張玲

摘? 要：初中數學復習課的主要任務是幫助學生將所學知識系統(tǒng)化. 在“正比例函數和反比函數復習課”的教學中，巧妙設計遞進問題，在問題解決中關注學生的參與度，旨在讓學生在思維互補中進一步掌握正比例函數和反比例函數的解析式、圖象和性質，在解決具體問題的過程中經歷方法的習得，領會研究函數的基本方法.

關鍵詞：正比例函數;反比例函數;學生發(fā)展

根據“以學生發(fā)展為本”的基本理念，數學教學不僅要關注學生知識與技能的獲得，而且要關注學生在數學學習和解決具體問題過程中方法的習得，還應該重視情感、態(tài)度、價值觀等育人目標的落實. 基于學生發(fā)展的理念，筆者針對“正比例函數和反比例函數復習課”進行了一次教學實踐，以下為教學設計及實踐體會，與大家分享.

一、內容和內容解析

1. 內容

本節(jié)課選自滬教版《九年義務教育課本·數學》八年級第一學期第十八章“正比例函數和反比例函數”，是第一節(jié)“正比例函數”和第二節(jié)“反比例函數”的綜合復習課.

2. 內容解析

（1）內容的本質.

本節(jié)課將正比例函數和反比例函數的解析式、圖象和性質分別進行類比，抓住這兩個函數中的變與不變，體會研究函數的一般方法.

（2）內容中所蘊涵的數學思想和方法.

本節(jié)課的內容中蘊涵著數形結合思想和割補的方法. 學生此前已經學習過正比例函數和反比例函數的概念、圖象和性質，對解決正比例函數和反比例函數的相關問題有一定的經驗. 作為一節(jié)復習課，本節(jié)課通過設計三組問題，讓學生在解決問題的過程中體會數形結合思想.

（3）知識的上下位關系.

學生在六年級已經學習了比例的意義與性質，因此比較容易接受正比例函數和反比例函數. 以它們?yōu)檩d體，幫助學生初步感知變量數學，體會研究函數的基本方法，為一次函數和二次函數的學習打下良好基礎.

（4）育人價值.

復習課要充分體現(xiàn)自主原則，即讓學生積極主動地參與復習的全過程，讓學生主動疏理知識、尋找規(guī)律、判斷錯誤. 通過小組合作學習，把學習的主動權交給學生，發(fā)揮學生的主體作用，讓學生真正成為學習的主人，凸顯“以學生為主體”的教育理念.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：研究正比例函數和反比例函數的概念、圖象和性質.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）進一步理解正比例函數和反比例函數的概念、圖象和性質，并解決相關問題.

（2）在解決題組的過程中進行觀察、對比、分析，體會數形結合、轉化與化歸等思想方法在解題中的運用.

（3）在小組合作解決問題的過程中，進一步體會研究函數的一般方法，提升分析問題能力和數學語言表達能力.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志：能夠整理并展示正比例函數和反比例函數的相關知識，在課堂上通過三組題組的練習，體會研究函數的一般思路，從而解決相關問題.

達成目標（2）的標志：能夠逐步解決三組題組. 題組1考查函數的定義、圖象和性質，體現(xiàn)研究函數的一般方法;題組2是對函數性質的運用，方法由特殊到一般;題組3需要一題多解. 通過問題驅動，時時有思維訓練，讓學生體會數形結合及割補的數學思想方法.

達成目標（3）的標志：能夠在小組合作解決問題的過程中，親身經歷問題解決到方法習得的過程，提升數學學習能力.

三、教學問題診斷分析

1. 學生已具備的認知基礎（知識、能力）

學生在六年級已經學習了比例的意義與性質，在此基礎上，又學習了函數的概念，從常量數學進入到變量數學，學生已有一個逐步認識和適應的過程. 此前學生已經學習過正比例函數、反比例函數的概念、圖象和性質，對解決相關問題有一定的經驗，具備了一定的抽象思維能力和推理分析能力.

2. 與本節(jié)課目標的差距分析（知識、能力）

學生對整體知識的把握不足，對知識的理解與掌握比較淺顯，對知識之間聯(lián)系的理解不夠深刻. 因此，無法自行完成知識體系的建構，不能真正體會研究函數的一般方法.

3. 可能存在的問題（問題、障礙）

在題組3的第（3）小題中，[△AOC]不是直角三角形，并且三條邊也不在坐標軸上，對于求[△AOC]的面積，學生可能存在困難.

