張惠珍

摘 ?要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵，其中轉(zhuǎn)化思想是最常見(jiàn)的一種思想方法，具體表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的某一形式向另一形式轉(zhuǎn)變，如化曲為直、化新為舊、化繁為簡(jiǎn)等。在課堂教學(xué)中，教師要適當(dāng)滲透轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生將陌生、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題向熟悉、簡(jiǎn)單的知識(shí)領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，從而發(fā)散學(xué)生思維、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化;化曲為直;化新為舊;化繁為簡(jiǎn)

一、化曲為直

（一）探究圓的面積計(jì)算公式

圓是學(xué)生第一次正式接觸的由曲線(xiàn)圍成的平面圖形，首先，在“估一估圓的面積”活動(dòng)中，教師可通過(guò)圓的面積與圓內(nèi)接正方形以及圓外切正方形面積的比較，讓學(xué)生估計(jì)出圓面積的大小范圍，不僅滲透了正多邊形逼近圓的方法，也使學(xué)生初步體會(huì)到“化曲為直”的思想;其次教師可通過(guò)教具及課件的雙重演示，將圓剪一剪，拼一拼，得到一個(gè)近似的平行四邊形或長(zhǎng)方形的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察發(fā)現(xiàn)拼成的長(zhǎng)方形和原來(lái)圓之間的關(guān)系，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的半徑，從而利用已學(xué)的平行四邊形或長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式，這個(gè)過(guò)程集中體現(xiàn)了“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。

（二）探究圓柱的側(cè)面積計(jì)算公式

在探究圓柱的表面積計(jì)算方法時(shí)，學(xué)生已經(jīng)理解了表面積的意義，它是由兩個(gè)相同的底面和一個(gè)側(cè)面構(gòu)成，學(xué)生在上學(xué)期已經(jīng)掌握了圓的面積計(jì)算，因此課堂只要突破圓柱側(cè)面的計(jì)算方法就可以了。圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面， 如何計(jì)算它的面積呢？通過(guò)討論，學(xué)生可從上學(xué)期圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程中得到啟發(fā)，初步認(rèn)識(shí)到要將曲面轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的平面圖形。教師應(yīng)及時(shí)結(jié)合課件組織學(xué)生動(dòng)手操作，把一個(gè)圓柱形紙盒沿一條高剪開(kāi)，觀(guān)察側(cè)面的展開(kāi)圖，得到一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形;接著討論側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)和寬與這個(gè)圓柱有什么關(guān)系，學(xué)生很快得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓柱底面的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓柱的高，然后教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將側(cè)面（曲面）的面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形（平面圖形）的面積來(lái)計(jì)算，從而利用長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式，這種教學(xué)過(guò)程也是利用了“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。

二、化新為舊

（一）解決“比”的問(wèn)題

“比”在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的概念，筆者學(xué)生理解比的意義往往比較困難，教學(xué)中，筆者密切聯(lián)系學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生利用比的意義將兩個(gè)量的比轉(zhuǎn)化為兩個(gè)量之間的分?jǐn)?shù)關(guān)系或倍數(shù)關(guān)系。如課本第56頁(yè)練一練第2題：“農(nóng)藥和水的質(zhì)量比是1 ∶ 150，現(xiàn)有3千克農(nóng)藥，需要加多少千克的水？”筆者在教學(xué)中緊扣比的意義，引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面理解，一是水是農(nóng)藥的150倍，即將比轉(zhuǎn)化為倍數(shù)關(guān)系來(lái)解題，學(xué)生很快就列出算式：150×3=450（千克）;二是引導(dǎo)學(xué)生利用比和分?jǐn)?shù)的關(guān)系將兩者的比轉(zhuǎn)化為農(nóng)藥占水的，從而轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，從而輕松列出算式：3÷=450（千克）。

對(duì)于“已知兩個(gè)量的比及已知它們的和，求兩個(gè)量或其中一個(gè)量是多少？”這類(lèi)按比例分配的應(yīng)用題，筆者在教學(xué)中也是靈活將兩個(gè)量的和轉(zhuǎn)化為單位“1”的量，通過(guò)畫(huà)圖分析出兩個(gè)量各自的分率，然后運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義分別算出兩個(gè)量的多少;也可以將比轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，先求出平均每份是多少，再求對(duì)應(yīng)幾份是多少，即運(yùn)用“歸一法”解決此類(lèi)比的問(wèn)題。例如：“一種銅銀合金中銅與銀的重量比是9 ∶ 4，156克銅銀合金中含有多少克銀？”可以將已知條件“銅與銀的重量比9 ∶ 4”轉(zhuǎn)化為“銀占銅銀合金的”，接著用解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的步驟列出算式：156×=48克;或者是“銅與銀的重量比9 ∶ 4”轉(zhuǎn)化為銅與銀的份數(shù)各占9份和4份，總份數(shù)為：9+4=13，平均每份重量：156÷13=12克，銀有這樣的4份，重量為：12×4=48克。這些轉(zhuǎn)化其實(shí)都是將抽象的比轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題或除法知識(shí)，對(duì)剛學(xué)習(xí)比的知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，特別容易理解。

