曾振新

摘 要：“線性相關(guān)”概念是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它承擔(dān)著線性代數(shù)課程承前啟后的作用，無(wú)論是教師教還是學(xué)生學(xué)習(xí)“線性相關(guān)”概念都需要站在一個(gè)比較高的位置，即思考和解決問(wèn)題的方法需要比較全面細(xì)致，因?yàn)榻虒W(xué)中師生對(duì)數(shù)學(xué)概念的感知、認(rèn)識(shí)，反映了他們對(duì)數(shù)學(xué)相互關(guān)系的根本看法.

關(guān)鍵詞：線性相關(guān);教學(xué)案例;問(wèn)題解決;建議

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）15-0020-03

美國(guó)學(xué)者薩普認(rèn)為，“概念在數(shù)學(xué)中不僅是首要的，而且實(shí)際上就是一切;在很大程度上，‘?dāng)?shù)學(xué)對(duì)象’沒(méi)有獨(dú)立的或超過(guò)概念之外的存在”.《線性代數(shù)》課程中，有許多概念需要認(rèn)真學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)，特別是在線性空間的知識(shí)內(nèi)容中碰到的概念會(huì)更多一些.

一、關(guān)于線性相關(guān)概念的分析案例

線性空間的基本元素是向量，向量之間的第一層關(guān)系是“線性組合”或者稱“線性表示”.然而，與之密切相關(guān)的“線性相關(guān)性”在《線性代數(shù)》整個(gè)課程中卻占有很重要的位置.

《線性代數(shù)》教材中關(guān)于“線性相關(guān)”的定義是這樣表述的：

對(duì)于向量組α1，α2，…，αs，如果存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks使關(guān)系式

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

成立，則稱向量（組）α1，α2，…，αs線性相關(guān);否則稱向量（組）α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān).

滿足上面等式的不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，稱為向量組α1，α2，…，αs的一組相關(guān)系數(shù).

1.教學(xué)分析

一個(gè)數(shù)學(xué)概念的給出，總要回答這樣兩個(gè)問(wèn)題，一是為什么，即有什么作用.二是怎么做，即如何解決這樣的問(wèn)題.

本定義提供的重要信息是它是用來(lái)判別一組向量是否是線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的，即它的作用.很明顯，在定義中，給出了基本條件有兩個(gè)，即：

（1）有s個(gè)向量α1，α2，…，αs;

（2）s個(gè)實(shí)數(shù)k1，k2，…，ks.

顯然，定義中，也給出了兩個(gè)判斷條件即：

（1）滿足一個(gè)線性關(guān)系即：k1α1+k2α2+…+ksαs=0;

（2）s個(gè)不全為零的數(shù)或s個(gè)全為零的數(shù).

本定義提供的第二個(gè)信息是如何來(lái)判斷一組向量是線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān).因?yàn)榕袛鄺l件是一個(gè)等式及這個(gè)等式中的這s個(gè)數(shù)即k1，k2，…，ks，因此，解決問(wèn)題的關(guān)鍵因素是求出k1，k2，…，ks這s個(gè)數(shù)，即解齊次方程.

2.問(wèn)題解決分析

對(duì)任意向量組α1，α2，…，αs，總有

0α1+0α2+…+0αs=0，

問(wèn)題是是否存在不全為0的數(shù)k1，k2，…，ks，使得關(guān)系式或方程

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

成立，若存在，則α1，α2，…，αs線性相關(guān);若不存在，則α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)（不存在的意思是k1α1+k2α2+…+ksαs=0充分必要條件是k1=k2=…=ks=0）.

此問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是求關(guān)于未知數(shù)x1，x2，…，xs的線性方程

x1α1+x2α2+…+xsαs=0

的解，有非零解，即α1，α2，…，αs線性相關(guān);若僅有零解，則α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān).

3.邏輯關(guān)系分析

我們知道，數(shù)學(xué)課程的設(shè)置總是以演繹嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S、表現(xiàn)慎密的邏輯關(guān)系，來(lái)達(dá)到培養(yǎng)人的心智功能，并鼓勵(lì)人們求真、向善、唯美為目的的學(xué)科.所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是一段邏輯演繹的過(guò)程，《線性代數(shù)》也不例外.

顯然，無(wú)論是解齊次線性方程組還是一般線性方程組，都需要矩陣的知識(shí)，即矩陣的初等變換，重點(diǎn)是矩陣的秩.求矩陣的秩還需要行列式的知識(shí)，環(huán)環(huán)相扣，缺一不可.

而線性相關(guān)概念后的知識(shí)走向，就是求極大線性無(wú)關(guān)組，得出線性方程的基礎(chǔ)解系，從而獲得線性方程的全部解.還可得到線性空間的基，線性空間的維數(shù)及任意線性空間向量的坐標(biāo)，這是其中一個(gè)落腳點(diǎn).

