劉璇

摘? 要：以“實際問題與一元二次方程（3）”一課為例，在實際問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生利用波利亞的數(shù)學(xué)解題步驟分析問題結(jié)構(gòu)，抽象出一元二次方程模型. 得到方程的解后，通過實際意義的解釋最終解決問題，并回顧、反思、總結(jié)解決問題的一般步驟，以及建立方程模型解決問題的思路. 通過這種教學(xué)活動的設(shè)計，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：一元二次方程;實際問題;模型思想

方程是刻畫現(xiàn)實問題中數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用廣泛. 模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一. 把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于現(xiàn)實問題的解決過程中，內(nèi)化為思考指南并作為思維的工具在實際問題情境中自覺運用，就是模型思想，它是學(xué)生需要具備的關(guān)鍵能力之一. 讓學(xué)生真正形成模型思想，需要通過實際問題解決中的數(shù)學(xué)建?；顒蛹捌浞此?、總結(jié)，讓學(xué)生總結(jié)、提煉分析問題和解決問題的一般步驟，積累解決問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展模型意識，提升分析問題和解決問題的能力. 利用波利亞的“怎樣解題表”中的思考步驟指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題，是一種可行的教學(xué)策略. 本文以“實際問題與一元二次方程（3）”一課為例，闡述如何讓學(xué)生學(xué)會建立方程模型解決實際問題.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊“21.3 實際問題與一元二次方程（3）”.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課沿用“引入—定義—解法—應(yīng)用”的方程內(nèi)容主線展開一元二次方程的教學(xué)，其與已經(jīng)學(xué)習(xí)的一元一次方程、二元一次方程組、分式方程研究主線相同，因此采用與前面相同的研究方法——方程建模、化歸求解，體現(xiàn)知識安排的螺旋上升，以及內(nèi)在邏輯的一致性和思想方法的一致性.“實際問題與一元二次方程”的內(nèi)容注重建立一元二次方程解決實際問題，而本課時強調(diào)在設(shè)計情境下解決實際問題，屬于一元二次方程知識的實際應(yīng)用. 因此，本節(jié)課的教學(xué)重點是：在方程和模型思想的指導(dǎo)下，建立一元二次方程模型解決實際問題.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下.

（1）能在實際情境中建立一元二次方程模型解決問題.

（2）進一步體會方程建模思想.

（3）體會分析問題和解決數(shù)學(xué)問題的一般步驟.

2. 目標(biāo)解析

達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，得到方程的解后，通過實際意義的解釋最終解決問題. 能系統(tǒng)分析數(shù)量關(guān)系，尋找相等的兩個量的決定要素，設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量，用等號連接相等的兩個量，最終列出一元二次方程.

達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生能在解決實際問題的過程中應(yīng)用方程思想，在解決問題后對解題過程和方法進行反思總結(jié)，進一步體會方程的應(yīng)用價值.

達成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：學(xué)生能通過問題的解決和反思總結(jié)，提煉出分析問題和解決問題的一般步驟，即“理解問題—制定計劃—實施計劃—回顧”.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生之前對實際問題的解決經(jīng)歷較少，不知道從哪里著手，朝哪個方向思考，這是學(xué)習(xí)的難點. 另外，雖然學(xué)生在小學(xué)階段接觸過“線段比”，但這個內(nèi)容在初中階段安排在“圖形的相似”中，此時學(xué)生還沒有形成對線段比含義的深刻理解，導(dǎo)致學(xué)生在分析等量關(guān)系時存在困難，而且找等量關(guān)系列方程一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點. 因此，本節(jié)課的教學(xué)難點是：在實際問題情境中分析等量關(guān)系、列方程.

用波利亞“怎樣解題表”中的步驟指導(dǎo)學(xué)生選擇解題方法，指導(dǎo)學(xué)生建立方程模型，這是幫助學(xué)生突破難點的有效策略.

四、教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)問題

情境：每一本書都有精美的封面設(shè)計. 探究：如圖1，要設(shè)計一本書的封面，封面長27 cm、寬21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形. 如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，且上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計這個封面四周邊襯的寬度？（結(jié)果保留小數(shù)點后一位.）

師生活動：教師介紹問題的背景，引導(dǎo)學(xué)生初步閱讀問題.

【設(shè)計意圖】體會情境的意義與價值，激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣.

2. 理解問題

問題1：上述情境中，我們要解決什么問題？有哪些約束條件？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀問題明確目標(biāo)和約束條件.

目標(biāo)：給出設(shè)計方案，求出封面的左、右邊襯和上、下邊襯的寬.

約束條件：封面是長、寬分別為27 cm、21 cm的長方形，中央長方形的長是封面的長減去上、下邊襯的寬度，中央長方形的寬是封面的寬減去左、右邊襯的寬度，兩個長方形的長寬比相等，中央長方形的面積是封面面積的四分之三.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生明確問題的目標(biāo)與約束條件，進一步理解問題.

3. 制訂計劃

問題2：根據(jù)情境的目標(biāo)和約束條件，你準(zhǔn)備用什么方法解決問題？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生進一步分析問題中的目標(biāo)與約束條件，明確問題的結(jié)構(gòu)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?guī)劃解決問題的思路.

選擇方法：決定面積的要素是長方形的長和寬，雖然長方形的長和寬不是等量變化的，但是這種變化可以用“兩個長方形的長寬比例相同”這一約束條件來確定. 因此，可以設(shè)上、下邊襯或左、右邊襯中的一個為未知數(shù)，或根據(jù)比例關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)中間長方形的面積和封面的面積關(guān)系列方程解決問題.

