葉建國

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什 844000)

0 引言

在逆散射問題中，交互關(guān)系刻畫了散射場(chǎng)或遠(yuǎn)場(chǎng)的某種對(duì)稱性（包括散射場(chǎng)與散射場(chǎng)、散射場(chǎng)與遠(yuǎn)場(chǎng)、遠(yuǎn)場(chǎng)與遠(yuǎn)場(chǎng)），通過交互關(guān)系，在數(shù)學(xué)上揭示了交換源（source）和接收器（receiver）的角色的合理性[1-2].混合交互關(guān)系在傳輸逆散射問題的理論研究中起著非常重要的作用，如在礦產(chǎn)資源的勘探、材料的無損檢測(cè)、醫(yī)學(xué)成像、雷達(dá)和聲吶的探測(cè)等實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)目標(biāo)障礙物或介質(zhì)有一部分無法使用接收器搜集數(shù)據(jù)時(shí)，必須通過混合交互關(guān)系來簡(jiǎn)化問題[3-6].本文研究了一類帶有傳導(dǎo)邊界條件的非均勻傳輸逆散射問題的混合交互關(guān)系，并給出問題對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)的遠(yuǎn)場(chǎng)G∞與全場(chǎng)u、穿透場(chǎng)v的交互關(guān)系刻畫，為重構(gòu)散射體做好理論準(zhǔn)備.

1 問題的描述

設(shè)可穿透障礙物Ω∈?3為開的單連通區(qū)域具有C2邊界S.設(shè)障礙物Ω內(nèi)外介質(zhì)不一樣且表面涂有阻抗率為λ＞0 電導(dǎo)涂層,電場(chǎng)極化為TM 模式,當(dāng)入射方向?yàn)閐∈S2?{x∈?3：|x|=1}的入射平面波ui=eik0x·d遇到電介質(zhì)時(shí),在介質(zhì)的邊界?Ω產(chǎn)生傳導(dǎo)邊界條件,記該非均勻可穿透散射問題的模型可用全場(chǎng)u和穿透場(chǎng)v的Helmholtz方程的傳導(dǎo)邊值問題描述為

其中：波數(shù)kj＞0（j=0，1），傳輸系數(shù)η＞0 為Ω內(nèi)外介質(zhì)密度比，n 表示邊界S的外單位法向量，i=全場(chǎng)u?ui+us是給定的入射場(chǎng)ui和與之相應(yīng)的散射場(chǎng)us之和，“±”表示x沿法線方向n從Ω的外（內(nèi)）逼近邊界S.此外，假設(shè)散射場(chǎng)us滿足Sommerfeld衰減條件[1]

滿足衰減條件（1.2）的Helmholtz 方程的解稱為輻射解（radiating solution）.當(dāng)|x|→∞時(shí)，散射場(chǎng)us(x)有出射球面波（outgoing spherical wave）漸近表示

傳導(dǎo)邊值問題（1.1）—（1.2）的適定性鄧霞等在文獻(xiàn)[7]中應(yīng)用積分方程的方法已經(jīng)研究，文獻(xiàn)[8]研究了該問題邊值算子的非單射性.

2 混合交互關(guān)系

設(shè)G(x，y)是問題（1.1）—（1.2）對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)[8]，則G(x，y)滿足邊值問題

綜合（1）和（2），定理得證.

注2：由文獻(xiàn)[9]—[11]可知，表示式（2.9）和（2.14）可以由經(jīng)典的Green 表示公式中的基本解Φj(x,y)換成問題對(duì)應(yīng)的Green 函數(shù)G得到.事實(shí)上，基本解Φj(x,y)是Helmholtz 方程的特殊Green函數(shù).