張玲

摘 要：數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維的一門學(xué)科，拿到一道題目后如何去思考，采用什么方法去處理和解決，是我們解答數(shù)學(xué)題的第一步。教師只有指導(dǎo)好學(xué)生的解題策略，才能提高學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和效果。

關(guān)鍵詞：解題策略;思想方法;轉(zhuǎn)化與化歸;數(shù)形結(jié)合

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)是在不斷的提出問(wèn)題，解決問(wèn)題中得到發(fā)展和完善的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，離不開(kāi)解題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題既可以鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、又加深了知識(shí)的理解，更是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維，培養(yǎng)創(chuàng)造性能力的手段。

一、研究的意義

求解論證數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。很多同學(xué)一提到學(xué)數(shù)學(xué)就頭痛畏難，拿到數(shù)學(xué)題目無(wú)從下手，其實(shí)究其本質(zhì)，除了部分同學(xué)學(xué)習(xí)不認(rèn)真、基礎(chǔ)知識(shí)掌握不扎實(shí)外，更多的同學(xué)是沒(méi)有掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題策略和方法，存在解題能力的缺失。我們教師只有指導(dǎo)好了解題的策略和方法，學(xué)生在解數(shù)學(xué)題目過(guò)程中才有著陸點(diǎn)，才能讓學(xué)生可以動(dòng)筆去做，去嘗試進(jìn)行后面的運(yùn)算、論證。所以教會(huì)他獨(dú)立思考處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題策略能力，是現(xiàn)在學(xué)生的迫切需求。著名數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中指出，任何一門學(xué)問(wèn)都由知識(shí)和技能兩部分組成，而且學(xué)會(huì)一種技能遠(yuǎn)比掌握一個(gè)知識(shí)要重要的多。所以學(xué)生學(xué)會(huì)解題的策略和方法，對(duì)他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和效果的提升就顯得更加重要。

二、研究的方法

針對(duì)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，制定了培養(yǎng)解題策略的方法。

（一）解題策略的奠基，扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)

在新授課的教學(xué)中，要重視知識(shí)的深入理解、全方面的認(rèn)識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)章節(jié)的知識(shí)進(jìn)行整理，樹狀圖或者思維導(dǎo)圖的方式比較形象直觀，幫助學(xué)生建立相應(yīng)章節(jié)完整的知識(shí)體系。針對(duì)基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)可以經(jīng)常抽測(cè)，以基礎(chǔ)題目為載體進(jìn)行檢查或以問(wèn)題鏈的形式進(jìn)行追問(wèn)式當(dāng)面反饋，幫助學(xué)生掌握和理解。為學(xué)生正確理解題目奠定基礎(chǔ)。

（二）解題策略的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題其實(shí)就是把用圖形，文字，數(shù)學(xué)符號(hào)等表示形式敘述的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸。

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)“所謂解題就是將我們要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以往解決過(guò)的問(wèn)題”。這其實(shí)就是一種轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化時(shí)既可以從陌生向熟悉轉(zhuǎn)化，抽象向具體轉(zhuǎn)化，也可以從函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化中去尋求問(wèn)題解決的途徑和方法。列舉部分如下：

1.簡(jiǎn)單化原則

有些經(jīng)典問(wèn)題根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，可以幫助他總結(jié)出解決這類問(wèn)題的簡(jiǎn)單方法，對(duì)他的掌握更有效果。

例1.將函數(shù)圖像上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖像，若，其中x1，，則的最大值是（ ）

解析：由解得，又有f（x）的最小正周期T=2π，A=1>0，所以可以利用五點(diǎn)作圖法得到函數(shù)的圖像如下：

再把圖像上個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變就可以得到函數(shù)g（x）的圖像如下：

圖像上點(diǎn)，，所以g（x）的最小正周期為π。由此可得，。分析，可以得到g（x1）和g（x2）的值應(yīng)該一個(gè)為1，另一個(gè)為-1。觀察圖像找到內(nèi)最左側(cè)和最右側(cè)的最值點(diǎn)，然后數(shù)一下二者之間有，答案為C。

通過(guò)近幾年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)圖像的方法對(duì)學(xué)生來(lái)講更直觀，正確率更高一些，所以在解決解析式為的問(wèn)題中，指導(dǎo)學(xué)生掌握五點(diǎn)作圖法得到函數(shù)的圖形來(lái)直觀理解題目，求解就會(huì)相對(duì)容易。有些經(jīng)典的題目需要我們幫助學(xué)生建立相應(yīng)的優(yōu)化解題策略，讓學(xué)生少走彎路，提高解題效率和準(zhǔn)確度。

在解題過(guò)程中讓學(xué)生逐步理解轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，這樣即使是遇到新信息問(wèn)題，學(xué)生也可以根據(jù)自己的數(shù)學(xué)直覺(jué)嘗試去轉(zhuǎn)化或化歸。

