翁學進 何娜

摘? 要：發(fā)展學生的高階思維是當前初中數(shù)學解題教學的重要價值取向. 這種高層次目標的達成，需要以高標準、高質量的教學活動為支撐. 以“二元一次方程（組）”的復習課的數(shù)學問題設計為例，闡述其對改進數(shù)學課堂結構、教學形態(tài)和發(fā)展學生高階思維的作用和價值.

關鍵詞：高階思維;復習教學;問題設計

高階思維是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力，主要指創(chuàng)新能力、問題解決能力、評價能力和批判性思維能力. 在數(shù)學復習課中，學生高階思維的發(fā)展過程需要教師給予充分關注. 傳統(tǒng)的初中數(shù)學復習課教學往往采用“知識梳理—例題講解—反饋練習—歸納小結”的模式;教學內容過分注重學生對數(shù)學概念的記憶及對數(shù)學規(guī)律的應用，而忽視了教學過程中對學生分析、評價、創(chuàng)造等高階思維能力的培養(yǎng);教學活動以學生機械記憶、模仿操練為主，學生學習缺乏主動性. 這種過于側重對知識的記憶、典型例題的講解和常規(guī)變式的操練的教學方式，導致學生頭腦中無法形成網(wǎng)狀的有序知識結構，從而分析問題、解決問題、批判性思維和創(chuàng)造性能力等高階思維能力得不到發(fā)展.

教師要尊重學生的主體地位，以學生的認知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗為基礎，處理好思維層次與知識探究的關系，注重知識發(fā)生、發(fā)展的形成過程，留給學生足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、猜測、計算、推理、驗證的學習過程，以自主探究、合作交流的方式找到條件和結論的邏輯通道. 文章以“二元一次方程（組）”的復習課為例，通過創(chuàng)設“編制開放性問題實例，交流評價問題實例，拓展問題實例探索”等序列化的教學任務，完成“根據(jù)概念編制準確的問題實例，根據(jù)命題解釋所編制的問題實例，以及增設條件完成一些帶有認知沖突的問題”的學習過程，促進學生高階思維能力的發(fā)展，提升復習教學的有效性.

一、編制問題實例是培養(yǎng)高階數(shù)學思維的基礎

傳統(tǒng)復習課中，教師對數(shù)學概念、規(guī)律的復習，往往是通過選擇題、判斷題等理解類思維層次的教學任務加以完成，學生只需在若干個實例中，辨析出符合命題要求的例子，即可完成任務. 復習課上，學生更多的是回憶已有的知識和經(jīng)驗，重復操練，學習效果并不理想. 教師可以通過編制開放性問題實例，為培養(yǎng)學生的高階數(shù)學思維奠定基礎.

1. 編制實例要融合學生的知識與經(jīng)歷

編制開放性問題實例，是指學生根據(jù)教師給出的某個初中數(shù)學概念或有規(guī)律的開放性問題，創(chuàng)造性地編制、提出切合自己的實例，這個過程就需要融合學生的已有知識、生活經(jīng)驗、學習經(jīng)歷等，從而增加思維的深度，使高階思維能力得以鍛煉.

2. 編制實例要緊扣知識的鏈接

教師在設計開放性問題的編制任務時，需要捕捉本單元的核心概念、規(guī)律，以此發(fā)散，逐步遞進，形成能夠涵蓋整個單元重點知識的編制任務. 通常，教師可以通過“捕捉核心概念、規(guī)律—尋找概念群、規(guī)律群的連接點—遴選實例”的方式，有效創(chuàng)設適切復習課教學目標的任務.

3. 編制實例要注重生成資源與能力發(fā)展

在開放性問題實例的編制中，教師要注重課堂生成資源，將學生有特點的實例和有錯誤的實例及時進行討論、辨析，進一步鞏固學生對核心概念的理解.