（二）解決圓柱體積的計(jì)算方法

在教學(xué)圓柱體積的計(jì)算之前，學(xué)生已經(jīng)初步理解了體積的意義，掌握了長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算方法。教學(xué)中教師可以通過(guò)復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式“體積=底面積×高”，引導(dǎo)學(xué)生支用類(lèi)比的思想猜想出圓柱的體積也可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算，但這只是一種猜想，課堂上還要進(jìn)一步驗(yàn)證。因此，接下來(lái)的教學(xué)中就要運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將圓柱通過(guò)“切一切、拼一拼”轉(zhuǎn)化為之前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方體，然后引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察并討論拼成的長(zhǎng)方體和原來(lái)圓柱之間的關(guān)系。學(xué)生通過(guò)課件或?qū)嵨镅菔静浑y發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，從而利用熟悉的長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式推導(dǎo)出圓柱的體積計(jì)算公式。

（三）解決圓錐的體積計(jì)算方法

同理，探究圓錐的體積計(jì)算方法也可以繼續(xù)運(yùn)用類(lèi)比轉(zhuǎn)化思想，教師可再一次引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“類(lèi)比猜想—驗(yàn)證說(shuō)明”的探索過(guò)程，也就是在學(xué)生掌握了圓柱體積計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)其猜想圓錐體積可能是與它等底等高的圓柱體積的幾分之一，通過(guò)組織學(xué)生小組實(shí)驗(yàn)，從而發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的，利用學(xué)生已學(xué)的圓柱體積公式推導(dǎo)出圓錐的體積計(jì)算方法。這正是“化新為舊”數(shù)學(xué)思想的具體運(yùn)用。

三、化繁為簡(jiǎn)，解決“相遇”問(wèn)題

在“快樂(lè)課堂”中有一道題：“甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)6時(shí)相遇。相遇時(shí)乙車(chē)行了240千米，如果甲、乙兩車(chē)的速度比是7 ∶ 8，那么A、B兩地相距多少千米？”大多數(shù)學(xué)生碰到這類(lèi)行程問(wèn)題，一般先計(jì)算出乙車(chē)的速度，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將兩車(chē)的速度比轉(zhuǎn)化為“甲車(chē)的速度占乙車(chē)速度的”，再利用分?jǐn)?shù)的知識(shí)算出甲車(chē)的速度，最后用兩車(chē)的速度和乘以相遇時(shí)間求出全長(zhǎng)。即：

（1）240÷6=40（千米/時(shí)）;

（2）40×=35（千米/時(shí)）;

（3）（40+35）×6=450（千米）。

這種方法無(wú)疑是正確的，解題時(shí)直接從速度比入手，但步驟比較煩瑣，用到的數(shù)量關(guān)系也比較復(fù)雜;教學(xué)中可以首先肯定學(xué)生的這種做法，然后通過(guò)畫(huà)圖引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到當(dāng)兩車(chē)所用時(shí)間相等時(shí)，兩車(chē)路程的比等于兩車(chē)速度比，分析過(guò)程如下：

甲路程 ∶ 乙路程=（甲速度×?xí)r間） ∶ （乙速度×?xí)r間）（前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以時(shí)間）=甲速度 ∶ 乙速度=7 ∶ 8

這樣，兩車(chē)速度比被轉(zhuǎn)化為兩車(chē)的路程比，有的學(xué)生用“甲路程占乙路程的”分率句，算出甲路程為240 ×=210千米，全長(zhǎng)為240+210=450千米;有的學(xué)生更簡(jiǎn)便，畫(huà)圖直接分析出“乙路程：全程=8 ∶ 15”，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“乙路程占全長(zhǎng)的”，然后利用該分率句列出240÷=450（千米），這兩種方法包含了兩次轉(zhuǎn)化：一是將速度比轉(zhuǎn)化為路程比，二是將比的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，這種轉(zhuǎn)化使學(xué)生的解題過(guò)程更清晰、步驟更簡(jiǎn)便。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，教師在備課過(guò)程中就要注重教材新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，充分考慮學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)及學(xué)生習(xí)慣，充分利用線(xiàn)段圖的直觀(guān)教學(xué)效果，讓學(xué)生理解轉(zhuǎn)化算理，通過(guò)提前滲透、循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，同時(shí)也提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，提升學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯：鄒宇銘）

參考文獻(xiàn)：

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