiàn)[8]采用有限單元法建立了空間網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)動力失穩(wěn)的主動控制方程，通過研究發(fā)現(xiàn)可以通過主動控制避開或減小結(jié)構(gòu)動力失穩(wěn)區(qū)域。文獻(xiàn)[9-10]采用有限單元法研究了起重機(jī)在周期載荷作用下起升平面外的伸縮臂的動力穩(wěn)定性，對起升平面內(nèi)沒有研究，且忽略了變幅油缸的影響。

因此，將考慮變幅油缸的影響，運(yùn)用Hamilton原理結(jié)合有限單元法，建立以Mathieu方程形式表達(dá)的伸縮臂參數(shù)振動方程，研究起重機(jī)伸縮臂動力不穩(wěn)定區(qū)域，為起重機(jī)伸縮臂的設(shè)計(jì)計(jì)算提供依據(jù)，以指導(dǎo)工程實(shí)際應(yīng)用。

2 伸縮臂參數(shù)振動的等效模型

在以往的伸縮臂穩(wěn)定性分析中，為了方便計(jì)算，都忽略了變幅液壓缸的影響，得到的結(jié)果很難符合實(shí)際工程中的需求。為充分考慮變幅油缸的影響，建立計(jì)及變幅油缸的伸縮臂平面內(nèi)的受力模型，如圖1所示。在起升平面內(nèi)液壓油缸提供轉(zhuǎn)動的自由度，假設(shè)油缸的剛度為無窮大，則伸縮臂油缸以下的基本臂即l0段連同變幅油缸可以等效為一個轉(zhuǎn)動剛度為K1的彈性支撐。

圖1 油缸轉(zhuǎn)動剛度計(jì)算模型Fig.1 Cylinder Rotational Stiffness Calculation Model

文獻(xiàn)[11]給出了K1的計(jì)算方法，長度為l0的兩端鉸接柱在頂端受力矩M時其柱段轉(zhuǎn)角為：

當(dāng)令M=1時，得到柱端柔度，其倒數(shù)就是所求的液壓油缸的轉(zhuǎn)動剛度：

因此，起重機(jī)伸縮臂在軸向周期載荷P（t）作用下起升平面內(nèi)動力穩(wěn)定性分析等效模型，如圖2所示。即為根部彈性支撐的多級階梯柱模型。

圖2 平面內(nèi)伸縮臂的動力穩(wěn)定分析模型Fig.2 Dynamic Stability Analysis Model of Telescopic Arm in Plane

在起升平面外變幅油缸不能承受載荷，因此，根據(jù)受力特點(diǎn)將起重機(jī)伸縮臂在軸向周期載荷P（t）作用下起升平面外動力穩(wěn)定性分析模型等效為伸縮臂根部固定的懸臂階梯柱模型，如圖3所示。

圖3 平面外伸縮臂的動力穩(wěn)定分析模型Fig.3 Dynamic Stability Analysis Model of Out-of-Plane Telescopic Arm

3 參數(shù)振動方程和臨界頻率方程

由參考文獻(xiàn)[9]可知，忽略軸力P（t）引起的軸向位移，根據(jù)能量原理，單元的動能T e、彎曲應(yīng)變能、外力做功的值為：

式中：f y(x，t)—單元的橫向位移；l—單元長度；E—彈性模量；A—截面面積；I—慣性矩；ρ—密度。

令梁單元的質(zhì)量矩陣為M e，線性剛度矩陣為K e0，單位幾何剛度矩陣為S e，根據(jù)非線性有限元理論得到：

設(shè)周期載荷P(t)=P0+P tcosθt，將式（6）和式（7）代入拉格朗日方程，得到無阻尼時系統(tǒng)的參數(shù)振動方程：

在組裝系統(tǒng)的整體剛度矩陣時，考慮到液壓油缸提供轉(zhuǎn)動剛度的影響，應(yīng)將油缸的等效彈簧剛度K1加到剛度矩陣K0中：

考慮阻尼時，整個系統(tǒng)的參數(shù)振動方程變?yōu)椋?/p>

在工程上常將其它形式的阻尼按照它們在一個周期內(nèi)能量耗損相等的原則，折算成等效粘性阻尼，則此時系統(tǒng)的阻尼矩陣的表達(dá)式為：

式中：α—頻率無關(guān)的常數(shù)。

將式（11）代入式（10）得到考慮阻尼時伸縮臂的參數(shù)振動方程為：

式中：β—無量綱阻尼系數(shù)

