吳穎康

摘? 要：執(zhí)教教師以指對(duì)冪運(yùn)算為內(nèi)容載體，針對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)進(jìn)行了有益的課堂教學(xué)探索. 在前期指對(duì)冪運(yùn)算測(cè)試的基礎(chǔ)上，該節(jié)課通過對(duì)測(cè)試題分類、規(guī)范地進(jìn)行指對(duì)冪運(yùn)算操作、針對(duì)指對(duì)冪運(yùn)算的糾錯(cuò)和改正等三個(gè)主要的數(shù)學(xué)任務(wù)，提煉并闡述數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵，鞏固和加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵的理解和運(yùn)用. 該節(jié)課的教學(xué)過程遵循活動(dòng)原理，即教師指導(dǎo)下的學(xué)生嘗試與鼓勵(lì)，為學(xué)生提供了較多時(shí)間和機(jī)會(huì)進(jìn)行探究、表達(dá)和分享.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算;核心素養(yǎng);指對(duì)冪運(yùn)算

以運(yùn)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化模式和以演繹推理為特征的公理化模式是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的兩條線索. 我國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程一直高度重視數(shù)學(xué)運(yùn)算，從原來的三大能力到現(xiàn)在的六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算始終占有一席之地. 自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出包括數(shù)學(xué)運(yùn)算在內(nèi)的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)以來，如何在課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)始終是數(shù)學(xué)教育教學(xué)領(lǐng)域關(guān)心的重點(diǎn)問題.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不能脫離具體的知識(shí)內(nèi)容. 在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要分析具體教學(xué)內(nèi)容背后所反映的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，將抽象的素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為與具體教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系的教學(xué)目標(biāo)，并通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)任務(wù)和教學(xué)法在課堂中加以落實(shí). 從具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)中形成的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（或者大觀念、思想方法等），則應(yīng)被用來進(jìn)一步指導(dǎo)和促進(jìn)相關(guān)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解. 也就是說，從具體的知識(shí)內(nèi)容到抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，再用抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)去指導(dǎo)具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，這是促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成和發(fā)展所應(yīng)經(jīng)歷的過程. 執(zhí)教教師的這節(jié)課就是這樣一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)從具體到抽象、再用抽象指導(dǎo)具體的教學(xué)案例.

一、目標(biāo)定位

雖然這節(jié)課是在一次關(guān)于指對(duì)冪運(yùn)算的測(cè)試后進(jìn)行的，但它并不是一節(jié)傳統(tǒng)意義上的測(cè)試卷講評(píng)課. 筆者認(rèn)為這是一節(jié)以指對(duì)冪運(yùn)算為內(nèi)容載體的、以數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)（能力）為主題展開的研究課.

這樣說的原因主要基于以下三點(diǎn).

第一，執(zhí)教教師在研讀《標(biāo)準(zhǔn)》和解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力水平框架. 該水平框架包括三個(gè)維度，分別是運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算過程，每個(gè)維度下有若干類別. 本節(jié)課中關(guān)于指對(duì)冪運(yùn)算的測(cè)試卷就是依據(jù)該水平框架編制和開發(fā)的. 這不僅在一定程度上保證了測(cè)試卷的質(zhì)量，也為測(cè)試結(jié)果的分析提供了方向.

第二，本節(jié)課的學(xué)情分析是建立在學(xué)生測(cè)試和問卷調(diào)查的基礎(chǔ)上的，用數(shù)據(jù)說話，準(zhǔn)確有據(jù)，有利于開展針對(duì)性教學(xué). 一方面，執(zhí)教教師對(duì)學(xué)生在三個(gè)維度上的得分率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，了解到學(xué)生在運(yùn)算過程上的表現(xiàn)最為欠缺;另一方面，執(zhí)教教師還通過問卷了解到學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤歸因的典型回答是“粗心”“馬虎”和“不知道怎么計(jì)算”. 這說明學(xué)生并沒有從數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)出發(fā)梳理自己的運(yùn)算錯(cuò)誤. 這些信息有助于教師確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)和教學(xué)策略.

第三，本節(jié)課并不是要就題論題地分析測(cè)試題，而是旨在提煉數(shù)學(xué)運(yùn)算的構(gòu)成要素和涉及的數(shù)學(xué)活動(dòng)，明確數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵，為學(xué)生分析審視指對(duì)冪的運(yùn)算，甚至其他的數(shù)值運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算提供一套話語體系，即“明晰運(yùn)算對(duì)象，依據(jù)運(yùn)算法則，完成運(yùn)算過程，解決數(shù)學(xué)問題”，并用這套話語體系來表達(dá)和交流指對(duì)冪運(yùn)算的過程和運(yùn)算中出現(xiàn)的問題.

