吳增生 紀(jì)憲禹

《整體建構(gòu)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的總復(fù)習(xí)教學(xué)策略體系》（以下統(tǒng)稱“文章”）一文及其相關(guān)的6篇研究文章，以專題研究形式集中發(fā)表于《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》（初中版）2019年第7 / 8期上，被人大《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2020年第1期全文轉(zhuǎn)載. 文章以解決復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐問題為導(dǎo)向，基于初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展邏輯及其蘊(yùn)涵的發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的育人價(jià)值，以心理學(xué)及腦科學(xué)理論為指導(dǎo)，對(duì)初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)的策略創(chuàng)新，為一線教師開展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高品質(zhì)復(fù)習(xí)教學(xué)，提供了可操作的策略和方法，與其相關(guān)的6篇文章，則提供了具體的教學(xué)實(shí)踐案例. 這些研究為改進(jìn)初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)，作出了積極的貢獻(xiàn).

一、文章的寫作背景

立德樹人是我國(guó)新時(shí)期教育的基本導(dǎo)向，主要體現(xiàn)為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)教育對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn)，主要體現(xiàn)在科學(xué)精神和智力發(fā)展上. 復(fù)習(xí)教學(xué)是“溫故而知新”的認(rèn)知重構(gòu)活動(dòng)，它具有重復(fù)性、系統(tǒng)性、綜合性和應(yīng)用性. 其核心育人價(jià)值是：優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法體系和解決問題策略，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

有別于新課教學(xué)中有權(quán)威的教材和教師教學(xué)指導(dǎo)用書的引領(lǐng)，復(fù)習(xí)教學(xué)資源雖然泛濫，但缺乏系統(tǒng)、權(quán)威的教學(xué)資源，導(dǎo)致數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)成為教學(xué)實(shí)踐的短板，存在的問題較多，教師普遍反映最難教. 當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)中普遍存在以下問題：（1）缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展邏輯的深入思考，沒有系統(tǒng)規(guī)劃合理的復(fù)習(xí)教學(xué)單元，沒有設(shè)計(jì)發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的有針對(duì)性的復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng)（如把解析幾何問題作為函數(shù)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容）;（2）知識(shí)回顧簡(jiǎn)單重復(fù)，沒有引導(dǎo)學(xué)生用一般觀念引領(lǐng)進(jìn)行知識(shí)梳理，不能形成系統(tǒng)簡(jiǎn)約的知識(shí)體系;（3）以練代學(xué)，進(jìn)行高強(qiáng)度、無(wú)死角的重復(fù)刷題，缺乏思想性和策略性;（4）對(duì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用過程的思想方法理解不深刻，導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)零碎、隱晦，學(xué)生難以把握;（5）沒有深入分析學(xué)情導(dǎo)致復(fù)習(xí)教學(xué)中學(xué)生參與度低，教學(xué)效果差強(qiáng)人意.

基于以上問題，筆者帶領(lǐng)工作室成員進(jìn)行了為期四年的創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)策略的系統(tǒng)研究，目的是為改進(jìn)初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)的育人價(jià)值提供可操作的、系統(tǒng)有效的教學(xué)策略，包括復(fù)習(xí)主題的建構(gòu)，復(fù)習(xí)課型的分類，不同課型的教學(xué)策略和方法的概括提煉，研制教師教學(xué)設(shè)計(jì)用書、學(xué)生用書、學(xué)生訓(xùn)練系統(tǒng)、教學(xué)PPT、微課視頻等教學(xué)資源. 文章是對(duì)這些研究成果的系統(tǒng)概括和總結(jié).

二、文章旨在說明的問題

要對(duì)初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)的策略創(chuàng)新，需要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)這“四個(gè)理解”的基礎(chǔ)上進(jìn)行，以保證這種教學(xué)策略創(chuàng)新的科學(xué)性和有效性.

