王克亮

(江蘇省射陽中學(xué) 224300)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在課程目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱‘四能’).”這表明新的課程標(biāo)準(zhǔn)提倡課堂教學(xué)采用“問題解決”的形式. 與之配套的蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材則在扉頁的“致同學(xué)”中提到：“怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？第一，要學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題和提出問題；第二，要嘗試分析并解決所提出的問題；第三，要學(xué)會回顧反思.”很明顯，這是在向?qū)W生介紹“問題解決”式的學(xué)習(xí)方法.

那么，在高中數(shù)學(xué)新授課中，該如何實施“問題解決”式的教學(xué)方法呢？經(jīng)過近兩年的探索與實踐，筆者構(gòu)建了“四問驅(qū)動”的教學(xué)范式.

1 “四問驅(qū)動”教學(xué)范式的流程及內(nèi)涵

筆者構(gòu)建的新授課“四問驅(qū)動”教學(xué)范式的流程如圖1所示，其中，“啟問、探問、追問、回問”構(gòu)成一個問題解決循環(huán).

圖1

筆者認(rèn)為，一節(jié)新授課就是一個“問題解決”的大循環(huán).

啟問：依據(jù)目標(biāo)，提出問題. 這是“問題解決”的發(fā)生階段，指發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的過程. 啟問通常緊跟問題情境之后或置于一個教學(xué)活動之前，往往隱含一節(jié)課或一個教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo).

探問：拾級而上，解決問題. 這是“問題解決”的發(fā)展階段，指分析問題與解決問題的過程. 這一階段通常需要老師的引導(dǎo)與啟發(fā)，可設(shè)計一系列的子問題或“問題解決”的小循環(huán)來引導(dǎo)學(xué)生探究.

追問：質(zhì)疑交流，促進(jìn)思維. 這是“問題解決”過程中的一個個小高潮，指質(zhì)疑問難與思維交流的過程，旨在出現(xiàn)老師質(zhì)疑學(xué)生、學(xué)生質(zhì)疑學(xué)生、以及學(xué)生質(zhì)疑老師的生動場景.

回問：反思提煉，總結(jié)提升. 這是“問題解決”的結(jié)束階段，指回顧與反思的過程，意圖從中提煉思想方法，或提出新的問題.

筆者認(rèn)為，一節(jié)新授課就是在不斷地提出問題與解決問題的過程中達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).

2 “四問驅(qū)動”教學(xué)范式的實踐與體會

在新授課“四問驅(qū)動”教學(xué)范式的實踐中，筆者獲得了如下一些啟示.

2.1 啟問：宜發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)：“情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).”筆者心目中的“啟問”是教學(xué)目標(biāo)問題化的結(jié)果，是貫穿整節(jié)課或一個教學(xué)環(huán)節(jié)的大問題，它不只是瞄準(zhǔn)定義、定理、法則這些冰冷的知識，而應(yīng)盡量發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例1向量的概念及表示

引例1每次上課前，我(指教者，下同)從辦公室出來走140米到了教室；下課后，我將再從教室出發(fā)走140米回到辦公室. 那么，我這兩次運(yùn)動位置變化的效果一樣嗎？

意圖引出“位移”這個矢量.

引例2每次上課前從辦公樓出來時，我先向西勻速行走40秒，每秒鐘行2米；然后向南勻速行走10秒，也是每秒鐘行2米. 那么，這兩個時段內(nèi)我行走的速度一樣嗎？

意圖引出“速度”這個矢量.

追問像這樣的量，你能再列舉一些嗎？

意圖抽象出上述兩個物理量的共性之處，并找出更多類似的量.

● 用什么樣的數(shù)學(xué)模型來表示這樣的量？又該如何研究這個數(shù)學(xué)模型呢？

意圖從數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及研究路線的角度“啟問”，進(jìn)入“問題解決”大循環(huán). 同時指出，這就是新的一章“向量”將要研究的內(nèi)容.

案例2平面向量基本定理

回顧向量共線定理的內(nèi)容是什么？

意圖回顧已學(xué)知識：如果有一個實數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b=λa．

追問1你是如何理解向量共線定理的？

意圖引導(dǎo)學(xué)生回答出以下兩點：

(1)所有的與向量a共線的向量，與實數(shù)之間構(gòu)成了一一對應(yīng)的關(guān)系；

(2)一個非零向量，利用數(shù)乘可以表示所有的與它共線的向量.