二、數(shù)學(xué)任務(wù)

本節(jié)課的數(shù)學(xué)任務(wù)主要有三個(gè)：第一，學(xué)生以小組合作的方式對(duì)測(cè)試題進(jìn)行分類;第二，師生共同完成一道指對(duì)冪的運(yùn)算題;第三，學(xué)生對(duì)教師給出的測(cè)試卷中的錯(cuò)誤解答進(jìn)行糾錯(cuò)并分析錯(cuò)誤原因. 這三個(gè)任務(wù)貼近學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，且具有較好的連貫性.

任務(wù)1的設(shè)置目的在于幫助學(xué)生從具體的指對(duì)冪運(yùn)算中提煉數(shù)學(xué)運(yùn)算的構(gòu)成要素和涉及的數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵的初步理解，掌握“明晰運(yùn)算對(duì)象，依據(jù)運(yùn)算法則，完成運(yùn)算過程，解決數(shù)學(xué)問題”這一用于描述數(shù)學(xué)運(yùn)算的話語體系. 任務(wù)2通過師生問答和教師板演規(guī)范地呈現(xiàn)了如何在一道具體的指對(duì)冪運(yùn)算題中明確運(yùn)算對(duì)象，依據(jù)運(yùn)算法則，完成運(yùn)算過程. 該任務(wù)是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵的運(yùn)用和深化，抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵在這道問題的解答過程中具體化了，學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則和運(yùn)算過程的含義有了操作層面的認(rèn)識(shí)和感受. 如果說任務(wù)1是從具體的指對(duì)冪運(yùn)算的測(cè)試題中抽象出數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵，那么任務(wù)2就是將抽象出的數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵作為指導(dǎo)原則運(yùn)用到具體的指對(duì)冪運(yùn)算題的解決中. 任務(wù)3有兩個(gè)子任務(wù)，第一個(gè)子任務(wù)是讓學(xué)生糾正兩道指對(duì)冪運(yùn)算題中的錯(cuò)誤，第二個(gè)子任務(wù)要求結(jié)合同一位學(xué)生在涉及同一個(gè)運(yùn)算法則的兩道運(yùn)算題中的不同表現(xiàn)，用聯(lián)系的眼光診斷該學(xué)生的錯(cuò)誤原因. 該任務(wù)要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵，審視和分析指對(duì)冪運(yùn)算中的錯(cuò)誤，并進(jìn)行合理歸因，是因?yàn)檫\(yùn)算對(duì)象辨識(shí)不清，還是運(yùn)算規(guī)則混淆，抑或是運(yùn)算過程不規(guī)范出現(xiàn)過失等，從而幫助學(xué)生明確提高自身運(yùn)算能力的改進(jìn)方向. 如果說任務(wù)2是用數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵規(guī)范指對(duì)冪運(yùn)算的解題過程，那么任務(wù)3則是用數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵反思矯正指對(duì)冪運(yùn)算中的錯(cuò)誤.

總的來看，本節(jié)課的三個(gè)任務(wù)中，任務(wù)1和任務(wù)3分別涉及分類和反思的思維活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平要求較高. 盡管任務(wù)2是一道指對(duì)冪運(yùn)算的常規(guī)題，但其用意是從數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵的視角，分析和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的規(guī)范化過程，在整節(jié)課中同樣具有重要作用. 同時(shí)，這三個(gè)任務(wù)較好地處理了具體的指對(duì)冪運(yùn)算和抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵之間的關(guān)系，把數(shù)學(xué)運(yùn)算本身作為了可教可學(xué)的獨(dú)立教學(xué)內(nèi)容.

三、教學(xué)法

顧泠沅先生指出，我國(guó)的數(shù)學(xué)課堂在長(zhǎng)期的改革歷程中逐漸積累并形成四條基本教學(xué)原理：讓學(xué)生迫切而有自信地學(xué)習(xí)——情意原理;針對(duì)不同學(xué)生有層次推進(jìn)的教學(xué)——序進(jìn)原理;教師指導(dǎo)下鼓勵(lì)學(xué)生的嘗試與探索——活動(dòng)原理;通過作業(yè)和輔導(dǎo)及時(shí)反饋并改進(jìn)教學(xué)——反饋原理. 這四條基本教學(xué)原理在執(zhí)教教師的課上或多或少都有所體現(xiàn)，其中最為明顯的是活動(dòng)原理. 教師要在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)有意義的數(shù)學(xué)任務(wù)，在思維關(guān)鍵處設(shè)疑啟發(fā)，而學(xué)生的嘗試與探索則強(qiáng)調(diào)要充分發(fā)揮學(xué)生的自我意識(shí)和主觀能動(dòng)性，確立學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，讓不同水平的學(xué)生共同參與、獲得發(fā)展.

