摘? 要：數(shù)學(xué)教師掌握關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的技能、技巧至關(guān)重要，是教師專業(yè)成長(zhǎng)必不可少的訴求. 文章通過(guò)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性中的宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)及兩者之間的關(guān)系，展現(xiàn)了教材的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析對(duì)于提高數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施有效性、發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的重要性.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu);結(jié)構(gòu)系統(tǒng);教材分析;教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性整體工程，它的構(gòu)成要素主要體現(xiàn)在相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)側(cè)面：（1）理解要傳授的具體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的可能組成序列;（2）把握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過(guò)渡性中介的可能組成序列;（3）通過(guò)創(chuàng)造性工作找到貫通這兩組序列的契合點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)它們之間的關(guān)聯(lián)（以下統(tǒng)稱“教學(xué)法分析”），如圖1所示. 這就是通常所說(shuō)的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)基于教材分析、學(xué)情分析及教學(xué)法分析的整合. 本文探討依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性的教學(xué)設(shè)計(jì). 眾所周知，結(jié)構(gòu)離不開(kāi)系統(tǒng). 因此，為討論數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，我們必須認(rèn)識(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)所內(nèi)生于其中的系統(tǒng)，首先討論系統(tǒng)及其構(gòu)成要素的某些主要性質(zhì).

一、系統(tǒng)及其構(gòu)成要素的主要性質(zhì)

《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》（第六版）將“系統(tǒng)”一詞釋義為：同類事物按一定的關(guān)系組成的整體. 著名的美籍奧地利生物學(xué)家，一般系統(tǒng)論的創(chuàng)始人貝塔朗菲認(rèn)為，系統(tǒng)是處在一定的相互聯(lián)系中并與所處的環(huán)境發(fā)生關(guān)系的各組成部分的整體. 也就是說(shuō)，系統(tǒng)是有組織（即由若干組成部分或要素組織起來(lái)）的整體，或者說(shuō)，系統(tǒng)是由相互作用與相互聯(lián)系的若干組成部分結(jié)合而成的具有特定功能的整體. 那么，作為一個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)該具有哪些主要性質(zhì)呢？

其一，層次集合性質(zhì). 通過(guò)對(duì)系統(tǒng)概念內(nèi)涵的解釋，我們知道，系統(tǒng)是具有一些特定特點(diǎn)的要素（或組成部分）的集合，這些特定的要素就是系統(tǒng)的元素. 若要組成一個(gè)系統(tǒng)，其元素不少于兩個(gè). 系統(tǒng)的各要素之間可以是差異很大的對(duì)象，各要素自身又可以是一個(gè)較小的系統(tǒng)（形成的次結(jié)鉤）. 本文正在研究的系統(tǒng)，可以說(shuō)是一個(gè)大系統(tǒng)中的一個(gè)子系統(tǒng). 因此，系統(tǒng)是一種具有層次性的集合體.

其二，組織結(jié)構(gòu)性質(zhì). 在系統(tǒng)的層次集合性質(zhì)特點(diǎn)中，說(shuō)明了同一個(gè)系統(tǒng)中的各個(gè)要素可具有很大差異. 然而作為系統(tǒng)，其各要素之間并不是毫無(wú)關(guān)聯(lián)、各自為政的，各要素之間存在著此系統(tǒng)所特有的某種組合方式，把組成要素與組合方式進(jìn)行統(tǒng)一考察，才能稱得上是系統(tǒng). 系統(tǒng)內(nèi)部各要素及其組織方式稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu). 關(guān)于這種結(jié)構(gòu)，從要素上看，是各要素相互之間的關(guān)聯(lián)性;從整體上看，是整個(gè)系統(tǒng)的組織狀態(tài);從組織動(dòng)態(tài)上看，任何一個(gè)要素的性質(zhì)或行為發(fā)生變化，都會(huì)影響或牽涉到其他要素的性質(zhì)或行為發(fā)生變化.