1. 在理論和實(shí)踐分析的基礎(chǔ)上提出研究問題

（1）分析數(shù)學(xué)學(xué)科教育在落實(shí)立德樹人中的作用，明確數(shù)學(xué)教學(xué)的核心育人價(jià)值.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它具有抽象性、邏輯確定性和應(yīng)用廣泛性三個(gè)本質(zhì)特征. 數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象. 基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，這與史寧中教授概括的“三會(huì)”是一致的，即會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界. 會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，指的是通過直觀想象和抽象引入并明確研究對(duì)象，理解事物的本質(zhì);會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，指的是在抽象的基礎(chǔ)上，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理和模型構(gòu)建等方式建立事物之間的普遍聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上抽象出這些聯(lián)系的一般規(guī)律;會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，指的是用數(shù)據(jù)、自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言基于邏輯規(guī)則進(jìn)行有條理的表達(dá)和交流. 因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心育人價(jià)值是利用數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生有邏輯、創(chuàng)造性地思考的能力及有邏輯地表達(dá)的能力. 這些關(guān)鍵能力體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動(dòng)的不同階段，需要通過有針對(duì)性的活動(dòng)得到發(fā)展.

（2）分析復(fù)習(xí)課的認(rèn)知特點(diǎn)及學(xué)生學(xué)習(xí)的心理規(guī)律，明確復(fù)習(xí)教學(xué)的育人價(jià)值及基本課型.

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是“溫故而知新”的認(rèn)知重構(gòu)活動(dòng)，復(fù)習(xí)的內(nèi)容是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的，這是復(fù)習(xí)活動(dòng)的“溫故”特征，那么“知新”的主要表現(xiàn)特征是什么呢？這需要依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和數(shù)學(xué)教育的核心育人價(jià)值進(jìn)行融合研究. 文章基于心理學(xué)、腦科學(xué)的原理，從問題解決與大腦的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，分析其支持要素，得到“系統(tǒng)簡(jiǎn)約知識(shí)體系”“系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)”和“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的一般性思考經(jīng)驗(yàn)”是支撐高水平問題解決能力的關(guān)鍵要素，并提出了復(fù)習(xí)教學(xué)的核心育人價(jià)值，即在相互聯(lián)系中深化對(duì)知識(shí)的理解，形成系統(tǒng)簡(jiǎn)約的知識(shí)體系;在操作體會(huì)、歸納與一般化、遷移鞏固和系統(tǒng)化中形成數(shù)學(xué)思想和方法;在解決問題的過程中抽象和概括一般性的思考程序和方法. 進(jìn)一步地，文章還依據(jù)這些支撐問題解決的要素的層次性劃分了三類復(fù)習(xí)教學(xué)的基本課型——基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課、專題復(fù)習(xí)課、問題解決和研究.

（3）分析初中總復(fù)習(xí)教學(xué)的現(xiàn)狀，梳理問題和不足.

當(dāng)前，初中總復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐中普遍采用“知識(shí)點(diǎn)回顧 + 題型操練”的“以練代學(xué)”的復(fù)習(xí)教學(xué)方式，文章用腦科學(xué)的原理分析了這種教學(xué)方式的優(yōu)勢(shì)與不足，提出了如下科學(xué)、有效的復(fù)習(xí)方式，即大腦中先要形成新的神經(jīng)聯(lián)接，再通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)強(qiáng)化神經(jīng)聯(lián)接. 與之相對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，則是先形成對(duì)知識(shí)、思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的新的理解，再通過適時(shí)適當(dāng)?shù)木毩?xí)實(shí)現(xiàn)鞏固和遷移，這些就是復(fù)習(xí)中認(rèn)知重構(gòu)活動(dòng)的“知新”內(nèi)涵.

基于以上分析，文章提出了系統(tǒng)研究初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)策略的問題.

2. 系統(tǒng)概括初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)策略體系

（1）基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略.

① 整體建構(gòu).