4. 應對策略（過程、方法）

將題組3交給各小組解決，在討論、解決問題的過程中把做法呈現(xiàn)在移動白板上，使得小組之間可以更好地相互交流和借鑒，進行思維的碰撞. 對于學生忽略的方法，教師運用幾何畫板軟件進行補充，提升學生的思維能力.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點是：正比例函數、反比例函數圖象和性質的綜合應用.

四、教學支持條件

本節(jié)課應用移動白板、幾何畫板軟件、學生導學稿進行教學.

五、教學過程

1. 知識回顧

說一說：正比例函數和反比例函數有什么區(qū)別？

師生活動：課前，各小組合作整理了正比例函數和反比例函數相關知識點;課上，每個小組派一名代表上臺展示，并說一說正比例函數和反比例函數的區(qū)別與聯(lián)系. 其他小組給予補充說明.

【評析】課前各小組通過表格、思維導圖的形式梳理正比例函數和反比例函數的相關知識點，課上展示正比例函數和反比例函數概念、圖象、性質的區(qū)別與聯(lián)系. 在小組合作中，學生的知識與經驗相互補充. 通過類比兩類函數的解析式、圖象和性質，提升學生的辨析能力，為接下來的練習鞏固做鋪墊.

2. 練習鞏固

題組1：（1）已知函數[y=2xk2-2]是正比例函數，則[k]的值是? ? ? .

（2）已知函數[y=2xk2-2]是反比例函數，則[k]的值是? ? ? .

師生活動：學生回答，教師板書解題過程，然后師生小結.

【評析】第（1）（2）題旨在讓學生體會正比例函數和反比例函數解析式的區(qū)別，重視正比例函數和反比例函數的意義建構.

（3）已知函數[y=k-1xk2-2]是反比例函數，則[k]的值是? ? ? .

（4）已知反比例函數[y=k-12xk2-2]的圖象在第二、四象限，則[k]的值是? ? ? .

（5）已知反比例函數[y=k-12xk2-2]的圖象在每個象限內[y]隨著[x]的增大而減小，則[k]的值是? ? ? .

師生活動：各小組交流、討論，并派一個代表回答問題. 經過觀察、對比、分析，學生發(fā)現(xiàn)在解決第（3）（4）題時，不僅要考慮[k2-][2=-1]，還要根據反比例函數的定義和性質考慮比例系數的取值情況，進一步體會研究函數的一般方法.

【評析】在解決第（3） ～ （5）題時，學生不僅要考慮函數自變量的指數，還要對比例系數的取值進行檢驗. 有了第（1） ～ （3）題的解題經驗，學生不難想到利用條件“圖象在第二、四象限”“圖象在每個象限”檢驗反比例函數的比例系數. 通過解決題組1，學生既能在交流討論中深入理解反比例函數的概念，又能在分析、解決問題的實踐中提升思維能力.

題組2：（1）在正比例函數[y=-4x]的圖象上有兩點[-2，y1， -1，y2，] 則[y1，y2]的大小關系是? ? ? .

（2）在反比例函數[y=-4x]的圖象上有兩點[-2，y1，][-1，y2，] 則[y1，y2]的大小關系是? ? ? .

師生活動：學生回答，教師板書解題過程，其他學生補充不同的方法.

【評析】第（1）（2）題解法較多. 例如，利用解析式直接求出[y1，y2]的值比較大小;根據正比例函數和反比例函數的性質比較[y1，y2]的大小;畫出函數的大致圖象，在圖象上找到對應的點，直觀比較[y1，y2]的大小. 學生在解決這兩道題目的過程中能促進思維互補與交流，進一步加強對兩類函數解析式、性質和圖象的應用.

（3）在反比例函數[y=-4x]的圖象上有兩點[x1，y1，][x2，y2，] 若[x1<x2<0，] 則[y1，y2]的大小關系是? ? ? .

（4）在反比例函數[y=-4x]的圖象上有三點[x1，y1，][ x2，y2， x3，y3，] 若[x1<x2<0<x3，] 則[y1，y2，y3]的大小關系是? ? ? .

各小組交流討論：以上給出的解決題組2第（1）（2）題的三種方法都適用于第（3）（4）題的解決嗎？你們小組是用哪種方法解決問題的？

【評析】在經歷了第（1）（2）題的解決后，學生會嘗試類比解決第（3）（4）題. 當運用性質不能直接解決這兩道題目時，學生會想到借助圖象輔助解決，有利于提升學生的抽象思維.