“二元一次方程（組）”是浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級下冊第二章的內容. 在“二元一次方程（組）”的復習課中，復習的知識點為二元一次方程（組）的概念及解，體會消元思想. 二元一次方程（組）是對一元一次方程的延伸，也是多元一次方程組的基礎. 二元一次方程組的通用解法是利用消元（加減或代入）的數(shù)學思想方法進行求解. 因此，教師可以設計一個開放性問題，讓學生根據(jù)自己的理解寫出一個二元一次方程組.

問題1：寫出一個關于x，y的二元一次方程組.

教學分析：學生回顧、思考后，寫出如下幾組二元一次方程組.

第1組：[3x+y=10].

第2組：[2x+y=1+2y2].

第3組：[2x-3y=1，x+y=2;] [2x-3y=1，x=75;] [2x-3y=1，x+y=2，3x-2y=3.]

第4組：[3x-2y=x+3y=6].

第5組：[2x-3y=2，x+z=1.]

第6組：[x+y=2，x2-xy-2y2=6.]

讓學生寫出一個關于x，y的二元一次方程組，能有效喚醒學生對二元一次方程組的定義的理解，并分析其與二元一次方程的區(qū)別. 這比讓學生直接回憶二元一次方程組的定義，或教師直接給出題目“選出下列哪些是二元一次方程組”更能吸引學生的參與性. 教師還可以根據(jù)學生給出的答案，了解學生對二元一次方程組的掌握情況，了解學生對概念的內涵與外延的認識是否精準，并對出現(xiàn)的答案進行分類. 這些課堂生成也是后續(xù)課堂學習的重要資源.

二、評價實例是培養(yǎng)高階數(shù)學思維的關鍵

在傳統(tǒng)教學中，教師在學生回答問題后往往以“對、錯、很好、真棒”等話語對學生的學習情況給出粗線條的評價. 這類籠統(tǒng)的評價方式缺乏多元化和多樣化的特征，無法激發(fā)學生的學習興趣，也無法促進學生高階思維的發(fā)展. 通過開展小組交流、相互評價，在交流評價中進一步理解概念的內涵，可以培養(yǎng)學生的高階思維能力.

1. 評價實例要突出對比與切合

評價實例，即讓不同的學生對編制實例任務中的生成性資源加以評價. 在評價過程中，凸顯出評價內容和數(shù)學知識之間的關聯(lián)，并總結評價事物的基本模式和方法. 評價過程應突出和體現(xiàn)數(shù)學問題解決的優(yōu)劣對比、多元對比，以及對數(shù)學概念、規(guī)律的理解，實例切合程度等方面.

2. 評價實例要體現(xiàn)精致與思維

研究表明，辨析和評價實例是幫助學生理解核心概念的有力工具，對學生是否真正理解概念的內涵和外延是個考驗. 通過辨析，達到去偽存真、去粗取精、概念的精致化效果. 同時，在學生評價環(huán)節(jié)中，通過有效追問引導學生從不同角度思考問題，運用多種方法解決問題，從而提升學生思維的靈活性. 有效追問應指向學生的思維，幫助學生搭建思維發(fā)展的“腳手架”，在思維發(fā)展的生長處追問，在思維發(fā)展的疑難處追問，促進學生思維水平的提升.

3. 評價實例要滲透依據(jù)與框架

開展小組內交流、評價，要針對實例提出其亮點在何處，是否有錯誤，是什么原因造成這樣的錯誤. 通過錯誤的歸因分析，讓學生在修正錯誤的過程中滲透依據(jù)、學會分析和評價，進一步理解概念的內涵.

在“二元一次方程（組）”的復習課中，在學生分別寫出一個關于x，y的二元一次方程組后，教師要求學生在小組內進行交流分享、相互評價.

問題2：以上給出的6組關于x、y的二元一次方程組對嗎？為什么？如果正確，試求出它的解.

教學分析：學生對以上給出的6組二元一次方程組判斷如下.

第1組是二元一次方程，它有無限多組解.

將第2組進行化簡后，發(fā)現(xiàn)是一元一次方程，它的解是[x=14].