式（10）和式（12）是Mathieu方程，由方程性質(zhì)可知，方程的解具有周期性，周期分別為2T和T。令其解的表達(dá)式分別為：

將式（13）和（14）分別代入式（12）中。令sin(kθt∕2)和cos(kθt∕2)的同類項(xiàng)系數(shù)等于零，得到兩個齊次線性方程組，令矩陣的系數(shù)行列式為零，則可得到有阻尼時的臨界頻率方程：

工程實(shí)際中最危險(xiǎn)的是k=1（第一動力不穩(wěn)定區(qū)域）和k=2（第二動力不穩(wěn)定區(qū)域），所以令k=1、2，則有阻尼時第一和第二動力不穩(wěn)定區(qū)域的臨界頻率方程分別為：

令β=0，可得無阻尼時的第一和第二動力不穩(wěn)定區(qū)域的臨界頻率方程：

4 算例分析

以工程中常見的五節(jié)起重機(jī)伸縮臂為例，研究伸縮臂在周期載荷P(t)=P0+P tcosθt作用下伸縮臂的動力穩(wěn)定性即參數(shù)振動，其平面內(nèi)和平面外動力穩(wěn)定性計(jì)算模型，如圖4、圖5所示。

圖4 平面內(nèi)五節(jié)臂計(jì)算簡化模型Fig.4 Simplified Model for Plane Five-Section Arm Calculation

圖5 平面外五節(jié)臂計(jì)算簡化模型Fig.5 Simplified Model for Out-of-Plane Five-Section Arm Calculation

變截面階梯梁的總長度為L=30m，各段長度分別為l1=0.24L，l2=0.19L，l3=0.19L，l4=0.19L，l5=0.19L。彈性模量E=200GPa，截面慣性矩I1=1.1786×10-2m4，I2=I1∕1.3，I3=I2∕1.3，I4=I3∕1.3，I5=I4∕1.3，密度ρ=7800kg∕m3，變幅油缸上鉸點(diǎn)以下基本臂的長度l0=3m，圖中l(wèi)′=l1-l0。為了便于分析動力不穩(wěn)定區(qū)域，設(shè)P0=0，主要研究其第一、二動力不穩(wěn)定區(qū)。橫坐標(biāo)定為載荷幅值P t，縱坐標(biāo)定為臨界振動頻率θ*，做出伸縮臂在平面內(nèi)和平面外的動力穩(wěn)定性分析曲線，如圖6、圖7所示。將平面內(nèi)外的第一動力不穩(wěn)定區(qū)疊加比較，如圖8所示。

圖6 平面內(nèi)動力穩(wěn)定性曲線Fig.6 In-Plane Dynamic Stability Curve

圖7 平面外動力穩(wěn)定性曲線Fig.7 Out-of-Plane Dynamic Stability Curve

圖8 平面內(nèi)和平面外動力不穩(wěn)定區(qū)比較Fig.8 Comparison of In-Plane and Out-of-Plane Dynamic Instability Regions

使用Newmark積分獲得圖8中A、B、C、D、E、F六個位置的動力學(xué)響應(yīng)，以此來驗(yàn)證結(jié)構(gòu)的動力不穩(wěn)定區(qū)域。這6個點(diǎn)的振動頻率和幅值，如表1所示。當(dāng)阻尼為零時，平面內(nèi)點(diǎn)A～F的動力響應(yīng)，如圖9～圖14所示。

圖9 A點(diǎn)平面內(nèi)和平面外的動力響應(yīng)Fig.9 Dynamic Response in and out of Plane A

圖14 F點(diǎn)平面內(nèi)和平面外的動力響應(yīng)Fig.14 Dynamic Response in and out of Plane F

表1 A～F 6個點(diǎn)的振動幅值和頻率Tab.1 Vibration Amplitude and Frequency of 6 Points from A to F