追問2如果將向量共線定理看成是一維空間中的一個基本定理，那么你想到了什么樣的問題？

意圖引導(dǎo)學(xué)生提出如下問題.

● 在二維空間(即平面)中，有沒有類似的基本定理呢？

意圖從直觀想象、數(shù)學(xué)建模的角度“啟問”，進(jìn)入“問題解決”大循環(huán)，同時引出本節(jié)課的課題.

評注上述兩個案例都是從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高度來“啟問”的.筆者認(rèn)為，新授課的“啟問”，通常指明了本節(jié)課研究的大方向，明確了本節(jié)課的核心教學(xué)目標(biāo)，它可以只是一個“虛擬的問題”，起“前呼”的作用.在案例2的情境之后，筆者還為學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題與提出問題創(chuàng)設(shè)了平臺.

2.2 探問：宜展示知識形成過程

新授課離不開有關(guān)概念、定理、法則等新知識的學(xué)習(xí)，為了讓學(xué)生弄清楚這些新知識的來龍去脈，教學(xué)中應(yīng)盡量還原它們的形成過程，所以需要設(shè)計一些探究性問題.筆者認(rèn)為，“探問”應(yīng)圍繞“啟問”而設(shè)計，層層遞進(jìn)，通過這些問題的解決自然生成新的知識.另外，新知識的應(yīng)用策略也可以用“探問”的形式來引領(lǐng).

案例3向量的概念及表示(案例1續(xù))

明確研究路線請回顧“集合”的所學(xué)內(nèi)容，并類比其研究模式，試確定“向量”這個全新的數(shù)學(xué)模型的研究路線.

意圖提煉出數(shù)學(xué)對象的一般研究模式：數(shù)學(xué)概念——表示方法——特殊模型——定義運(yùn)算——知識運(yùn)用.然后明確本節(jié)課主要研究向量的概念、表示和特殊的向量模型.

問題1什么叫向量？你認(rèn)為該如何給它下個定義呢？

意圖從前面的多個實例中抽象出“既有大小，又有方向”這兩個共同特征.

問題2對于既有大小又有方向的向量，你想到了哪幾種合理的表示方法？

意圖在已學(xué)的線段、有向線段等知識的基礎(chǔ)上，從圖形、字母等角度來研討向量的表示方法，并給出向量的長度(模)的概念及表示方法.

問題3自己先畫一些向量，然后試著從長度和方向這兩個角度觀察，我們可以給出哪些特殊的向量模型？

意圖從學(xué)生所作的圖形入手，描述其特征，指出它的大小或方向的特殊性，然后進(jìn)行合理命名，并借鑒已有經(jīng)驗給出相應(yīng)的記法，逐步完成下列表格.

名 稱特 征圖形表示大小方向記法零向量長度為00任意0單位向量長度等于1個單位長度1/單位向量e相等向量長度相等且方向相同相等相同a=b相反向量長度相等且方向相反相等相反a=-b平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量/相同或相反a∥b垂直向量方向相互垂直/垂直a⊥b

問題4如何運(yùn)用上述新知識來解決問題？

意圖例題分析、方法提煉及變式練習(xí)(此略).

評注本案例中的問題1～問題3是根據(jù)數(shù)學(xué)對象的一般研究模式而確定的，它們是相對獨立的三個“探問”，而問題4則是新知識的應(yīng)用策略.實踐表明，本節(jié)課中所有的新知識都可以在學(xué)生自行探究的基礎(chǔ)上自然生成，無需任何“灌輸”.特別是問題3，給了學(xué)生較多的發(fā)揮空間，課堂上甚至探究出了本節(jié)內(nèi)容中沒有涉及到的“垂直向量”.

案例4平面向量基本定理(案例2續(xù))

問題1在平面內(nèi)，若有類似于向量共線定理的基本定理，該如何來探究呢？

問題1.1若有這樣的基本定理，它的結(jié)構(gòu)如何？

意圖類比向量共線定理得到平面內(nèi)該基本定理的結(jié)構(gòu)：給定平面內(nèi)的一些非零向量，對于該平面內(nèi)的任一向量，都可以用這些向量來表示.

