景來峰 楊長(zhǎng)智
摘 要:新課標(biāo)下的恒成立是高中數(shù)學(xué)的常見問題,它主要考察函數(shù)與導(dǎo)數(shù),方程與不等式,函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用。同時(shí)滲透換元,轉(zhuǎn)化與化歸,函數(shù)與方程的思想方法,尤其導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)更為明顯,是歷年高考的熱點(diǎn)問題??陀^題中的恒成立問題,通過分離參數(shù)或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值基本能夠解決,但主觀題的恒成立問題,經(jīng)常是以壓軸題的形式出現(xiàn),同學(xué)們做起來,經(jīng)常感到思路不暢,解答不完整,通法難以套用等。下面我就導(dǎo)數(shù)大題的恒成立問題,并結(jié)合高考題談一下思路和方法。
關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);恒成立;放縮;分類討論;兩個(gè)小不等式等
一、觀察端點(diǎn)函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性
例1:設(shè)函數(shù)若對(duì)恒成立,求m的取值范圍。
分析:觀察端點(diǎn)函數(shù)值f (x)=0,原題即為x>1恒有f (x)>f (1),所以只需討論m,說明f (x)在單增即可,但是不能按f (x)是單增函數(shù)求m范圍,因?yàn)閒 (x)在(1,+∞)單增是 f (x)>0(1,+∞)恒成立的充分不必要條件。
解:
令g (x)=x2+x-m,g (x)在(1,+∞)單增且g (1)=2-m
(1)當(dāng)即時(shí)
在(1,+∞)是增函數(shù)
所以 ?f (x)在(1,+∞)為增函數(shù)
對(duì),有,適合題意
(2)當(dāng)即時(shí)
令得
當(dāng)時(shí),即
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí),不適合題意
所以m取值范圍是
方法總結(jié):若題目為:時(shí)恒成立,求f (x)中參數(shù)的取值范圍。先觀察端點(diǎn)函數(shù)值,若,即轉(zhuǎn)化為討論參數(shù),說明f (x)在單增(單減)即可,上題中在的單調(diào)性是明確的,如果不明確,需要二次求導(dǎo)。有的題目需要變形后才能轉(zhuǎn)化成上面的類型。
例2:(14年全國高考) 已知函數(shù)
(1)討論f (x)的單調(diào)性
(2)設(shè),當(dāng)求b的最大值。
(1)略
(2)
分析:觀察即 所以只需討論b,說明即可。
簡(jiǎn)解:
因?yàn)?/p>
①當(dāng)即時(shí)
在R上單增適合題意
②當(dāng)即時(shí)
令得
當(dāng)是減函數(shù)不合題意
所以b取值范圍是,b最大值為2.
方法總結(jié):本題端點(diǎn)函數(shù)值為零,然后通過整體思想或者換元,轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)的單調(diào)性問題。
例3(2020全國理科) ? 已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí) 討論f (x)的單調(diào)性
(2)當(dāng)時(shí) ,求的取值范圍.
(1)略
分析(2)若令
觀察到:即。所以可以轉(zhuǎn)化為討論,說明即可,但是幾次求導(dǎo)后不能轉(zhuǎn)化為上面的題型,討論單調(diào)性。因此需先把原題變形一下:即。
分析:令,觀察端點(diǎn)函數(shù)值 ,即,所以只需討論,說明g (x)在(0,+∞)單減即可
簡(jiǎn)解:
令
①當(dāng)即時(shí)
g (x)為增函數(shù)時(shí)不合題意
②當(dāng)即時(shí)
單減
單減極大值
由要使只需
由解得
③當(dāng)即時(shí) ? ?因?yàn)?/p>
可以說明當(dāng) ? 恒成立
也可以直接說明
時(shí)
綜上的取值范圍是
方法總結(jié):本題雖說符合這種解法,但是沒法直接討論其單調(diào)性,需要變形后再討論。適當(dāng)?shù)淖冃问顷P(guān)鍵。
二、對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類,在每一類下說明不等式是否恒成立。
這種題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),一是參數(shù)的范圍如何劃分,二是怎么說明不等式是否成立,說明不成立,找到特值或區(qū)間,說明成立需要進(jìn)行征明,可能用到兩個(gè)小不等式的放縮。
如4(15年四川高考)已知函數(shù)
討論f (x)的單調(diào)性
試確定a的值,使得在區(qū)間(1,+∞)恒成立
過程略①單增
②時(shí)是增函數(shù), 是減函數(shù)
(2)分析:若令雖說
即:時(shí),恒成立但無法討論,說明g (x)的單調(diào)性
簡(jiǎn)解:1°當(dāng)時(shí)
而即
不成立
2°由(1)的結(jié)論可知:①當(dāng)即時(shí)
由①知f (x)在單減
所以而原式不成立
②當(dāng)即時(shí)(說明g (x)單增即可)
在(1,+∞)是增函數(shù)
所以:當(dāng)適合題意
取值范圍是
方法總結(jié):由根據(jù)單調(diào)區(qū)間對(duì) 進(jìn)行了分類然后在每一類下,進(jìn)行說明或證明,其中證明時(shí)用到放縮①
如5.(2020全國高考)已知函數(shù)
(1)時(shí)求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積。
(2)若求的取值范圍
簡(jiǎn)解:(1)略
(2)
在是增函數(shù)
①當(dāng)時(shí) 不成立
②當(dāng)時(shí)是增函數(shù),且f '(1)=0
,f (x)單減,f (x) ?單增
所以 所以恒成立
③當(dāng)時(shí)
使即
f (x)單減
f (x)單增
時(shí) 恒成立
綜上的取值范圍是
方法總結(jié):本題根據(jù)的正負(fù)對(duì)進(jìn)行分類,而說明成立,相當(dāng)于隱零點(diǎn)求最值,當(dāng)然本題也有其它簡(jiǎn)單的解法。
以上就是我對(duì)恒成立問題的兩種解法的總結(jié),當(dāng)然恒成立問題,靈活多變,綜合性強(qiáng)。在掌握基本方法的前提下,觀察式子特點(diǎn),通過化歸思想,轉(zhuǎn)化為熟知的類型。
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