蔣梅

摘? 要：在基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)階段，通過不同類型數(shù)學(xué)課習(xí)題問題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí);在中考綜合復(fù)習(xí)階段，通過讓學(xué)生從解答習(xí)題到改編習(xí)題，開啟創(chuàng)新學(xué)習(xí). 在完成教師設(shè)計(jì)的習(xí)題問題過程中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從解題到編題的進(jìn)階訓(xùn)練，學(xué)生的分析與綜合、評價、創(chuàng)造性思維能力得到訓(xùn)練，培養(yǎng)了高階思維.

關(guān)鍵詞：習(xí)題改編;創(chuàng)新學(xué)習(xí);高階思維

發(fā)展思維是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中能力培養(yǎng)的核心. 培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù). 精心設(shè)計(jì)習(xí)題，是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的重要途徑之一. 高水平提問的基本點(diǎn)包括：反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì);在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，對學(xué)生思維形成挑戰(zhàn)性;具有可發(fā)展性，形成系列問題;具有可模仿性，實(shí)現(xiàn)從“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問，展開創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過渡.

通過精心設(shè)計(jì)習(xí)題問題，可以讓學(xué)生在習(xí)題的解答過程中產(chǎn)生較高認(rèn)知水平的心智活動或較高層次的認(rèn)知能力. 本文按照不同階段數(shù)學(xué)習(xí)題承載的任務(wù)，進(jìn)行分階段的習(xí)題問題設(shè)計(jì)，力求培養(yǎng)學(xué)生的高階思維. 主要分為在基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)階段，以習(xí)題問題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí);在中考綜合復(fù)習(xí)階段，以改編習(xí)題的方式開啟創(chuàng)新學(xué)習(xí).

一、巧設(shè)習(xí)題問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)

在基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)階段，教師可以根據(jù)不同類型的知識內(nèi)容，設(shè)計(jì)不同層次的習(xí)題，聚焦當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，以學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)為出發(fā)點(diǎn)，對學(xué)生的思維形成一定的挑戰(zhàn)性，這是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的基礎(chǔ).

1. 在新授課教學(xué)中，習(xí)題問題指向近階段的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容

在正方形的新授課中，為鞏固正方形的性質(zhì)，把正方形的性質(zhì)融入學(xué)生已有的知識體系中，設(shè)計(jì)了如下題目.

題目1? 在邊長為2的正方形ABCD中，

（1）求對角線AC的長.

（2）如圖1，若BE平分∠DBC，交邊AC于點(diǎn)F，求∠ABF的度數(shù)和CF的長.

（3）在（2）的條件下，延長BC至點(diǎn)G，使BG = BD，連接DG，延長BE交DG于點(diǎn)H. 求證：BE = DG.

以上題目從鞏固正方形的對角線與邊長的關(guān)系，到利用對角線平分對角這一性質(zhì)，聯(lián)系已有的“等角對等邊”知識，把正方形的鄰邊相等、四個角都是直角等性質(zhì)與等腰三角形“三線合一”、三角形全等知識相融合，將正方形的性質(zhì)融入學(xué)生已有的知識體系中. 問題設(shè)計(jì)既指向正方形的性質(zhì)，又把正方形的性質(zhì)與學(xué)生已有的三角形相關(guān)的知識聯(lián)系起來.

2. 在章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)中，習(xí)題問題要有綜合性和思維挑戰(zhàn)性

在章節(jié)復(fù)習(xí)課中，需要對已學(xué)的知識進(jìn)行整理，可以以習(xí)題為載體提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 習(xí)題問題設(shè)計(jì)既要有知識的綜合性，也要對學(xué)生的思維形成一定的挑戰(zhàn)性.

在四邊形的章末習(xí)題課中，筆者設(shè)計(jì)了如下一道題目.

題目2? 如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，G是邊BC上一點(diǎn)，連接EG.

（1）若∠EDG = 45°，點(diǎn)F在線段EG上，且是點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)，求證：GF = GC.

（2）若EG = AE + CG，求證：∠EDG = 45°.

（3）過點(diǎn)E作EH⊥DE，交DG的延長線于點(diǎn)H，連接BH，用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

第（1）小題需要利用正方形的鄰邊相等，融合軸對稱的性質(zhì)和三角形全等的知識來解決，在知識方面有一定的綜合性;第（2）小題是把第（1）小題的條件與結(jié)論進(jìn)行了互換，讓學(xué)生能學(xué)會逆向思考，拓展思維;第（3）小題綜合應(yīng)用正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)，是一個結(jié)論未知的開放性問題，對學(xué)生的思維具有挑戰(zhàn)性.