問題1.2若只給定平面內(nèi)的一個非零向量，它能表示該平面內(nèi)的任一向量嗎？為何？

意圖引導(dǎo)學(xué)生體會到平面內(nèi)的一個非零向量只能表示與它共線的所有向量.

問題1.3若給定平面內(nèi)的兩個非零向量，它能表示該平面內(nèi)的任一向量嗎？

引例如圖2，炮彈在發(fā)射的某一時刻，速度v可以分解為水平向前的分速度v1和豎直向上的分速度v2.那么，v,v1,v2之間的關(guān)系可以怎樣表示？

圖2

意圖根據(jù)向量的加法法則，得v=v1+v2.

思考1保留上述兩個非零向量v1,v2，換一個炮彈的發(fā)射速度v3(如圖3所示)，它能用v1,v2的式子來表示嗎？

圖3

意圖得到v3=λ1v1+λ2v2的表示形式.

追問1該表達(dá)式中的λ1與λ2唯一嗎？為什么？

意圖引導(dǎo)學(xué)生用向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理解釋λ1與λ2的唯一性.

思考2若將v1,v2改成平面內(nèi)其它的兩個非零向量e1,e2，將v3改成平面內(nèi)的任一向量a，上述結(jié)論還成立嗎？

意圖給出多組非零向量e1,e2，引導(dǎo)學(xué)生體會到只要它們不共線，結(jié)論總成立.

問題1.4研究至此，你能得到什么樣的結(jié)論？

意圖提煉出平面向量基本定理，并介紹基底與正交分解的概念.

問題1.5我們是如何探究得到平面向量基本定理的，你從中獲得了哪些感悟？

意圖從邏輯推理(類比遷移、理性分析、邏輯表述)、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度談學(xué)習(xí)體會.

問題2你是如何理解平面向量基本定理的？

意圖引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個角度來理解：

(1)平面內(nèi)一對不共線的向量，就可以表示該平面內(nèi)的所有向量；

(2)當(dāng)一組基底確定后，平面內(nèi)的向量就與實數(shù)對(λ1,λ2)之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系；

(3)平面向量基本定理可作為判斷向量是否共面的依據(jù)，所以也可以理解成是向量共面定理；

(4)平面向量基本定理可看成是向量共線定理的推廣，從一維空間拓展到了二維空間.

追問2很自然地，此時你又有了什么樣新的猜想？

意圖再將平面向量基本定理推廣到三維空間，猜想出空間向量基本定理.

問題3如何運(yùn)用平面向量基本定理來解決問題？

意圖例題分析、方法提煉及變式練習(xí)(此略).

評注在該案例中，問題1～問題3是“問題解決”大循環(huán)中的“探問”；同時，問題1及其子問題又構(gòu)成了一個“問題解決”的小循環(huán)，其中的問題1相當(dāng)于是“啟問”，問題1.1～1.4是“探問”，問題1.5是“回問”，問題解決過程中有“追問”.

2.3 追問：宜促使學(xué)生深度思維

數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，所以課堂上我們應(yīng)追求學(xué)生的深度思維.對此，“追問”應(yīng)當(dāng)是一個有效的策略.“追問”可以基于課前預(yù)設(shè)，更多來自課中臨時生成，由此可引發(fā)師生之間、生生之間的對話，促使師生思維的交流與碰撞，在追問中將學(xué)生的思維不斷引向深入.

比如，在案例1中，“追問 像這樣的量，你能再列舉一些嗎？”需要學(xué)生抽象出“位移”與“速度”的共同特征.

在案例2中，“追問1 你是如何理解向量共線定理的？”需要學(xué)生深入領(lǐng)會向量共線定理的內(nèi)涵，并能用自己的語言表述出來；而“追問2 如果將向量共線定理看成是一維空間中的一個基本定理，那么你想到了什么樣的問題？”則需要學(xué)生善于類比，在二維空間中提出類似的新問題.