第3組都是二元一次方程組，雖然它們形式不同，但它們的解都是[x=75，y=35.]

第4組是二元一次方程組，它的解是[x=3011，y=1211.]

第5組是三元一次方程組.

第6組是二元二次方程組. 通過對方程[x2-xy-2y2=][6]左邊進行分解，可得[x+y=2，x+yx-2y=6.] 可以轉化為[x+y=2，x-2y=3.] 從而可得原方程組的解為[x=73，y=-13.]

給出第1組，說明學生沒有理解方程組的概念;對于第5組，說明學生對二元一次方程組的“元”理解不到位;對于第6組，說明學生對二元一次方程組的“次”理解不到位.

采用學生自己寫的二元一次方程組這一生成性資源，容易讓學生產(chǎn)生親切感，對實例的評價產(chǎn)生期待. 教師先讓學生在小組內進行實例交流、相互評價，并寫出自己評判的依據(jù). 學生在評價實例的過程中會不斷修正自己的評判依據(jù)，加深對二元一次方程（組）定義內涵與外延的理解. 然后，通過求解自編方程組的任務，激發(fā)學生的學習興趣，通過辨析有效促進學生數(shù)學思維的靈活性和敏捷性. 同時，回顧二元一次方程組及求解的基本思路和基本方法，并針對學生給出的多樣化的方案，及時進行分析、梳理，形成整式方程（組）單元的知識結構思維導圖，如下圖所示.

三、拓展實例是培養(yǎng)高階數(shù)學思維的重點

美國學者瑞斯尼克曾指出，高階思維具有不規(guī)則性和復雜性，能夠產(chǎn)生多種解決方法，需要多種應用標準，自動調節(jié)，且包含不確定性. 在傳統(tǒng)教學中，教師為了順利完成教學任務，往往提供給學生的問題是條件完備、結論唯一的良構型問題，這種做法在很大程度上限制了學生思維的靈活性和批判性，忽視了對學生高階思維的培養(yǎng).

1. 拓展實例要聚焦層次與沖突

在編制和評價實例之后，教師可以對實例進行調整，設計條件或結論不完備、解題策略多元、能反映學生能力差異的開放性問題，讓學生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、推理等探究活動，通過增設條件對問題進行加工、補充、完善，形成具有層次性的問題鏈，使學生在問題的探究過程中產(chǎn)生認知沖突，從而形成強烈的學習動機，以觸發(fā)高階思維的訓練.

2. 拓展實例要建立成分與失衡

認知心理學研究表明，一旦實際情況與預想不一致時，人們會設法通過各種調整來減少所產(chǎn)生的不適感. 根據(jù)邏輯關系，一個數(shù)學問題的成分可以劃分為“必要成分”和“充分成分”，教師在分析出數(shù)學問題的結構成分之后，就可以針對每個成分內容，創(chuàng)設“充分成分缺失、必要成分限定、解決途徑多元”的認知失衡任務，以激發(fā)學生的學習動機，促進學生的高階思維水平的發(fā)展.

3. 拓展實例要進行增設與創(chuàng)新

在復習課的教學中，針對開放性實例，教師還需要對其進行適當拓展，對問題的條件進行增設與創(chuàng)造，以促進學生深度思考，促進數(shù)學思維層次的提升.

例如，在以上“二元一次方程（組）”的復習課中，在學生寫出方程組并交流分享、相互評價后，教師還要進行追問和拓展，提供讓學生創(chuàng)造的機會.

問題3：對于方程[3x+y=10]和方程組[2x-3y=2，x+z=1，] 分別添加一個什么條件后，它的解是有限組，并求出它的解.

教學分析：（1）將方程[3x+y=10]添加一個條件，學生給出以下兩種添加方案.

方案1：增設解為正整數(shù)的條件，即求[3x+y=10]的正整數(shù)解. 由嘗試法可求得滿足條件的解為[x=1，y=7;] [x=2，y=4;] [x=3，y=1.]