綜上所述，認(rèn)識(shí)、理解和解決數(shù)學(xué)概念問(wèn)題的基本方法應(yīng)該是：了解概念的過(guò)去，然后再思考它的未來(lái).

二、相關(guān)問(wèn)題解決案例分析

1.例題評(píng)析

例 設(shè)空間任意向量α，β，γ，證明：α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

方法一 常規(guī)的解法是應(yīng)用定義，即先求解線性方程組：x1（α+β）+x2（β+γ）+x3（γ-α）=0的解，然后再來(lái)判斷.

證明：可以設(shè)有一組數(shù)k1，k2，k3使k1（α+β）+k2（β+γ）+k3（γ-α）=0成立，整理得

（k1-k3）α+（k1+k2）β+（k2+k3）γ=0.

由α，β，γ線性無(wú)關(guān)，故

k1-k3=0k1+k2=0k2+k3=0

因?yàn)?0-1110011=0，故方程組僅有零解，即：k1=k2=k3=0，

因而向量組α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

本法證明中規(guī)中矩，邏輯平穩(wěn)、嚴(yán)密，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)思維（演繹推理的思想方法）的普遍現(xiàn)象，是一種常用的解題方式.

然而，解題中也有少數(shù)學(xué)生給出了如下證明，

方法二

證：∵α+β=（β+γ）-（γ-α）

∴α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

方法三

證：由∵（α+β）+（β+γ）+（γ-α）=2（β+γ）得（β+γ）=（α+β）+（γ-α），∴α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

能給出方法一、方法二這樣的證明，需要有一定的聯(lián)想能力，即應(yīng)用相關(guān)的定理：“向量組線性相關(guān)的一個(gè)充要條件是向量組中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合”來(lái)證明該結(jié)論.而在文中的《線性代數(shù)》教材中沒(méi)有例出該定理的情況下，有學(xué)生能夠考慮到這種簡(jiǎn)明的方法，干凈利落，很出乎意料.

方法四 應(yīng)用矩陣的秩來(lái)判斷，設(shè)ξ1=α+β，ξ2=β+γ，ξ3=γ-α則（ξ1，ξ2，ξ3）=（α，β，γ）10-1110011可知對(duì)應(yīng)矩陣A=10-1110011=0.

從而ξ1=α+β，ξ2=β+γ，ξ3=γ-α線性相關(guān).

問(wèn)題思考：如果上題條件改變?yōu)樵O(shè)空間向量α，β，γ線性相關(guān)，證明：α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).事實(shí)上，這可以把它看作是原例題的特例.

當(dāng)然，相對(duì)于一部分人來(lái)說(shuō)，這么反復(fù)折騰一個(gè)概念也沒(méi)有什么實(shí)際意義.在柏拉圖主義看來(lái)，數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)并不是為了要有實(shí)用價(jià)值，而是為了最高形式的理性訓(xùn)練，對(duì)絕對(duì)理念的感悟和認(rèn)識(shí)，以及對(duì)哲學(xué)研究有益.

2.線性相關(guān)性的幾何解析基本概念：

①兩向量共線的充要條件是它們線性相關(guān).

②三向量共面的充要條件是它們線性相關(guān)或混合積為0.

③空間的任意四個(gè)或以上的向量總是線性相關(guān).

方法五 僅證明混合積為0.即：

（α+β，β+γ，γ-α）=0

∵[（α+β）×（β+γ）]（γ-α）=[α×β+α×γ+β×β+β×γ]（γ-α）=（α×β）γ+（α×γ）γ-（β×γ）α=0

或∵（α+β）×β=α×β

（β+γ）×β=-γ×β

（γ-α）×β=γ×β-α×β

∵[（α+β）+（β+γ）+（γ-α）]×β=0

∴α+β，β+γ，γ-α向量共面即線性相關(guān).

方法六 設(shè)α，β，γ是三維空間的任意向量，并令

α=（x1，y1，z1），β=（x2，y2，z2），γ=（x3，y3，z3）

則有

（α+β，β+γ，γ-α）

=x1+x2y1+y2z1+z2x2+x3y2+y3z2+z3x3-x1y3-y1z3-z1=0

所以三向量α+β，β+γ，γ-α線性相關(guān).

可以看出，線性代數(shù)與空間解析幾何也有密切的聯(lián)系，本來(lái)《線性代數(shù)》研究的主要內(nèi)容就是向量.而幾何的基本元素是點(diǎn)、線、面相對(duì)應(yīng)也是向量.因此，在討論線性空間的概念時(shí)，用幾何的方法來(lái)思考也是學(xué)習(xí)者常常用到的.

三、問(wèn)題推廣及一題多解案例

例1 設(shè)向量α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)，證明：向量組

β1=α1，β2=α1+α2，…，

βn=α1+α2+…+αn也線性無(wú)關(guān).