3. 在階段綜合復(fù)習(xí)教學(xué)中，可設(shè)計(jì)系列習(xí)題問題

這里的階段綜合復(fù)習(xí)，是指學(xué)期的期末考試復(fù)習(xí). 習(xí)題設(shè)計(jì)可以以一個基礎(chǔ)題為背景，在此基礎(chǔ)上不斷挖掘可以得到的系列結(jié)論.

題目3? 如圖3，正方形ABCD中，AC是對角線，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AE，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G.

（1）若∠BAE = α，用含α的式子表示出∠AGF的大小;

（2）求證：AE = FG;

（3）線段CG與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

此題將正方形的對角線平分對角、三角形的內(nèi)角和與外角和的關(guān)系進(jìn)行融合. 在此基礎(chǔ)上，聯(lián)系等腰三角形的性質(zhì)與判定，再融入三角形全等和等腰直角三角形的邊角關(guān)系，形成一道開放性的問題. 這三道小題，前一個問題為后一個問題做了提示、鋪墊，問題向開放性發(fā)展，綜合性逐漸增加，思維難度逐漸增大，形成了系列問題.

二、從模仿到改編，開啟創(chuàng)新學(xué)習(xí)

在中考綜合復(fù)習(xí)階段，教師要設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生梳理知識體系、滲透開放性的習(xí)題問題，實(shí)現(xiàn)從“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問，展開創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過渡. 以下以四邊形綜合題專題復(fù)習(xí)為例，說明如何用問題引領(lǐng)學(xué)生從梳理知識體系到改編試題.

1. 問題導(dǎo)向，分析核心要素

學(xué)生通過習(xí)題中的問題引導(dǎo)，完成對知識的回顧與梳理，加深理解，建立所有知識信息之間的聯(lián)系，自主建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)體系.

在進(jìn)行四邊形專題復(fù)習(xí)時，教師可以設(shè)計(jì)以下的題目.

題目4? 如圖4，正方形ABCD中，AC是對角線，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長線上一點(diǎn)，且BE = BF，連接AE，AF，過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，延長FH交AC于點(diǎn)G.

（1）找出圖中的基本圖形，并寫出圖中相等的線段和相等的角;

（2）線段GC與EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

試完成以下三個變式題的解答，并嘗試對題目4進(jìn)行改編.

變式1：如圖5，在?ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且AB = AE，連接EO并延長，交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G. 若∠ACB = 45°，求證：DF =[2]CG.

變式2：如圖6，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點(diǎn)P是線段BC延長線上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，使得CQ = CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP，垂足為點(diǎn)H，交AB的延長線于點(diǎn)M. 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

變式3：如圖7，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點(diǎn)P是CB延長線上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)Q在直線BC上，且CQ = CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP，垂足為點(diǎn)H，交BA的延長線于點(diǎn)M. 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

通過3道變式題幫助學(xué)生認(rèn)識清楚題目4的核心要素是等腰三角形和等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì). 這是實(shí)現(xiàn)學(xué)生自己改編試題和自主提問，以及展開創(chuàng)新學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)高階思維的前提.

2. 任務(wù)分享，啟發(fā)學(xué)生深入思考

把學(xué)生完成的改編習(xí)題進(jìn)行分享，分析、歸納出這些習(xí)題的共性，啟發(fā)學(xué)生深入思考. 以下是學(xué)生改編的部分習(xí)題.

改編1：如圖8，在正方形ABCF中，點(diǎn)E在線段BC上，延長CB到點(diǎn)D，使得BD = BE，連接AE. 過點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N;過點(diǎn)N作NH⊥AC，垂足為點(diǎn)N，交CF于點(diǎn)H. 則線段HC與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

改編2：如圖9，在△ABC中，AB = BC，∠ABC = 90°，延長CB到點(diǎn)D，使得[DB=13BC]. 過點(diǎn)A作AF∥DC，且[AF=12DC，] 連接FC，過點(diǎn)D作DH⊥FC于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N. 求證：[AF=2NC.]

改編3：如圖10，在△AFC中，AF = AC，∠FAC = 90°，點(diǎn)D，E在線段CF上，且FD = EC. 連接AD，AE，過點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G. 求證：AN = 2GC.

通過展示學(xué)生提出的有代表性的改編問題，啟發(fā)學(xué)生歸納出改編習(xí)題時需抓住的關(guān)鍵要素. 在兩個等腰三角形中，其中一個等腰直角三角形的一個腰是另一個非等腰三角形底邊上的高，如圖11所示，等腰直角三角形ABC的直角邊AC也是等腰三角形APQ底邊PQ上的高. 改編時，根據(jù)需要，可以適當(dāng)隱去部分線段. 這樣改編的題目的共同特點(diǎn)就是構(gòu)造三角形全等，利用等腰直角三角形的邊的關(guān)系解決問題. 這為學(xué)生改編試題提供了思考的方向，是實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)高階思維的路徑之一.