方案2：增設一個二元一次方程，如[x-y=1]，組成二元一次方程組[x-y=1，3x+y=10]來求解. 由消元法可以求得它的解為[x=114，y=74.]

（2）對于方程組[2x-3y=2，x+z=1，] 只需再增設一個一次方程，如[x+y-z=1，] 從而組成三元一次方程組[2x-3y=2，x+z=1，x+y-z=1.] 通過消元法可以求得它的解為[x=1，y=0，z=0.]

問題4：已知關于x，y的二元一次方程組是[ax-2y=6，3x+y=10，] 你能求出a的值嗎？

問題4給出的題干“故設漏洞”. 學生思考片刻后發(fā)現(xiàn)要求出a的值還缺少條件，從而產(chǎn)生認知沖突. 此時，教師再引導學生增設條件，編制具有層次性、個性化的問題鏈.

問題4改為：已知關于x，y的二元一次方程組是[ax-2y=6，3x+y=10，] 且滿足? ? ? ，求出a的值.

教學分析：學生思考后，紛紛寫出了增設的條件. 下面列舉部分學生增設的條件.

方案1：增設方程組的一個解，如[x=3，y=1]是方程組的解.

注意：由于解必須滿足3x + y = 10，因此個別學生會發(fā)現(xiàn)添加的這個條件是多余的.

方案2：增設方程組的部分解，即給定x或y的一個值，如x = 3.

注意：在方案1的基礎上，發(fā)現(xiàn)可以精簡條件，只需給出x或y其中一個值即可.

方案3：增設一個關于x和y的關系式，即增設關于x和y的一個二元一次方程，如x + y = 0.

注意：增設的關系式必須和3x + y = 10構成的新方程組有唯一解.

方案4：增設一個關于ax和y的關系式，如ax = y.

注意：在方案3的基礎上，學生發(fā)現(xiàn)增設的條件與ax - 2y = 6構成新方程組能消去ax，就能求出y的值.

……

學生從“增設方程組的一個解”“增設方程組的部分解”“增設關于x和y的關系式”等不同視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，激活了二元一次方程組與相關知識的串聯(lián)與重組. 在學生的對話和思維碰撞中，教師要引導學生回歸二元一次方程組的本質——消元思想，從而順利解決認知沖突，同時提升學生的批判性思維.

問題5：已知關于x，y的方程組[x+3y=4-a，x-y=3a，] 其中[-3≤a≤1]，你能提出什么數(shù)學問題？

教學分析：學生思考后，紛紛提出許多數(shù)學問題. 下面列舉了部分學生提出的問題.

提問1：判斷方程組的解及解的范圍. 例如，判斷[x=3，y=1]是原方程組的解嗎？

將[x=3，y=1]直接代入即可判定其不是原方程組的解.

提問2：給定[a]的值，求原方程組的解及解的特征. 例如，當[a=-2]時，求原方程組的解.

當[a=-2]時，方程組轉化為[x+3y=6，x-y=-6，] 由消元法可以求得解為[x=-3，y=3.]

提問3：給定x的取值范圍，求y的取值范圍. 例如，當x ≤ 1時，求y的取值范圍.

由消元法解得[x=2a+1，y=1-a.] 又因為[-3≤a≤1]，且x ≤ 1，所以得到[-3≤a≤0]，從而得1 ≤ y ≤ 4.

……

學生提出的問題呈現(xiàn)多樣化、多元化和多層次性.通過提出問題，學生內化了方程知識，拓展了思考方法.

在初中數(shù)學復習課中，教師可以設計低起點、寬入口、重探究的開放性問題，順應數(shù)學知識的形成過程，順應學生思維發(fā)展的規(guī)律，促進學生深度學習，從而促進學生高階思維的發(fā)展.

參考文獻：

[1]章建躍. 章建躍數(shù)學教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]姜曉翔. 指向高階思維的“六環(huán)”解題教學法探析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2020（10）：26-30.