通過分析數(shù)系擴(kuò)充、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，合理劃分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課的教學(xué)單元（“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包括數(shù)的發(fā)展，字母表示數(shù)，整式，分式，二次根式，方程，不等式，函數(shù);“圖形與幾何”領(lǐng)域包括幾何圖形，相交線與平行線，三角形，平行四邊形，圓，圖形的全等變換，圖形的相似，銳角三角函數(shù);“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域包括統(tǒng)計(jì)，概率），進(jìn)行單元整體復(fù)習(xí)教學(xué)，便于學(xué)生在相互聯(lián)系中深化知識(shí)的理解，建構(gòu)系統(tǒng)、簡(jiǎn)約的知識(shí)結(jié)構(gòu).

② 一般觀念引領(lǐng).

通過分析同一單元內(nèi)容之間的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法，概括出“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域中知識(shí)形成和發(fā)展的研究過程所蘊(yùn)涵的一般觀念，并通過研究不同單元內(nèi)容之間的連貫性和邏輯一致性概括出同一領(lǐng)域不同單元內(nèi)容的數(shù)學(xué)一般觀念. 所謂一般觀念，指的是與核心概念和理論相關(guān)的研究問題的頂層觀念. 具體是指：研究對(duì)象是如何引入和定義的，這類對(duì)象要研究什么，性質(zhì)指的是什么，判定指的是什么，知識(shí)體系的形成邏輯是怎樣的，按照怎樣的思路研究，用什么方法研究，等等. 這種一般觀念可以作為整理系統(tǒng)、簡(jiǎn)約的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的“方向標(biāo)”和“腳手架”，也能指導(dǎo)學(xué)生在整理知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)理解知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，還能讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)是怎樣研究一類對(duì)象的”.

③ 直觀化.

視覺直觀是人類覺知客觀事物的優(yōu)勢(shì)通道，幾何思維的發(fā)展的路徑是“空間視覺行為—幾何作圖（手繪和尺規(guī)作圖）—言語(yǔ)表述—定義與演繹—公理化、系統(tǒng)化”，代數(shù)思維的發(fā)展基于對(duì)操作和運(yùn)算的概括和符號(hào)化，以及這些腦科學(xué)原理，從而概括出幾何復(fù)習(xí)基于空間結(jié)構(gòu)及其變化的“直觀化”、代數(shù)復(fù)習(xí)基于運(yùn)算和操作的“直觀化”的教學(xué)策略.

④ 基于評(píng)價(jià)，精準(zhǔn)教學(xué).

基于現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，文章提出了基于大數(shù)據(jù)的基于評(píng)價(jià)、精準(zhǔn)教學(xué)的策略，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的針對(duì)性，改進(jìn)教學(xué)效果.

（2）聚焦數(shù)學(xué)思想方法的專題復(fù)習(xí)教學(xué)策略體系.

① 聚焦數(shù)學(xué)思想方法.

專題復(fù)習(xí)教學(xué)的核心育人價(jià)值不是為了讓學(xué)生積累和熟練各種題型，而是為學(xué)生解決問題提供數(shù)學(xué)思想和方法. 數(shù)學(xué)思想方法是具有遷移潛力的思考問題的一般性方法，如抽象、推理、模型這三種基本思想，以及由此派生出來分類、數(shù)形結(jié)合、特殊化與一般化、轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模、類比、歸納、演繹等經(jīng)典思想方法，而不是“手拉手模型”“一線三等角模型”“銷售問題”“動(dòng)點(diǎn)問題”等題型. 基于此，文章把專題復(fù)習(xí)聚焦于數(shù)學(xué)思想方法，而不是題型.

② 重視數(shù)學(xué)思想方法的抽象和遷移.

文章基于已有文獻(xiàn)，在明確數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的基本規(guī)律（在模仿操作中體會(huì)，在反思總結(jié)中明朗化，在遷移應(yīng)用中鞏固，在相互聯(lián)系中發(fā)展）的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于內(nèi)容和實(shí)例、聚焦數(shù)學(xué)思想和方法教學(xué)的課堂結(jié)構(gòu)（解決問題，操作體會(huì)—反思概括，推廣到一般—遷移應(yīng)用—聯(lián)系發(fā)展），并指出了概括數(shù)學(xué)思想方法的核心是這種思想方法“有什么用（在什么時(shí)候用）、怎樣用（操作步驟和基本想法）、注意要點(diǎn)”.