3. 再度出發(fā)，歸納問題本質(zhì)

欣賞同伴改編的試題后，再次引導(dǎo)學(xué)生思考：如圖11，能否抓住△AQM與△APQ有公共腰AQ，且這兩個等腰三角形的底邊QP與AM所在直線相交成的角為45°這兩個關(guān)鍵元素進(jìn)行改編呢？這個能否成為改編的核心要素呢？經(jīng)過思考，得到以下改編試題.

（1）如果兩個等腰三角形有一腰重合，且頂角的頂點(diǎn)也重合.

改編1：如圖12，在△ABC和△ABD中，AB = AC = AD，∠DBC = 45°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F. 求證：[CF=2AE.]

改編2：如圖13，在△ABC和△ABD中，AB = AC = AD，∠DBC = 45°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，延長EA交BC于點(diǎn)F. 求證：[CF=2AE.]

（2）如果兩個等腰三角形有一腰重合，但頂角的頂點(diǎn)不相同，得到以下的改編試題.

改編3：如圖14，在△ABC和△ACD中，AB = AC = CD，DA的延長線交BC于點(diǎn)E，且∠DEC = 45°. 求證：[AD=2BE.]

改編4：如圖15，在△ABC和△ACD中，AB = AC = CD，AD與BC交于點(diǎn)E，∠DEC = 45°. 求證：[AD=2BE.]

通過對一道題從不同角度進(jìn)行改編，訓(xùn)練學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性. 讓學(xué)生通過實(shí)際例子的分析，感受到改編試題需要抓住核心要素. 聚焦點(diǎn)不同，改編出的試題也各異. 由此可見，改編試題的思維路徑是多樣的.

改編試題時，學(xué)生需要先分析清楚原題的核心元素，找到可以變化的因素，并且需要找到變化后存在的正確結(jié)論，這個過程中會產(chǎn)生較高認(rèn)知水平的心智活動.

三、從解題到編題，培養(yǎng)高階思維能力

高階思維能力是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動或較高層次的認(rèn)識能力，也是解決“劣構(gòu)”性問題所必要的理性思維. 高階思維能力包括分析、綜合、評價和創(chuàng)造能力.

1. 設(shè)計(jì)好習(xí)題問題的內(nèi)容，培養(yǎng)分析與綜合的能力

在解題階段，通過習(xí)題問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生自己建構(gòu)、完善知識體系，這是一種思維的架構(gòu). 同時，在解答習(xí)題的過程中，讓學(xué)生分析清楚已知條件和未知問題，思考由已知條件可以得到哪些結(jié)論，在增加什么條件下可以得到哪些新的結(jié)論，要得到這個結(jié)論需要什么條件，在這樣的思考過程中提升分析與綜合的思維能力.

2. 設(shè)計(jì)好習(xí)題問題的層次，培養(yǎng)評價能力

有層次性的習(xí)題問題可以幫助學(xué)生抓住習(xí)題中的核心和關(guān)鍵，把思維逐漸引向深入. 學(xué)生在習(xí)題問題的引導(dǎo)下，從直接應(yīng)用到思考開放性問題，到自己改編試題，可以自己對試題的核心要素進(jìn)行選擇與保留，在與同伴交流的過程中，通過對同伴的解答做出評價，培養(yǎng)學(xué)生具備一定的評價能力.

3. 利用好生成的資源，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力

從完成習(xí)題的解答，到改編習(xí)題，整個過程中，學(xué)生完成習(xí)題時存在的問題，是教師進(jìn)一步改編和完善習(xí)題的基礎(chǔ). 學(xué)生改編的習(xí)題，是教師對學(xué)生思維能力與水平了解的一種方式，這些都是教學(xué)可用的生成性資源. 學(xué)生在改編習(xí)題的過程中，通過與同伴分享，相互啟發(fā)，促進(jìn)其深入思考，這是實(shí)現(xiàn)個性化創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的一種重要方式.

通過對不同階段數(shù)學(xué)教學(xué)習(xí)題的不同設(shè)計(jì)，啟發(fā)學(xué)生從理解題意開始，從解題到模仿編題，分析、歸納改編試題的共性，認(rèn)識到綜合試題的核心要素，并進(jìn)行個性化的試題改編，開啟創(chuàng)新學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從做題到研究題，促使認(rèn)知水平的心智活動或較高層次的認(rèn)知能力發(fā)生，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生高階思維的培養(yǎng).

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