題組3：如圖1，直線[y=34x]與雙曲線[y=kx][k≠0]交于點[A4，m，] 過點[A]作[AB⊥Ox]，垂足為點[B].

（1）求[k]的值;

（2）求[△AOB]的面積;

（3）若雙曲線上有一點[C]，且點[C]的縱坐標是6，求[△AOC]的面積.

師生活動：學生在導學單上完成第（1）小題的求解，并注意解題格式. 做好的小組把解題過程寫在移動白板上，教師巡視.

對于第（3）小題，各小組展示的解題方法如下.

方法1：如圖2，把[△AOC]補成矩形EOBD，根據[S△AOC=][S矩形EOBD-S△EOC-S△AOB-S△ACD]來求解.

方法2：如圖3，過點[C]作[y]軸的平行線CP，交OA于點P，把[△AOC]分割成[△APC]和[△OPC]來求面積.

方法3：如圖4，把[△AOC]補成直角梯形COBD，根據[S△AOC=][S梯形COBD-S△ACD-S△AOB]來求解.

教師利用幾何畫板軟件對學生給出的方法進行歸納，并做適當補充，如圖5、圖6、圖7所示.

小結：當[△AOC]不是直角三角形，且三邊不在坐標軸上時，可以通過割補法來求面積，即過點[A]或點[C]作[x]軸或[y]軸的平行線來解決問題. 當然，求[△AOC]的面積還有其他方法，有興趣的學生課后再探討，隨著所學知識的增多，解決問題的方法也會更多.

【評析】經過前面的復習，學生對正比例函數和反比例函數相關知識有了更深刻的理解，以此題為契機留給小組合作解題并展示的機會. 第（1）小題求[k]的值，是對正比例函數和反比例函數解析式的簡單應用，學生在解題中再次比較兩類函數解析式，感受兩類函數的特征. 第（2）小題要求[△AOB]的面積也較為簡單，學生可以通過此題更好地理解反比例函數比例系數[k]的幾何意義. 第（3）小題求[△AOC]的面積，學生基于所學知識無法直接求解，從而激發(fā)學生的認知沖突，且此題求解方法較多，有利于讓學生在交流中發(fā)散思維.

3. 歸納小結，反思提高

師生共同回顧、總結、歸納本節(jié)課所學知識和所應用的數學思想方法.

【評析】回顧、總結本節(jié)課的學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

4. 作業(yè)布置，鞏固所學

略.

六、目標檢測設計

1. 已知函數[y=2m-4xm2-5]是反比例函數，則[m]的值為? ? ? .

2. 在反比例函數[y=-4x]的圖象上有三點[-2，y1，][-1，y2， 3，y3，] 則[y1，y2，y3]的大小關系是（? ? ）.

（A）[y1<y2<y3] （B）[y2<y1<y3]

（C）[y3<y1<y2] （D）[y3<y2<y1]

3. 如圖8，直線[y=12x]與雙曲線[y=8x]交于點[A4，2，] 過點[A]作[AB⊥Ox]，垂足為點[B].

（1）求[△AOB]的面積;

（2）若雙曲線[y=8x]上有一點[C]，且點[C]的縱坐標是8，求[△AOC]的面積;

（3）過原點[O]的另一條直線交雙曲線[y=8x]于[P，][Q]兩點（點[P]在第一象限內），若由點[A，B，P，Q]為頂點組成的四邊形面積為24，求點[P]的坐標.

七、談磨課體會

在以上呈現(xiàn)的“正比例函數和反比例函數復習課”的教學實踐中，基于學生發(fā)展的角度，筆者經歷了三次磨課，現(xiàn)將磨課過程介紹如下.

1. 一磨教學設計，關注知識的獲得

第一次磨課的重點是教學設計的調整，把原本針對知識點設計的幾道練習題設計成題組. 初稿是從正（反）比例函數定義、圖象和性質、應用三個方面分塊設計題目，題目數量較多，且題目之間的聯(lián)系性不強，不利于學生系統(tǒng)習得知識. 如何將知識濃縮于高質量的題目中，幫助學生高效、系統(tǒng)地掌握知識？在與教研組研討后，設計了變式題組，目的是讓學生在比較中對正比例函數和反比例函數相關知識有整體性和結構化的認識.