③ 循序漸進(jìn)地建立數(shù)學(xué)思想方法體系.

文章在分析數(shù)學(xué)基本思想到經(jīng)典思想到具體方法的結(jié)構(gòu)體系的基礎(chǔ)上，提出了從相對(duì)具體到相對(duì)抽象、從單一到綜合的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的循序漸進(jìn)策略.

（3）問題解決和數(shù)學(xué)研究的教學(xué)策略.

文章在分析問題解決的認(rèn)知心理機(jī)制的基礎(chǔ)上，認(rèn)為在具備了簡(jiǎn)約系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，影響數(shù)學(xué)問題研究和解決的關(guān)鍵要素是研究和思考問題的一般性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這種一般性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就是規(guī)劃“目標(biāo)導(dǎo)向行為”活動(dòng)方案的基本步驟及其活動(dòng)的導(dǎo)航. 在此基礎(chǔ)上，文章提出了如下數(shù)學(xué)問題解決和數(shù)學(xué)研究的教學(xué)策略.

① 重視一般思考步驟的抽象和概括.

文章在分析波利亞解題理論和John R Anderson的問題解決五階段理論的基礎(chǔ)上，提出了問題解決教學(xué)的核心目標(biāo)是讓學(xué)生知道“面對(duì)一個(gè)陌生的具有挑戰(zhàn)性的問題時(shí)，怎樣按部就班地思考”，給出了問題解決教學(xué)的基本策略是：首先，讓學(xué)生解決具體的、具有挑戰(zhàn)性的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷分析條件和目標(biāo)，適當(dāng)表示問題條件和目標(biāo)，并根據(jù)需要轉(zhuǎn)換問題（采用“前推法”“后推法”和“兩頭湊法”構(gòu)建子目標(biāo)序列），尋找和建立聯(lián)系條件和目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型或圖形結(jié)構(gòu)，制定和實(shí)施計(jì)劃解決問題、解釋結(jié)論、評(píng)價(jià)總結(jié)、在線評(píng)估等過程;其次，引導(dǎo)學(xué)生通過反思總結(jié)這種分析問題和解決問題的步驟和方法，推廣到一般，形成如下圖所示的思考程序圖.

② 重視一般思考步驟的遷移應(yīng)用.

文章依據(jù)問題解決的相關(guān)理論，指出“遷移應(yīng)用和內(nèi)化”是鞏固知識(shí)、形成思想方法和積累解決問題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一. 問題解決和數(shù)學(xué)研究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移應(yīng)用，主要是指用相似的步驟確定研究和解決問題的可能方向，尋找解決問題的思路. 這種遷移應(yīng)用活動(dòng)的例題應(yīng)該具有“表面與結(jié)構(gòu)新穎，所用思想方法和知識(shí)綜合，但是分析和尋找解決問題的步驟和方法具有相似性”，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)用已有的經(jīng)驗(yàn)去研究和解決陌生的、挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

三、結(jié)束語(yǔ)

歷經(jīng)四年的理論概括、教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐驗(yàn)證研究，得到的研究成果得到了廣泛推廣和應(yīng)用. 在2020年疫情期間，本研究的初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課程微課全國(guó)在線瀏覽量超過120萬(wàn)人次. 通過這一研究歷程，筆者的體會(huì)是基于教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)和提出研究問題，融合數(shù)學(xué)和心理學(xué)、認(rèn)知與腦科學(xué)進(jìn)行理論結(jié)合實(shí)踐的研究，既是數(shù)學(xué)教學(xué)理論創(chuàng)新的重要方法，也是改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)育人價(jià)值的現(xiàn)實(shí)需要，還是提升教師專業(yè)素養(yǎng)的良好平臺(tái). 讓我們腳踏實(shí)地，深入開展教學(xué)實(shí)踐問題導(dǎo)向的教學(xué)創(chuàng)新研究，為提升我國(guó)的數(shù)學(xué)教育做出更大的貢獻(xiàn).

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