姜娟 王龍

摘 要：圖G的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和零度分別指其鄰接矩陣A（G）中所有正特征值、負(fù)特征值和零特征值的個(gè)數(shù)，分別記為p（G），n（G），η（G）.本文給出擬完全圖的秩、正負(fù)慣性指數(shù)和零度.

關(guān)鍵詞：秩;正負(fù)慣性指數(shù);零度;擬完全圖

[中圖分類號(hào)]O157.6 ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Abstract：The positive inertia index p（G）， the negative inertia index n（G） and the nullity η（G） of G are respectively defined to be the number of positive eigenvalues，negative eigenvalues and zero eigenvalues of A（G）.The rank，positive and negative inertia indices and nullity of quasi-complete graphs are determined in this paper.

Key words： rank;positive and negative inertia indices;nullity;quasi-complete graph

圖G的秩指其鄰接矩陣A（G）的秩，本文只考慮無(wú)環(huán)無(wú)多重邊的簡(jiǎn)單無(wú)向圖.記G=V（G），E（G）是一個(gè)點(diǎn)集、邊集分別為V（G）=v1，v2，…，vn，E（G）的n階圖.圖G的鄰接矩陣記為A（G）=（aij）n×n.其中，如果vi和vj相鄰，則aij=1，否則aij=0.鄰接矩陣A（G）的秩為圖G的秩，記為r（G），鄰接矩陣A（G）的特征值為圖G的特征值.圖G中所有正特征值的個(gè)數(shù)、負(fù)特征值的個(gè)數(shù)、零特征值的個(gè)數(shù)分別稱為圖G的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、零度，分別記為p（G），n（G），η（G）.顯然有p（G）+n（G）=r（G），p（G）+n（G）+η（G）=v（G）.

完全圖指每一對(duì)不同頂點(diǎn)間都有邊相連的無(wú)向圖，n階完全圖常記作Kn.若圖G去掉一個(gè)點(diǎn)后成為一個(gè)完全圖，則稱圖G是擬完全圖.在圖G中與點(diǎn)u相鄰的點(diǎn)的集合稱為u的鄰域，記為NG（u）.由圖G頂點(diǎn)的一個(gè)子集和圖G中兩端均在該子集的所有的邊的集合組成的圖，稱為G的導(dǎo)出子圖.

在化學(xué)中，一個(gè)分子化學(xué)性質(zhì)的穩(wěn)定性與其對(duì)應(yīng)分子圖的零度有著密切的聯(lián)系.Collatz和Sinogowitz[1]提出刻畫(huà)所有奇異的圖，即刻畫(huà)所有零度大于零的圖.Haicheng Ma[2]等討論了樹(shù)、單圈圖、雙圈圖的正負(fù)慣性指數(shù)和零度，給出了計(jì)算方法，并提出了一個(gè)關(guān)于圖的符號(hào)差的重要猜想. 彭?xiàng)頪3]、王君帥[4]等刻畫(huà)了幾類正慣性指數(shù)為2的圖和完全圖的強(qiáng)邊色數(shù).本文完全刻畫(huà)了擬完全圖的秩、正負(fù)慣性指數(shù)和零度.

參考文獻(xiàn)

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[4]王君帥，馬登舉.完全圖Km與路Pn的笛卡爾積的強(qiáng)邊色數(shù)[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2017（2）：27-30.

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編輯：琳莉