黃春香

領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義，而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的直接手段，小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個(gè)整體概念，即小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。如果教師在小學(xué)階段立足數(shù)學(xué)廣角教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以發(fā)展學(xué)生的智力、挖掘?qū)W生的潛能，全面提高思維素質(zhì)。下面就以數(shù)學(xué)廣角中《鴿巢問(wèn)題》為例，談?wù)勎以诮虒W(xué)中滲透了哪些數(shù)學(xué)思想方法。

一、化歸思想

化歸思想是將一個(gè)問(wèn)題由難化易，由繁化簡(jiǎn)，由復(fù)雜化簡(jiǎn)單的過(guò)程稱為化歸，它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱。化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。

例如：在教學(xué)《鴿巢問(wèn)題》時(shí)，教師：喜歡“魔術(shù)”嗎？。取出大王和小王，還剩下52張牌，每人隨意抽一張，不管怎么抽，至少有2張牌是同花色的。同學(xué)們相信嗎？5位同學(xué)上臺(tái)，抽牌，亮牌，統(tǒng)計(jì)。老師為什么猜得這么準(zhǔn)呢？今天我們就來(lái)研究這個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。52張撲克牌數(shù)量較大，為了方便研究，我們先來(lái)研究幾個(gè)數(shù)量較小的同類問(wèn)題。

從學(xué)生喜歡的“魔術(shù)”入手，設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知欲望，從而提出需要研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不是與生俱來(lái)的，我們?cè)诮虒W(xué)中要注意引導(dǎo)，不斷滲透和培養(yǎng)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生形成轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的習(xí)慣，提高解題能力。這里的教學(xué)設(shè)計(jì)就是化歸數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)。

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)，就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。

例如：教師：把4根吸管放到3個(gè)紙杯里，有哪些放法？教師根據(jù)學(xué)生回答用圖或數(shù)的分解來(lái)有序展示學(xué)生的記錄。師：在四種放法中，你發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)學(xué)生觀察，第一種放法中最大數(shù)是4，第二種放法中最大數(shù)是3，第三種放法中的最大數(shù)是2，第四種放法中的最大數(shù)也是2。（4，0，0）或（0，4，0）雖然順序不同，但具有相同特點(diǎn)就是最大數(shù)是4，歸為一種，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序記錄，達(dá)到快速有效記錄的目的。根據(jù)學(xué)生的匯報(bào)結(jié)果，教師展示學(xué)生的記錄。師：你發(fā)現(xiàn)了什么？生：四種記錄都有一個(gè)共同特點(diǎn)，總有一個(gè)杯子里至少有2根吸管。也就是四種放法中，都有一個(gè)杯子里不少于2根吸管，可以是2根或2根以上。

兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律，一般來(lái)說(shuō)是從直接感知到表象，再到形成科學(xué)概念的過(guò)程。數(shù)形結(jié)合符合人類認(rèn)識(shí)自然，認(rèn)識(shí)世界的客觀規(guī)律。剛才的教學(xué)片段就是滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

三、優(yōu)化思想

《課程標(biāo)準(zhǔn)》（試驗(yàn)稿）指出：“學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。” 優(yōu)化思想就是在有限種或無(wú)限種可行方案（決策）中挑選最優(yōu)的方案（決策）的思想，是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想。多樣化是優(yōu)化的基礎(chǔ)，沒(méi)有多樣化也就無(wú)所謂優(yōu)化。

例如：把4根吸管放到3個(gè)紙杯里，可以放（4，0，0）;（3，1，0）;（2，2，0）;（2，1，1）四種放法;5根吸管放到4個(gè)紙杯里，可以有（5，0，0，0）;（4，1，0，0）;（3，2，0，0）;（3，1，1，0）;（2，2，1，0，）;（2，1，1，1）六種方法，如果吸管和杯子數(shù)量繼續(xù)變多，雖然也是吸管的數(shù)量比杯子多1，要找出所有的擺放規(guī)律就比較困難，這就需要找到一種最快的方法能滿足總有一個(gè)杯子里至少有2根吸管，學(xué)生通過(guò)交流討論得出先利用平均分的方法。再把剩余的吸管依次放在不同的杯子里。

讓學(xué)生自己通過(guò)觀察比較得出“平均分”的這種方法是將解題經(jīng)驗(yàn)上升為理論水平，進(jìn)一步強(qiáng)化方法、理清思路。以上教學(xué)過(guò)程就是一種優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法的展示，讓在學(xué)生發(fā)現(xiàn)多種擺法后能找到一種最快最好的擺法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師有意識(shí)地滲透和訓(xùn)練，讓學(xué)生在反思過(guò)程中逐步頓悟。

四、建模思想

“數(shù)學(xué)模型”是一個(gè)含義很廣的概念，粗略的講，數(shù)學(xué)模型是指參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表達(dá)出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

例如：5只鴿子飛進(jìn)了3個(gè)鴿籠，總有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。你能把剛才分的過(guò)程用算式表示嗎？讓學(xué)生通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證、分析推導(dǎo)出《鴿巢問(wèn)題》的一般模型就是用除法算式表示，（如：5÷3=1......2）剩下的兩只鴿子從最不利的情況飛到不同的鴿巢里，同樣滿足至少有2只鴿子飛進(jìn)了同一個(gè)鴿巢里。（或總有一個(gè)鴿巢里至少飛進(jìn)了2只鴿子）

這就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的分析，形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言模型，并用建立在頭腦中的模型規(guī)律解決實(shí)際的問(wèn)題。這種思想就是重要的建模思想，培養(yǎng)了這種數(shù)學(xué)建模思想，很多實(shí)際生活中的“模型”問(wèn)題就能輕易地利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決了，許多數(shù)學(xué)知識(shí)的理解也變得簡(jiǎn)單了。

五 、推理思想

推理思想是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理思想作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的思想方法，無(wú)論在小學(xué)還是在中學(xué)都有著廣泛的應(yīng)用，推理能力作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，在小學(xué)教學(xué)的探究學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造學(xué)習(xí)中應(yīng)用更為廣泛。

例如：在教學(xué)《鴿巢問(wèn)題》時(shí)，教師不管是把5根吸管放在4個(gè)杯子里，5只鴿子飛進(jìn)3個(gè)鴿巢里，7本書放在2個(gè)抽屜里，11本書放在3個(gè)抽屜里，余數(shù)不管是1還是其他的數(shù)，總有一個(gè)杯子（鴿巢、抽屜）里有至少有商加1的物體，引導(dǎo)得出【物體數(shù)÷抽屜數(shù)（杯子數(shù)、鴿巢數(shù)）=商......余數(shù)（物體數(shù)大于抽屜數(shù)）】，至少數(shù)不是余數(shù)加1，而是商加1的結(jié)論，在整除時(shí)，至少數(shù)剛好就等于商。

數(shù)學(xué)在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)有比較廣泛的應(yīng)用，人們?cè)诶脭?shù)學(xué)解決各種實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，雖然大量的計(jì)算和推理可以通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)完成，但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推理能力仍然是至關(guān)重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。

小學(xué)數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)中很多時(shí)候不僅包括以上幾種數(shù)學(xué)思想方法，還包括有序思想、排列組合思想、集合思想、統(tǒng)籌思想等等多種思想方法。教師在數(shù)學(xué)廣角等教學(xué)過(guò)程中要經(jīng)常利用實(shí)物、教具、圖表、生活經(jīng)驗(yàn)、幽默語(yǔ)言等直觀教學(xué)手段來(lái)更好地集中學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生更好地感知事物，讓數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生心底“萌生”。