其三，適應(yīng)環(huán)境性質(zhì). 任何系統(tǒng)都顯現(xiàn)于它所處的環(huán)境背景之中，系統(tǒng)與環(huán)境背景之間需要進(jìn)行物質(zhì)、信息或能量的交換，系統(tǒng)與其環(huán)境背景之間具有通過(guò)輸入與輸出實(shí)現(xiàn)的一種血脈相通的聯(lián)結(jié)體，從而保證了系統(tǒng)具有適應(yīng)其環(huán)境背景的性質(zhì)特點(diǎn). 外部環(huán)境背景中的某些要素輸入系統(tǒng)，是保證系統(tǒng)存在與發(fā)展的條件;系統(tǒng)對(duì)外部環(huán)境背景的輸出，表現(xiàn)了系統(tǒng)對(duì)外部環(huán)境發(fā)生作用，從而影響外部環(huán)境. 這種作用成為系統(tǒng)對(duì)于存在于外部環(huán)境背景的功能，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)的功能.

其四，非機(jī)械和性質(zhì). 系統(tǒng)必然要表現(xiàn)出自己的特性、行為與功能，這種特性、行為與功能一定與這個(gè)系統(tǒng)的各要素組織方式息息相關(guān)，但是絕不是系統(tǒng)內(nèi)各要素功能所能發(fā)揮的作用. 因此，系統(tǒng)的整體功能（行為與性質(zhì)）并不是它的各要素功能（行為與性質(zhì)）的機(jī)械疊加，而是會(huì)呈現(xiàn)出各要素獨(dú)自運(yùn)行時(shí)并不具有的許多特性、行為與功能. 這就是人們對(duì)系統(tǒng)所說(shuō)的其整體功能一定會(huì)大于各部分功能之和的要旨所在，這種特點(diǎn)可以稱之為“非機(jī)械和性質(zhì)”特點(diǎn).

將這種系統(tǒng)及其性質(zhì)運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中來(lái)，能發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)目標(biāo). 因此，教師一定要悉心研討數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性. 具體表現(xiàn)為以下兩個(gè)方面：一方面，組成數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的各知識(shí)點(diǎn)要素不是獨(dú)立的，而是通過(guò)某種組織方式形成的整體，因此作為一種形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)整體結(jié)構(gòu)由這個(gè)系統(tǒng)中的各個(gè)具有不盡相同性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)次第構(gòu)成的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介所組成;另一方面，作為數(shù)學(xué)知識(shí)整體結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)自身又組成了子結(jié)構(gòu)，形成了數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)層次性. 這種認(rèn)識(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)準(zhǔn)備工作中的教材分析提出了哪些啟示？

二、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)準(zhǔn)備工作中的教材分析要點(diǎn)

作為非常重要的中小學(xué)課程資源，數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生認(rèn)識(shí)的客體，有促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的功能，決定著學(xué)生心理的發(fā)展方向. 首先，當(dāng)學(xué)生掌握了具有特定性質(zhì)知識(shí)時(shí)，知識(shí)所內(nèi)含的特定內(nèi)容和掌握方式，就以改造了的形式轉(zhuǎn)化為個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的一部分. 這些內(nèi)化了的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，不僅變成了一種認(rèn)識(shí)、實(shí)踐的工具和能力，也極大地影響著個(gè)體的世界觀和人生觀，還發(fā)生著種種體驗(yàn)和情感. 其次，為了適應(yīng)知識(shí)特定性質(zhì)和完成活動(dòng)的特定條件，學(xué)生就必須按照客體自身的特殊規(guī)定性及其所要求的特定方式進(jìn)行活動(dòng). 這一過(guò)程所引起的學(xué)生相應(yīng)的技能活動(dòng)，形成了他們行為的新的方式、形式和類型，引起了他們的意識(shí)和心理結(jié)構(gòu)的相應(yīng)變化，從而使相應(yīng)的活動(dòng)能力得到發(fā)展.

這就是說(shuō)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的終極源頭在于各學(xué)科的知識(shí)，其中的數(shù)學(xué)知識(shí)（例如，對(duì)于形式邏輯或理性思維的建立與發(fā)展，為其他學(xué)科知識(shí)提供思維方式或語(yǔ)言表達(dá)方式等）具有其他學(xué)科知識(shí)無(wú)法替代的作用. 顯然，數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)層次性，決定了數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)所蘊(yùn)涵的教學(xué)價(jià)值的結(jié)構(gòu)層次性. 在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施時(shí)，教師必須要考慮發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)層次性教學(xué)價(jià)值的層次性.