在案例3中，特別是在問題3的解決過程中，應(yīng)當(dāng)有多個臨時生成的“追問”.比如，“如何確定零向量的方向比較合理？”“相反向量類似于哪個熟悉的概念？”“平行向量的定義為何要強(qiáng)調(diào)‘非零向量’？”“零向量與其它向量平行嗎？”“平行向量中的‘平行’如何理解？”“共線向量中的‘共線’如何理解？”等.

在案例4中，“追問1 該表達(dá)式中的λ1與λ2唯一嗎？為什么？”需要學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識探究出λ1與λ2的唯一性；而“追問2 很自然地，此時你又有了什么樣新的猜想？”則需要將一維、二維空間中的結(jié)論推廣到三維空間，以培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移和創(chuàng)新思維能力.

評注“追問”通常貫穿教學(xué)的全過程，它的主體可以是老師，也可以是學(xué)生.為了培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的勇氣與能力，課堂上要創(chuàng)設(shè)更多的平臺鼓勵學(xué)生發(fā)問.比如，老師可經(jīng)常說這樣的幾句話：“此時，你想提出什么樣的問題？”“對此，你有什么好的想法？”“同學(xué)們有什么疑問？”等.筆者認(rèn)為，“追問”是靈動課堂的核心所在，是教師教學(xué)智慧的體現(xiàn).

2.4 回問：宜引導(dǎo)學(xué)生提高認(rèn)識

我們知道，數(shù)學(xué)是一門邏輯性、探究性很強(qiáng)的學(xué)科，所以在新知識的學(xué)習(xí)中，回顧反思這一思維活動是必不可少的，它對提高學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)能力至關(guān)重要.“回問”就是利用問題驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行反思，讓學(xué)生在反思中感悟，在反思中提升，在反思中創(chuàng)新.

案例5向量的概念及表示(接案例3)

我們是建立了什么樣的數(shù)學(xué)模型來表示“位移”“速度”這些量的？本節(jié)課我們研究了這個數(shù)學(xué)模型的哪些內(nèi)容？

意圖回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，即向量的定義與表示、特殊的向量模型.

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你獲得了哪些啟示？又有哪些地方值得注意？

意圖讓學(xué)生暢所欲言，并聚焦以下幾點：

(1)學(xué)會建模：學(xué)會從多個實例中抽象出數(shù)學(xué)模型，如向量的概念；

(2)注重傳承：學(xué)會將舊的知識移植到新的知識中，如向量的表示、特殊的向量模型等；

(3)轉(zhuǎn)變觀念：注意一些舊的經(jīng)驗可能有了新的涵義，如平行向量、共線向量中的“平行”“共線”的意義已不同于舊的經(jīng)驗，值得注意.

后續(xù)我們將要研究“向量”這個數(shù)學(xué)模型的哪些內(nèi)容？

意圖明確后續(xù)將要研究向量的運(yùn)算及應(yīng)用等，進(jìn)而引出“向量的加法”這個話題，為下節(jié)課做鋪墊，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣.

案例6平面向量基本定理(接案例4)

你是如何理解平面向量基本定理的？

意圖把握平面向量基本定理的實質(zhì)，它是一組本質(zhì)一致的結(jié)論在二維空間中的表現(xiàn)形式.

你認(rèn)為研究平面向量基本定理有何重要意義？

意圖讓學(xué)生體會到，在此基礎(chǔ)上可建立平面向量與實數(shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而為平面向量的代數(shù)化奠定基礎(chǔ).

在本節(jié)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，你想提出什么樣的新問題？

意圖引出“向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算”這個話題，為下節(jié)課作鋪墊，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.

評注上述兩個案例分別從知識內(nèi)涵、研究路徑、學(xué)習(xí)意義、問題提出等角度進(jìn)行“回問”，加深了學(xué)生的認(rèn)識.筆者認(rèn)為，“回問”通常起“后應(yīng)”的作用，既是對“啟問”的回應(yīng)，更是對思想和方法的提煉與升華；同時，“回問”還常常起著承上啟下的作用.

實踐表明，基于“啟問、探問、追問、回問”的教學(xué)范式，是新授課實施“問題解決”的一個較好操作策略，能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，實現(xiàn)課堂教學(xué)方式的轉(zhuǎn)型.該教學(xué)范式既與新課標(biāo)的倡議相吻合，又能提升課堂的層次.