2.解題策略的方式，數(shù)量解題與圖形解題

波利亞曾說(shuō)過(guò)，圖形不僅是幾何題目的對(duì)象，而且對(duì)任何一開(kāi)始跟幾何沒(méi)有關(guān)系的題目，圖形也是一個(gè)重要的幫手。在數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，他們之間有著十分密切地聯(lián)系，幾何圖形里都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀的反映和描述。其實(shí)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，都是在數(shù)和形中選擇一種方法作為切入點(diǎn)進(jìn)行分析、尋求解題策略。所以在平時(shí)的解題教學(xué)中，我們需要經(jīng)常不斷地去引導(dǎo)學(xué)生往這兩個(gè)方面考慮，幫助學(xué)生形成思維模式。我跟學(xué)生形象的把這兩者比喻為我們的左腳和右腳，你要想走路肯定要抬起一只腳先邁出第一步。而且在教學(xué)中結(jié)合高考實(shí)際，針對(duì)不同的題目類型，幫助學(xué)生總結(jié)解題策略，還可以提高解題速度和效率。下面通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題我們共同來(lái)體會(huì)一下解題策略的方式。

1.數(shù)量解題

例2.已知直線和橢圓C：，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系？

針對(duì)初次接觸它的學(xué)生來(lái)講，這就是考察他解題策略的一道題目。在教學(xué)中從學(xué)生的回答中我發(fā)現(xiàn)有想通過(guò)畫圖來(lái)判斷的，畫圖可能會(huì)產(chǎn)生的錯(cuò)誤是一種不知道怎么辦，還有一種從圖形著手發(fā)現(xiàn)直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在橢圓外面，錯(cuò)誤的判定直線與橢圓相離;當(dāng)然也有從代數(shù)的角度去考慮的，聯(lián)立方程組看解的情況。這其實(shí)剛好體現(xiàn)了我們思考的兩個(gè)方向數(shù)與形。針對(duì)這道題目顯然圖形有劣勢(shì)，因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在橢圓的外面，會(huì)給學(xué)生以誤導(dǎo)，所以需要我們?nèi)ヒ龑?dǎo)學(xué)生考慮橢圓的圖形特點(diǎn)它在第四象限是一段凹曲線，所以簡(jiǎn)單的從圖形來(lái)判斷好像理論依據(jù)不夠充分，此時(shí)再追問(wèn)還可以怎么辦？一定會(huì)有人回答通過(guò)代數(shù)的聯(lián)立方程組去看交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以就引出了位置關(guān)系的代數(shù)判斷方法，而且這種方法更嚴(yán)謹(jǐn)。這里剛好介紹解析幾何的基本思想，借助代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，順理成章。而且在解析幾何解答題的求解中核心思想其實(shí)都是代數(shù)中的方程不等式思想。講解完此題后可以再追加一個(gè)變式練習(xí)：直線方程改為又可以怎么判斷呢？此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)顯然在橢圓的內(nèi)部，所以借助圖形就可以快速的判斷出二者的位置關(guān)系。最后進(jìn)行適當(dāng)總結(jié)，在解題中要因題而宜，具體題目選擇具體的方法，適時(shí)的在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

2.圖形解題

例3.已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若，則|AB|=? ? 。

對(duì)于高二剛剛接觸橢圓的學(xué)生來(lái)講，還沒(méi)有形成這類問(wèn)題的求解方向和思路，拿到題目后就會(huì)產(chǎn)生一種無(wú)從解決的狀況，不知道該怎么辦。所以借助該題目剛剛好可以體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的運(yùn)用，啟發(fā)學(xué)生不妨畫下圖形再觀察看看，借助直觀的圖形再結(jié)合橢圓的定義，這道題目不用動(dòng)筆計(jì)算可以直接寫出結(jié)果，這里既體現(xiàn)了圖形的直觀性又強(qiáng)調(diào)了定義的運(yùn)用。還給學(xué)生解題指明了一個(gè)方向，分析圖形找思路，結(jié)合代數(shù)列式求解。具體解答如下：

先畫出已知的兩個(gè)圓，再結(jié)合圖形觀察得到符合題意的公切線只有如圖二所示的一條直線DE，然后利用直線與圓相切的條件得到，進(jìn)一步得到點(diǎn)F（2，0），，然后就可以利用直線的點(diǎn)斜式寫出直線方程，解出。

對(duì)比兩種方法，各有優(yōu)劣，進(jìn)行總結(jié)比較。讓學(xué)生體會(huì)解決解析幾何小題目的解題策略，往往可以考慮圖形優(yōu)先。在平時(shí)練習(xí)中注意解題策略的應(yīng)用和總結(jié)，既鍛煉了數(shù)學(xué)思維，又提高了學(xué)生的解題效率，還增加了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心。

結(jié)語(yǔ)

解題是一種實(shí)踐性的技能，我們是通過(guò)模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)會(huì)任何一種實(shí)踐性技能的。所以在學(xué)習(xí)解題時(shí)，你必須觀察和模仿別人在解題時(shí)的做法，最后你通過(guò)解題學(xué)會(huì)解題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求教師注重對(duì)學(xué)生解題策略能力的培養(yǎng)，就需要教師精選例題及課后習(xí)題，幫助學(xué)生逐步形成符合認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的解題策略，讓每位同學(xué)真的能學(xué)有所得，學(xué)有所用。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。從而為社會(huì)培養(yǎng)能夠具有獨(dú)立提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的人才，使高中數(shù)學(xué)教學(xué)符合社會(huì)發(fā)展以及新課程改革的需求。

參考文獻(xiàn)

[1]波利亞<<怎樣解題-數(shù)學(xué)思維的新方法>>上?？萍冀逃霭嫔?，2012.7