然而，數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)價(jià)值發(fā)揮到怎樣的層次，不僅取決于數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性，而且取決于教師對(duì)于知識(shí)中所蘊(yùn)涵的結(jié)構(gòu)層次性特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，從而作為教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)性條件. 從某種程度上說(shuō)，教師關(guān)于處于具體結(jié)構(gòu)層次中的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)活動(dòng)方法更為重要，這就是為什么需要好數(shù)學(xué)教師，為什么各個(gè)國(guó)家都特別重視提高數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力與水平. 因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)的良好的育人特性或價(jià)值，不經(jīng)由數(shù)學(xué)教師的中介，難以直接作用于學(xué)生. 因此，教材分析在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中就具有舉足輕重的作用. 那么，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教材分析，或者說(shuō)教材分析具有哪些要點(diǎn)呢？

首先，從宏觀結(jié)構(gòu)上考察. 眾所周知，在某一數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)鏈條上，存在著一系列知識(shí)點(diǎn)作為結(jié)構(gòu)上的環(huán)節(jié). 如圖2所示的A，B，C，D，E，F(xiàn)等具體的知識(shí)點(diǎn)，形成了環(huán)環(huán)緊扣的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)鏈條，這就構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識(shí)宏觀上的系統(tǒng). 對(duì)于結(jié)構(gòu)鏈條來(lái)說(shuō)，如果某個(gè)環(huán)節(jié)斷裂，那么其后續(xù)的環(huán)節(jié)就會(huì)變得十分困難，因?yàn)榇藭r(shí)必須找到代替這個(gè)斷裂環(huán)節(jié)可能需要的一系列新知識(shí)點(diǎn)組成新鏈條;從學(xué)生產(chǎn)生對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)（作為結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)）的認(rèn)識(shí)來(lái)說(shuō)，如果學(xué)生需要掌握知識(shí)點(diǎn)C，首先要掌握這個(gè)鏈條上知識(shí)點(diǎn)C之前的知識(shí)點(diǎn)B，如果學(xué)生沒(méi)有掌握知識(shí)點(diǎn)B，就需要花費(fèi)許多精力使用代替知識(shí)點(diǎn)B的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)C.

其次，從微觀結(jié)構(gòu)上考察. 稍作分析與探究會(huì)發(fā)現(xiàn)，單個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)具有相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)特點(diǎn)：（1）組成這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的核心思想應(yīng)該明確而具體（但是，在教學(xué)實(shí)踐上，這種數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想的發(fā)現(xiàn)，特別是經(jīng)由教學(xué)設(shè)計(jì)啟發(fā)學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)，受到諸多方面的限制. 這是相對(duì)于數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平而論的）;（2）對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)涵的核心思想已經(jīng)形成了規(guī)范性表達(dá)（數(shù)學(xué)教材通過(guò)字斟句酌的描述與刻畫(huà)能夠做到）;（3）數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的核心思想通過(guò)其規(guī)范性表達(dá)形成了啟發(fā)性成分，為教師認(rèn)識(shí)與理解知識(shí)奠定了基礎(chǔ)（通過(guò)分析教材對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)核心思想的字斟句酌的刻畫(huà)，所形成的規(guī)范性表達(dá)，教師首先要認(rèn)識(shí)到，從知識(shí)核心思想到具體語(yǔ)言表達(dá)過(guò)程中的蛛絲馬跡，獲得認(rèn)識(shí)、理解知識(shí)的途徑，這就是構(gòu)成鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)識(shí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的啟發(fā)性成分）. 單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的這些特點(diǎn)隱含著知識(shí)原創(chuàng)者發(fā)生認(rèn)識(shí)的特定認(rèn)知方式，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有非常重要的價(jià)值.

最后，教師教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施，必須將宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)現(xiàn)實(shí)地、具體地交替進(jìn)行. 一般情況下，由于教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施是從具體的知識(shí)點(diǎn)開(kāi)始的，教師先從教材中關(guān)于具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的規(guī)范性表達(dá)中揭示數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的核心思想，而多數(shù)情況下，這種具體的核心思想在宏觀數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中不是孤立的，而總是具有來(lái)由的. 因此，教師在揭示數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的核心思想時(shí)，這種數(shù)學(xué)知識(shí)的宏觀結(jié)構(gòu)鏈條對(duì)于發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識(shí)具體知識(shí)點(diǎn)的核心思想具有啟發(fā)作用. 這種啟發(fā)作用對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常重要的，是教師教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施時(shí)發(fā)揮啟發(fā)學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的啟發(fā)性方式的重要來(lái)源之一.

