任寧 李亦兒

大概念視角下的單元整體教學(xué)，是基于學(xué)習(xí)者和數(shù)學(xué)核心概念的需求，對教材內(nèi)容、教學(xué)資源重新進(jìn)行優(yōu)化與組合，以結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)活動(dòng)推進(jìn)組織教學(xué)。我們以人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊“運(yùn)算定律”單元為例，重新梳理教學(xué)序列，關(guān)注學(xué)科內(nèi)知識(shí)的整合，通過多元途徑突破學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，注重學(xué)生對大概念的理解和應(yīng)用，以期達(dá)成學(xué)生整體素養(yǎng)的提升。

一、整體教學(xué)前置思考

（一）整體思維視野下的單元序列重組

國內(nèi)教材關(guān)于運(yùn)算定律單元編排有兩種基本思路：一種是以運(yùn)算形式為線索，先學(xué)習(xí)加法運(yùn)算定律，再學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算定律;另一種是以運(yùn)算律為線索，先學(xué)習(xí)交換律，再依次學(xué)習(xí)結(jié)合律、分配律。

人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊“運(yùn)算定律”單元是以運(yùn)算形式為線索的。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生研究完加法交換律后，很自然地會(huì)產(chǎn)生疑問：加法有這樣的運(yùn)算定律，那么其他運(yùn)算中是不是也存在這樣的定律呢？此時(shí)安排探究活動(dòng)環(huán)節(jié)，學(xué)生容易通過遷移發(fā)現(xiàn)乘法交換律，這樣的學(xué)習(xí)序列更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理需求?；谶@樣的思考，本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容序列調(diào)整為：交換律—結(jié)合律—交換律、結(jié)合律的應(yīng)用—分配律—分配律練習(xí)—減法、除法性質(zhì)—運(yùn)算律的應(yīng)用—拓展（高斯求和、分配律）—整理與復(fù)習(xí)—綜合練習(xí)。

（二）大概念指引下的單元整體教學(xué)思考

加法交換律和結(jié)合律的知識(shí)本質(zhì)是加法的意義，而加法的源頭實(shí)際上是自然數(shù)的計(jì)數(shù)。如“6+5=11”，就可以解釋為“先數(shù)左邊的6顆糖，再數(shù)右邊的5顆糖，一共有11顆糖”，而“5+6=11”就可以解釋為“先數(shù)右邊的5顆糖，再數(shù)左邊的6顆糖，一共有11顆糖”，所以“6+5=5+6”。這就是自然數(shù)計(jì)數(shù)原則中的順序不相干原則。加法交換律和結(jié)合律對算法的側(cè)重點(diǎn)不同，算理上的聚焦點(diǎn)都是相同的，即“加法運(yùn)算結(jié)果與其運(yùn)算順序無關(guān)”。乘法是加法的簡便運(yùn)算，所以乘法交換律和結(jié)合律的本質(zhì)也是乘法（加法）的意義，乘法分配律涉及兩級(jí)運(yùn)算，但其本質(zhì)依舊是和乘法意義相關(guān)，乘法運(yùn)算結(jié)果與其運(yùn)算順序也無關(guān)。

綜上所述，貫穿運(yùn)算定律單元的大概念就是運(yùn)算意義（包括加法的意義和乘法的意義）。在運(yùn)算定律教學(xué)中，乘法分配律本身的理解并不難，但因其變式較多，學(xué)生容易落入“一學(xué)就會(huì)、一做就錯(cuò)”的陷阱，因此成了單元學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。剝?nèi)ミ\(yùn)算律的多重“外衣”，基于運(yùn)算意義的底層邏輯幫助學(xué)生理解各個(gè)運(yùn)算律特別是分配律及其變式的意義，突破學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，是本單元教學(xué)的可取路徑。

二、多元途徑突破難點(diǎn)

（一）多元表征層層遞進(jìn)，豐富概念表象

人教版數(shù)學(xué)教材中用文字和字母兩種方式對乘法分配律進(jìn)行表征。為了讓學(xué)生更好地識(shí)記、理解乘法分配律，教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用多元表征方式，多角度豐富對乘法分配律的概念表象。

教師出示：14×12的點(diǎn)子圖及算式，長方形周長計(jì)算。

師：請同學(xué)們觀察算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：第一題，我發(fā)現(xiàn)一種是分開來算，另一種是合起來算。

生：分開來算，就是先算10個(gè)14，再算2個(gè)14，最后相加;合起來算，就是把10個(gè)14和2個(gè)14合起來，等于（10+2）個(gè)14。

“分開來算”和“合起來算”，雖然不太嚴(yán)謹(jǐn)，但這是貼近學(xué)生認(rèn)知水平的語言表征方式，教學(xué)中教師應(yīng)該提倡學(xué)生用這種“不嚴(yán)密”的表達(dá)去理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