由圖9可以看出，A點(diǎn)在平面內(nèi)是有限位移的穩(wěn)定振動，在平面外振動幅值隨時間的增長逐漸增大，所以A點(diǎn)在平面內(nèi)是穩(wěn)定的，在平面外是不穩(wěn)定的；由圖10看出，B點(diǎn)在平面內(nèi)是不穩(wěn)定的，在平面外是由頻率不同但振動幅值相差很小的兩個簡諧振動合成的，是穩(wěn)定的；由圖11看出，C點(diǎn)在平面內(nèi)外的振動幅值均隨時間成指數(shù)增長，是不穩(wěn)定的；由圖12看出，D點(diǎn)在平面內(nèi)是穩(wěn)定的，在平面外振幅由相對穩(wěn)定逐漸減小，因此在平面外處于動力穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)的邊界上。

圖10 B點(diǎn)平面內(nèi)和平面外的動力響應(yīng)Fig.10 Dynamic Response in and out of Plane B

圖11 C點(diǎn)平面內(nèi)和平面外的動力響應(yīng)Fig.11 Dynamic Response in and out of Plane C

圖12 D點(diǎn)平面內(nèi)和平面外的動力響應(yīng)Fig.12 Dynamic Response in and out of Plane D

由圖13看出，E點(diǎn)與F點(diǎn)的情況正好相反，E點(diǎn)在平面內(nèi)處于動力穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)邊界上，在平面外是穩(wěn)定的；由圖14看出，在平面內(nèi)外，F(xiàn)點(diǎn)均為穩(wěn)定的；由上述結(jié)論可以得出，結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)和平面外的穩(wěn)定情況是不完全相同的，為了安全施工，應(yīng)同時考慮平面內(nèi)和平面外的穩(wěn)定性。當(dāng)存在阻尼時，動力不穩(wěn)定區(qū)發(fā)生改變，如圖15所示。將平面外有阻尼和無阻尼的第一動力不穩(wěn)定區(qū)比較，可以看出虛線部分（阻尼為0.2）的面積小于實(shí)線部分（無阻尼）的面積，說明阻尼使動力不穩(wěn)定區(qū)的面積減小即系統(tǒng)更穩(wěn)定。

圖13 E點(diǎn)平面內(nèi)和平面外的動力響應(yīng)Fig.13 Dynamic Response in and out of Plane E

圖15 五節(jié)臂平面外第一動力不穩(wěn)定區(qū)Fig.15 Five-Section Arm First Dynamic Instability Zone

圖17 有阻尼B點(diǎn)動力響應(yīng)Fig.17 Damped B-Point Dynamic Response

當(dāng)阻尼為0.2時，對圖中3個點(diǎn)進(jìn)行動力響應(yīng)分析，如圖16～圖18所示。對比發(fā)現(xiàn)，A，B兩點(diǎn)振動幅度隨時間減小最終趨于穩(wěn)定，得出阻尼使A點(diǎn)由動力不穩(wěn)定變?yōu)閯恿Ψ€(wěn)定狀態(tài)，B點(diǎn)從邊界變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)，C點(diǎn)的動力穩(wěn)定性沒有變化。由上述結(jié)論可以看出，阻尼的存在會改變動力不穩(wěn)定區(qū)，使動力不穩(wěn)定區(qū)域減小。

圖16 有阻尼A點(diǎn)動力響應(yīng)Fig.16 Damped A-Point Dynamic Response

圖18 有阻尼C點(diǎn)動力響應(yīng)Fig.18 Damped C-Point Dynamic Response

5 結(jié)論

（1）建立了計(jì)及變幅油缸作用下伸縮臂起升平面內(nèi)和平面外參數(shù)振動分析模型，推導(dǎo)了起重機(jī)伸縮臂的參數(shù)振動方程和臨界頻率方程。

（2）以典型的五節(jié)起重機(jī)伸縮臂為例，繪制了伸縮臂動力穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域，并取六點(diǎn)進(jìn)行動力響應(yīng)分析。分析結(jié)果表明：伸縮臂起升平面內(nèi)和平面外可同時發(fā)生參數(shù)共振現(xiàn)象，平面外的臨界頻率略高于平面內(nèi)的臨界頻率。6個特殊點(diǎn)的動力學(xué)響應(yīng)結(jié)果表明，伸縮臂參數(shù)振動分析的結(jié)果是正確的。

（3）通過分析阻尼對伸縮臂動力穩(wěn)定性的影響可知，阻尼的存在能減小動力不穩(wěn)定區(qū)域，且在振動幅值Pt較小的情況下伸縮臂不會出現(xiàn)參數(shù)共振現(xiàn)象。