總之，在關(guān)于某個(gè)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的教材分析時(shí)，要將數(shù)學(xué)知識(shí)的微觀結(jié)構(gòu)與宏觀結(jié)構(gòu)很好地結(jié)合起來(lái)，形成教材分析的系統(tǒng)考察. 從兩種不同的結(jié)構(gòu)中，確定具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)涵的核心思想，從而帶領(lǐng)學(xué)生從這種具體的核心思想過(guò)渡到規(guī)范性表達(dá)中，獲得啟發(fā)性成分. 如此，才能最大限度地發(fā)揮具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo).

三、依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)性的教材分析示例

陸游詩(shī)云：紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行. 雖有至善的教學(xué)理論，但如果不將這種理論與具體的教學(xué)實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，教學(xué)實(shí)踐就是盲目的，教學(xué)理論的價(jià)值也是蒼白無(wú)力的. 那么，教師在教學(xué)準(zhǔn)備工作中，應(yīng)該如何利用數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行具體的教材分析，從而有效地處理一個(gè)教學(xué)單元的數(shù)學(xué)知識(shí)呢？事實(shí)勝于雄辯，為了說(shuō)明依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)性（系統(tǒng)組織過(guò)程）教材分析，我們以“有理數(shù)”這一教學(xué)章節(jié)為例來(lái)闡述.

其一，學(xué)生從小學(xué)進(jìn)入初中，所學(xué)習(xí)的數(shù)由非負(fù)數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集. 從小學(xué)的自然數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集后，增加了數(shù)的一種新屬性——負(fù)數(shù). 因此，有理數(shù)集形成了三類屬性，可以定義為正有理數(shù)、0與負(fù)有理數(shù). 這就為研究有理數(shù)集的性質(zhì)、運(yùn)算等搭建起了基礎(chǔ)性的舞臺(tái).

其二，從自然數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集后，必須滿足丹齊克所論及的固本原則. 對(duì)于“固本原則”內(nèi)涵， 丹齊克解釋了三項(xiàng)特征，其中最重要的一項(xiàng)特征，就是要求在自然數(shù)集中所建立并使用的加、減、乘、除四則（或其中的幾則）運(yùn)算法則必須要類推到有理數(shù)集中來(lái). 因此，在有理數(shù)集中，應(yīng)該像在自然數(shù)集中一樣，對(duì)于在自然數(shù)集中所建立起來(lái)的加、減、乘、除四則（或其中的幾則）運(yùn)算在有理數(shù)集中也要暢通無(wú)阻. 那么，在有理數(shù)集中，如何應(yīng)用到自然數(shù)集中已經(jīng)建立起來(lái)的有關(guān)的運(yùn)算法則呢？

其三，由“固本原則”，肯定可以理解為需要將在自然數(shù)集中建立起來(lái)的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)入到有理數(shù)集中來(lái)，或者可以理解為將有理數(shù)集中的運(yùn)算法則退回到非負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則中去. 實(shí)際上，后者是實(shí)現(xiàn)前者的一種具體方式. 那么，如何在有理數(shù)集中將要建立的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)入（或退回）自然數(shù)集中已經(jīng)建立起來(lái)的相應(yīng)的運(yùn)算法則呢？一種想法是，將從自然數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集時(shí)所增加的數(shù)的屬性——負(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為正數(shù)，就可以達(dá)到目的，即保證在自然數(shù)集中所建立起來(lái)的加、減、乘、除這四則運(yùn)算法則在有理數(shù)集中也可以暢通無(wú)阻.

其四，將有理數(shù)集退回到自然數(shù)集的一項(xiàng)條件就是將有理數(shù)集中的負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為它的相反數(shù)——正數(shù). 通過(guò)引入絕對(duì)值概念就可以實(shí)現(xiàn)這樣的目的. 因此，絕對(duì)值概念的內(nèi)涵就是負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)（而負(fù)數(shù)的相反數(shù)恰恰是正數(shù)），自然數(shù)的絕對(duì)值是其本身. 由此分析結(jié)論可以認(rèn)識(shí)到，有了絕對(duì)值的概念以后，有理數(shù)集與自然數(shù)集就原則性地統(tǒng)一了起來(lái). 因此，關(guān)于數(shù)系擴(kuò)充的核心思想是原數(shù)系中的數(shù)的屬性及其運(yùn)算奠定了新數(shù)系的基礎(chǔ). 需要特別注意新數(shù)系中所增加的新屬性的數(shù)的特點(diǎn)，往往需要解決的是新屬性的數(shù)與原數(shù)系中的舊屬性的數(shù)之間所形成的矛盾，這就需要發(fā)掘相應(yīng)的解決矛盾、使矛盾對(duì)立面相統(tǒng)一的條件，如這里的絕對(duì)值概念就是解決負(fù)數(shù)與自然數(shù)之間矛盾的一項(xiàng)重要的、不可替代的條件.