在本節(jié)課中，執(zhí)教教師根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，精心設(shè)計(jì)了如上所分析的三個(gè)教學(xué)任務(wù). 在教學(xué)實(shí)施的過程中，學(xué)生參與度較高，有較多時(shí)間和機(jī)會(huì)進(jìn)行探究、表達(dá)和分享，課堂氛圍輕松活躍. 在時(shí)長(zhǎng)約45分鐘的課堂教學(xué)中，有約28分鐘用于學(xué)生的討論、分享和展示（任務(wù)1，17分鐘;任務(wù)3，11分鐘），有約8分鐘用于師生問答共同完成任務(wù)2的指對(duì)冪運(yùn)算題，剩余的9分鐘則用于教師的引入、講解（包括任務(wù)1數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵的呈現(xiàn)和解釋），以及最后的小結(jié)和作業(yè)布置. 盡管學(xué)生活動(dòng)在整節(jié)課中占據(jù)了大部分時(shí)間，教師講授的時(shí)間相對(duì)較少，但教師實(shí)際上一直在關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，并能據(jù)此做出相應(yīng)的教學(xué)調(diào)整. 例如，在進(jìn)行任務(wù)1，即對(duì)測(cè)試題進(jìn)行分類的小組活動(dòng)時(shí)，執(zhí)教教師在巡視中發(fā)現(xiàn)有的小組從指數(shù)、對(duì)數(shù)等知識(shí)內(nèi)容的角度對(duì)測(cè)試題進(jìn)行分類，并不符合預(yù)設(shè)的對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵的探索方向. 于是，執(zhí)教教師讓討論方向符合預(yù)設(shè)的小組代表分享他們小組是如何對(duì)測(cè)試題進(jìn)行分類的，這一干預(yù)有助于全體學(xué)生明確探索方向，為提煉數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵鋪設(shè)臺(tái)階、打下基礎(chǔ).

四、問題討論

就本節(jié)課的設(shè)計(jì)和實(shí)施而言，有以下兩個(gè)問題可供進(jìn)一步探索. 第一，需要明確指對(duì)冪運(yùn)算的測(cè)試題與構(gòu)建的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力水平框架之間的細(xì)目關(guān)系，即每道測(cè)試題考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力水平框架中哪個(gè)維度下的哪個(gè)類別？這道測(cè)試題真的考查了該類別嗎？該類別還可以通過其他測(cè)試題來考查嗎？等等. 換言之，即要通過科學(xué)手段建立測(cè)試卷的信度和效度，使測(cè)試卷的結(jié)果能如實(shí)反映學(xué)生在指對(duì)冪運(yùn)算上的表現(xiàn). 第二，該堂課是以指對(duì)冪運(yùn)算為載體，將數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵本身作為獨(dú)立教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)嘗試. 盡管我們從目標(biāo)定位、數(shù)學(xué)任務(wù)和教學(xué)法這三個(gè)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了分析和肯定，但該節(jié)課的實(shí)際教學(xué)效果究竟如何還得學(xué)生說了算. 學(xué)生明白數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵了嗎？他們會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵進(jìn)行運(yùn)算操作和反思糾錯(cuò)了嗎？數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)涵的顯性化與學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力之間有關(guān)系嗎？這種關(guān)系有多大的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度呢？這些問題需要通過設(shè)計(jì)測(cè)試卷和訪談提綱，在數(shù)據(jù)收集和分析的基礎(chǔ)上獲得解答，而這些問題的解答應(yīng)該有助于教師反思和改進(jìn)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施.

如果我們把數(shù)學(xué)運(yùn)算從指對(duì)冪運(yùn)算拓展到更大范圍的數(shù)學(xué)內(nèi)容中加以考慮，則會(huì)出現(xiàn)更多值得討論的問題. 例如，如果從數(shù)的運(yùn)算延拓到符號(hào)的運(yùn)算，那么以數(shù)學(xué)運(yùn)算為主題的課堂教學(xué)的目標(biāo)定位、數(shù)學(xué)任務(wù)和教學(xué)法會(huì)有什么不同？如果從針對(duì)具體對(duì)象的運(yùn)算延拓到針對(duì)抽象對(duì)象（如抽象函數(shù)）的運(yùn)算，那么又該如何進(jìn)行教學(xué)呢？更為寬泛的問題還包括：該如何來理解運(yùn)算本身？運(yùn)算作為一種對(duì)象，它在數(shù)學(xué)課程中發(fā)生、發(fā)展的過程是怎樣的？數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)進(jìn)階又是怎樣的？希望這些問題能引發(fā)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作者的思考和研究，以期達(dá)到拋磚引玉的效果.

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