證明

方法一 由于向量組α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)，則可作為n維空間的一組基，從而向量β1=（1，0，0，…，0），β2=（1，1，0，…，0），

β3=（1，1，1，…，0），……，βn=（1，1，1，…，1），由行列式知

100…0110…0111…0……………11111=1≠0，從而有β1，β2，…，βn線性無(wú)關(guān).

推廣應(yīng)用：對(duì)于向量

β1=（1，1，1，…，1），β2=（a11，a12，a13，…，a1n），β3=（a21，a22，a23，…，a2n），……，βn=（an-11，an-12，an-13，…，an-1n）

有ai≠aj（因?yàn)棣羒≠0（i=1，…，n））不然α1，α2，…，αn線性相關(guān).β1，β2，…，βn應(yīng)用范德蒙行列式，向量組線性無(wú)關(guān)，否則線性相關(guān).

方法二 按定義設(shè)存在k1，k2，…，kn∈R，使k1β1+k2β2+…+knβn=0.

從而有

k1α1+k2（α1+α2）+…+kn（α1+α2+…+αn）=0

（k1+k2+…+kn）α1+（k2+k3+…+kn）α2+…+knαn=0，而α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)，即有

k1+k2+…+kn=k2+k3+…+kn=…=kn=0，

所以，k1=k2=…=kn=0即向量組β1，β2，…，βn線性無(wú)關(guān).

例2 求向量組α1=（2，4，2），α2=（1，1，0），α3=（2，3，1），α4=（3，5，2）的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余的向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示.

解 方法一 常規(guī)解題，由3維向量組α1，α2，α3，α4得到對(duì)應(yīng)矩陣并實(shí)施初等行變換：A=

242110231352→121110231352→1210-1-10-1-10-1-1→121011000000

得矩陣的秩為2，且極大無(wú)關(guān)組為α1，α2.

再由方程x1α1+x2α2=α3和方程x1α1+x2α2=α4分別得到兩個(gè)方程組：

2x1+x2=24x1+x2=32x1=1和2x1+x2=34x1+x2=52x1=2

從而解得x1=12x2=1和x1=1x2=1，

即：α3=12α1+α2α4=α1+α2

方法二 對(duì)矩陣A=（α1T，α2T，α3T，αT4）僅施以初等行變換：

A=212341352012→21230-1-1-10-1-1-1

→212301110000→1012101110000

由最后一個(gè)矩陣可知：α1，α2為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，從最后一個(gè)矩陣直接得知：

α3=12α1+α2α4=α1+α2

方法三 將α1，α2，α3，α4作為矩陣的行向量組，得矩陣

A=242110231322

對(duì)A施以初等行變換，化為階梯形矩陣，并在矩陣右側(cè)標(biāo)注所作的變換：A→2420-1-10-1-10-1-1α1α2-12α1α3-α1α4-32α1

→2420-1-1000000α1α2-12α1α3-α1-（α2-12α1）α4-32α1-（α2-12α1）

由最后的階梯形矩陣可知，α1，α2為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，通過(guò)對(duì)每一步的計(jì)算紀(jì)錄得到：

α3-α1-（α2-12α1）=0，

α4-32α1-（α2-12α1）=0，

所以α3=12α1+α2α4=α1+α2.

事實(shí)上，本題是一道典型的關(guān)于線性相關(guān)性的例題，即是對(duì)線性相關(guān)性概念學(xué)習(xí)的一個(gè)小結(jié)，也是這一章節(jié)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo).

四、問(wèn)題和展望

現(xiàn)在很多學(xué)生也包括相當(dāng)一部分教師流行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“無(wú)用論”，但從以上的理解和解題中，我們分明看到了智慧的光芒.實(shí)際上，數(shù)學(xué)以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S為手段的學(xué)習(xí)方式能夠充分發(fā)揮人的心智功能，從而使數(shù)學(xué)具備了除了應(yīng)用價(jià)值以外的理性價(jià)值.

近一兩百年間，全世界的專業(yè)學(xué)院在各自的領(lǐng)域內(nèi)做出的最大貢獻(xiàn)，可能不在于培養(yǎng)多少實(shí)用型的工程師、律師或醫(yī)生，而在于開(kāi)展了大量看似無(wú)用的科學(xué)活動(dòng).某種程度上，數(shù)學(xué)活動(dòng)就是這樣的一種科學(xué)活動(dòng).從這些無(wú)用的科學(xué)活動(dòng)中，我們獲得許多發(fā)現(xiàn)，它們對(duì)人類(lèi)思想和人類(lèi)精神意義之重大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過(guò)這些學(xué)院建立之初力圖達(dá)成的實(shí)用成就.

數(shù)學(xué)教與學(xué)原則從來(lái)都是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)“從何而來(lái)，到何處去”.如果我們遵循這一原則，那么，我們就會(huì)站得更高，看得更遠(yuǎn)，想得更透.

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[責(zé)任編輯：李 璟]