其五，如果像第四點(diǎn)中所述，從形式上直接定義絕對(duì)值的概念的話，學(xué)生難以理解這一概念的內(nèi)涵，此時(shí)，需要將絕對(duì)值的概念轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間的距離”這個(gè)概念來(lái)輔助學(xué)生理解. 教材通過(guò)引進(jìn)數(shù)軸的概念，從而可以對(duì)絕對(duì)值概念進(jìn)行幾何解釋（數(shù)軸概念一經(jīng)引入，就具有其自身的獨(dú)立功能，如形成數(shù)形結(jié)合思想，比較兩個(gè)有理數(shù)的大小等）. 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上所表示的這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，0的絕對(duì)值依然是0本身. 因?yàn)榫嚯x不存在負(fù)值，所以這是一種非常巧妙合理的解釋. 于是，將這種抽象的絕對(duì)值概念通過(guò)數(shù)軸形成了可視化的形象. 如此，就可以為七年級(jí)學(xué)生理解絕對(duì)值的概念打下基礎(chǔ).

其六，有了絕對(duì)值的概念之后，有理數(shù)集相對(duì)于自然數(shù)集的“固本原則”就可以得到實(shí)施了. 通過(guò)絕對(duì)值的變換，有理數(shù)集中的自然數(shù)還是其本身，有理數(shù)集中的負(fù)數(shù)變換成了它的相反數(shù)，因而就是正數(shù)了. 所以，一切有理數(shù)經(jīng)由絕對(duì)值的變換就回歸到了有理數(shù)集擴(kuò)充之前的在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了的非負(fù)數(shù)集，學(xué)生通過(guò)小學(xué)學(xué)習(xí)已經(jīng)掌握的運(yùn)算法則就都可以運(yùn)用，只不過(guò)由于數(shù)字符號(hào)的引入，運(yùn)算過(guò)程稍微復(fù)雜一些罷了. 從而，丹齊克意義上的“固本原則”就圓滿地實(shí)現(xiàn)了，有理數(shù)的運(yùn)算也就可以得到執(zhí)行了.

基于如此教材分析所獲得的結(jié)果，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，就會(huì)清楚地把握“有理數(shù)”這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，對(duì)這個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)要素的作用與功能都得到了清晰的認(rèn)識(shí). 于是，在教材設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，利用這個(gè)系統(tǒng)的“非機(jī)械和性質(zhì)”，找到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中各要素之間的組織形態(tài)的最適宜于學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理線索，思考選擇利用學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的最佳途徑設(shè)計(jì)教學(xué)預(yù)案流程，為最大限度地發(fā)揮整體性的結(jié)構(gòu)功能、發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)目標(biāo)奠定了實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ).

在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，教師（特別是新手）要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，采用生動(dòng)、活潑的形式，啟發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí). 在進(jìn)行具體知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知出發(fā)，使學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程時(shí)產(chǎn)生必不可少的心理活動(dòng)，以啟發(fā)學(xué)生生成數(shù)學(xué)觀念，指導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思維、抽象出數(shù)學(xué)方法、萌發(fā)數(shù)學(xué)思想，最終以促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新能力為核心，以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，其中最為重要的基礎(chǔ)在于教師必須要做好教材分析. 因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的水之源、木之本.

四、結(jié)束語(yǔ)

提高數(shù)學(xué)教師的教材分析能力是實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念，發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的基本保證，依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)性的教材分析是一條特別有價(jià)值的途徑. 教材分析的具體方法與途徑有很多，但是這些具體途徑總是在數(shù)學(xué)知識(shí)的宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)關(guān)系所構(gòu)成的系統(tǒng)分析的前提下進(jìn)行的. 因此，教師掌握關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的技能、技巧至關(guān)重要，是教師專業(yè)成長(zhǎng)必不可少的. 對(duì)此，需要思之再思，慎之又慎.

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