2. 二磨教學方式，關注學生的課堂參與

第一次磨課，本意是以教師主導、學生主講的方式展開課堂教學，但由于部分學生跟不上課堂的節(jié)奏，課堂參與度不足，導致教師主導逐步轉變成了教師主講，這更降低了學生的參與度. 因此，在第二次磨課中，對教學方式進行調整，在第二個班級試課時，將全班學生分成四個小組，采取小組合作的方式開展教學. 在知識回顧環(huán)節(jié)，以小組合作的方式進行知識梳理，形成知識經驗的互補，加深學生對知識的理解，提高復習效果. 在練習鞏固環(huán)節(jié)，以小組討論的方式研究問題，給予學生充足的思考時間，讓學生的思維得到釋放，在研討中歸納解題的一般方法. 在問題回答環(huán)節(jié)，以小組為單位作答，一人作為代表回答，組員及時糾正和補充，確保其他學生聽課的專注度.

3. 三磨細節(jié)處理，關注學生的情感發(fā)展

在第二次磨課時遇到了一個小狀況. 在解決題組3的第（3）小題時，其中一個小組提出一種解法后，筆者將其思路板書在黑板上，之后其他小組紛紛表示有不同的解法，但由于筆者的疏忽及當時資源和時間的限制，無法將這些方法一一展示出來，匆匆收場. 教研組教師討論時認為學生的方法沒有得到充分展示是一個遺憾，可以以此題為契機讓學生得到展示的機會，讓學生獲得成就感，激發(fā)學生的學習興趣. 因此，第三次磨課重點對這一細節(jié)進行處理，為了能直觀呈現(xiàn)各小組的解題方法，筆者準備了一塊移動白板，各小組把解題思路寫在移動白板上并做展示交流. 同時，筆者預設了學生的解題方法，用幾何畫板軟件呈現(xiàn)學生沒想到的方法，進一步提升學生學習數學的興趣.

移動白板為學生討論問題、記錄問題、相互學習提供了方便. 各個小組的學生之間交流畫圖、書寫解題過程，從“怎么做”到“怎么寫”，再到“怎么表達”都有商有量、互補長短，思維碰撞更直接. 學生在“做”中學，在“體驗”中學，在愉悅的氛圍中解決問題，獲得了成就感.

八、實踐后的再思考

1. 習題設計符合學生的認知規(guī)律

復習課中的習題設計要符合學生的認知規(guī)律，讓多數甚至每名學生都能在相當程度上實現(xiàn)有效學習，提高課堂學習的效率. 習題容量不宜過多，不能采用題海戰(zhàn)術，這容易讓學生產生疲憊感;習題內容要有趣味，如一題多變，在變化中引導學生逐步歸納、提煉解題方法;習題難度要由淺入深、循序漸進，符合學生的認知基礎，同時要具有一定的挑戰(zhàn)性.

2. 教學活動注重學生的體驗

數學教學不是單純地傳授知識，而是以學生為主體的教學活動. 學生是學習的主人，數學學習應是主動的、富有個性的活動過程. 教師要通過觀察、實驗、推理等活動加深學生對數學知識的理解. 在組織教學的過程中，教師可以采用讓學生動手實踐、自主探索和合作交流等方式，多給學生一些課堂操作和體驗的空間和機會，讓學生在體驗中解決問題，從而更好地理解和掌握基礎知識，以及基本技能和方法.

3. 課堂交流關注學生的情感表達

和諧民主的課堂氣氛是課堂教學成功的保障. 在教學中，教師要充分調動學生的情感因素，形成良好的課堂氛圍. 教師在講授知識的同時，也應該傾聽學生的想法. 在教學中，可以在某些環(huán)節(jié)留給學生充分思考的時間和空間，鼓勵學生勇敢地表達;對學生的言行，要及時給予肯定和鼓勵，讓學生體會到數學學習的成就感，進而激發(fā)學生學習數學的興趣.

參考文獻：

[1]沈敏. 圍繞數學核心素養(yǎng)的結構性教學實踐：《反比例函數復習課》教學設計與分析[J]. 中學數學研究，2020（8）：12-16.

[2]楊果. 從“一課三磨”感悟核心素養(yǎng)如何落地：以“圓錐曲線中的定點問題”一課為例[J]. 高中數學教與學，2020（1）：18-20.