規(guī)劃思路：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧建立方程模型解決問題的一般思路，如圖2所示.

[實際問題][方程問題][實際問題的解][方程的解] [設(shè)未知數(shù)，列方程][解釋實際意義][解方程][圖2]

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo)與約束條件之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê退悸分贫ń鉀Q問題的計劃.

4. 實施計劃

問題3：現(xiàn)在大家能獨立解決這個實際問題了嗎？

師生活動：學(xué)生獨立解題，教師巡視并幫助思路受阻的學(xué)生.

分析：因為封面長方形的長、寬比為27∶21 = 9∶7，所以中央長方形的長寬比也是9∶7. 設(shè)中央長方形的長和寬分別是9a cm和7a cm，由此得到上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是[1227-9a ∶ 1221-7a=][9∶7.]

學(xué)生列方程步驟如下.

步驟1：合理設(shè)未知數(shù).

設(shè)左、右邊襯的寬為7x cm，上、下邊襯的寬為9x cm，則中央長方形的長為[27-18x cm]、寬為[21-14x cm].

步驟2：根據(jù)等量關(guān)系列方程.

列方程[27-18x21-14x=34×27×21].

步驟3：解方程得到方程的解，解釋實際意義得到實際問題的解.

整理，得[16x2-48x+9=0]. 解出兩個根，舍去不符合題意的根，最后根據(jù)實際意義得到左、右邊襯的寬約為1.4 cm，上、下邊襯的寬約為1.8 cm.

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過獨立思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型表達和研究問題.

5. 回顧

教師用如下問題引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)問題解決的過程，積累分析問題和解決問題的活動經(jīng)驗.

問題4：你還能列出不同的方程解決這個問題嗎？

問題5：在解決這個問題的過程中你是怎樣想的？

問題6：能說說你是怎樣列出方程的嗎？

師生活動：首先，引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解題過程，檢驗解一元二次方程的正確性，檢驗方程的解與實際意義是否符合;其次，思考是否有不同的解決問題的方法，進而總結(jié)實際問題情境下如何將方程模型作為分析問題和解決問題的工具，總結(jié)出解決實際問題的一般思路（理解問題—制定計劃—實施計劃—回顧），以及建立方程模型解決問題的一般思路（實際問題—設(shè)未知數(shù)、列方程，把實際問題轉(zhuǎn)化為方程問題—解方程，得到方程的解—解釋方程解的實際意義，得到實際問題的解），讓學(xué)生體會到，在解決實際問題中，往往需要將模型思想作為重要的工具嵌入到分析問題和解決問題的活動中. 在這個過程中，要留給學(xué)生充足的時間，讓學(xué)生經(jīng)歷用不同方法解決問題并進行評價的過程.

【設(shè)計意圖】通過反思總結(jié)，提煉解決問題的一般步驟，深化學(xué)生對模型思想的理解，為今后用模型思想解決問題積累可遷移的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

6. 遷移應(yīng)用

對一幅畫進行裝裱更能體現(xiàn)出協(xié)調(diào)美. 現(xiàn)要在一幅長為120 cm、寬為60 cm畫的外周裝裱白色的邊襯. 如果邊襯的左、右寬是上、下寬的一半，且邊襯面積是原畫面積的四分之一，試給出設(shè)計方案（數(shù)據(jù)精確到0.1 cm），畫出設(shè)計草圖，并標(biāo)上數(shù)據(jù).

要求學(xué)生獨立思考，求出邊襯的寬，并畫出設(shè)計草圖.

【設(shè)計意圖】把提煉出來的解決問題的步驟和建立方程模型的方法遷移應(yīng)用到相關(guān)聯(lián)的情境中.

7. 課堂小結(jié)

在小結(jié)時，教師提出如下問題引導(dǎo)學(xué)生反思回顧.

（1）本節(jié)課我們解決了哪些問題？

（2）是按照怎樣的步驟解決這些問題的？

（3）解決問題的過程中是怎樣建立方程模型的？

五、教學(xué)反思

運用方程模型解決實際問題，能融合發(fā)展學(xué)生的模型思想，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 在解決實際問題情境的過程中，由于情境并非直接指向用方程來解決，所以需要分析情境，明確目標(biāo)和約束條件，在進行問題結(jié)構(gòu)和目標(biāo)導(dǎo)向分析后發(fā)現(xiàn)需要用方程刻畫問題中的數(shù)量關(guān)系，確定解決問題的基本方向.

那么，什么因素決定了要利用方程模型解決問題？事實上，含有未知量的代數(shù)式之間有相等關(guān)系時適合用方程模型來解決問題. 要知道問題中是否有這種特征，需要在分析問題的數(shù)量結(jié)構(gòu)，明確構(gòu)成要素、決定要素（位置數(shù)）、目標(biāo)要素的基礎(chǔ)上，從而確定是否選擇用方程模型解決問題.

在實際問題解決的過程中，用波利亞“怎樣解題表”中的步驟引領(lǐng)學(xué)生分析問題的結(jié)構(gòu)，明確用方程模型解決問題的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷“理解問題—制定計劃—實施計劃—回顧”的過程，在制定計劃的過程中嵌入方程模型解決問題，在回顧階段總結(jié)、提煉步驟方法，并進行遷移應(yīng)用，這是在用方程模型解決實際應(yīng)用教學(xué)中比較可行的教學(xué)策略.

參考文獻：

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