教師出示兩道算式：（1）（40+4）×25，（2）47×6+6×53。

師：說說你是怎么想的。

生：第（1）題，先用40與25乘，再用4與25乘。

師：你能上來用箭頭表示一下，讓別人看得更清楚嗎？

（學(xué)生畫箭頭圖，用25分別連接40和4）

生：第（2）題，我先把相同的因數(shù)6圈出來，放在括號(hào)外面，然后把47和53寫在括號(hào)里。

畫箭頭、圈一圈等圖示表征方式，能使學(xué)生更直觀地記憶和理解乘法分配律的兩種結(jié)構(gòu)形態(tài)，結(jié)合之前的文字表征、字母表征、語言表征，幫助學(xué)生豐富乘法分配律的概念表象。

（二）多重理解反復(fù)穿行，促進(jìn)概念理解

如果僅從識(shí)記結(jié)構(gòu)的角度來看，學(xué)生無須花太多時(shí)間就能記住乘法分配律的“外形”。但是乘法分配律變式多，遇到結(jié)構(gòu)不完整的就容易算錯(cuò)，且和乘法結(jié)合律容易混淆，如典型錯(cuò)例“26×99=26×（99+1）”和“25×（4×20）=（25×4）×（25×20）”。要更好地解答這類題目，僅僅記住結(jié)構(gòu)是不夠的，需要引導(dǎo)學(xué)生從乘法意義的角度去理解乘法分配律，用“幾個(gè)幾”來表述乘法分配律的兩種表征形式的轉(zhuǎn)換，從結(jié)構(gòu)理解水平提升到意義理解水平。

教師出示問題：根據(jù)乘法分配律，在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

40×25+4×25=（□+□）×25

師：說說你是怎么想的。

生：把等式左邊的相同因數(shù)25寫在了右邊括號(hào)的外面，那么“40+4”就應(yīng)該寫在括號(hào)里面。

師：你能解釋一下嗎？

生：等式左邊表示的是40個(gè)25加4個(gè)25，所以右邊就是（40+4）個(gè)25。

[教師出示：125×（40+8）=125×40+8]

師：你覺得這道題對嗎？

生：不對。因?yàn)榈仁阶筮叡硎荆?0+8）個(gè)125，所以右邊應(yīng)該是40個(gè)125加8個(gè)125，合起來才是48個(gè)125，所以8后面要添上“×125”。

師：從合起來算到分開算我們要注意什么？

生：括號(hào)外的數(shù)要分別和括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)相乘，再相加。

教學(xué)中，結(jié)構(gòu)理解和意義理解兩種形式不可偏廢，宜相互促進(jìn)。當(dāng)學(xué)生關(guān)注乘法分配律的結(jié)構(gòu)形式時(shí)，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用“幾個(gè)幾”從乘法意義的角度進(jìn)行解釋。當(dāng)學(xué)生用“幾個(gè)幾”表述乘法分配律的算式轉(zhuǎn)換時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注算式“外形”的變化，促進(jìn)學(xué)生對乘法分配律的真正理解。

（三）多向溝通適度拓展，注重思維提升

1.多重變式，提升思維層級(jí)

針對乘法分配律變式多、與乘法結(jié)合律容易混淆這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，需要在練習(xí)課中加強(qiáng)題組對比，利用“幾個(gè)幾”的乘法意義來溝通、突破。

教師出示兩道算式：（1）25×（4+20），（2）25×（4×20）。

師：第（1）題大家都能做對，但是第（2）題有以下不同答案，你們同意哪個(gè)？

①25×4+25×20，②（25×4）×（25×20），③（25×4）×20。

生：第③個(gè)，因?yàn)樗?0個(gè)25。

生：第①個(gè)是在算第（1）題。

師：這題能用乘法分配律嗎？

生：應(yīng)該用乘法結(jié)合律，用分配律的方法算出來的得數(shù)和原來的不一樣。

師：乘法分配律和乘法結(jié)合律的式子看起來有點(diǎn)像，誰有什么好辦法，讓大家一眼就分辨出來嗎？

生：括號(hào)里是加號(hào)的時(shí)候用乘法分配律，括號(hào)里是乘號(hào)的時(shí)候用乘法結(jié)合律。

生：乘法分配律的式子有4個(gè)數(shù)，而乘法結(jié)合律的式子只有3個(gè)數(shù)。

乘法分配律和乘法結(jié)合律“外形”類似，學(xué)生極易搞錯(cuò)。教師通過“計(jì)算原式得數(shù)、算式要素比較、運(yùn)算意義理解”等多種途徑，對兩種運(yùn)算定律進(jìn)行區(qū)分，從而加深對乘法分配律的理解。

教師出示3道算式：（1）36×99+36，（2）36×99，（3）29×15+29×18+33×71。

生：第（1）題可以先在第二個(gè)36后面補(bǔ)上“×1”，這樣就可以看做是99個(gè)36加1個(gè)36，然后提取相同因數(shù)36，就是（99+1）個(gè)36，算出來是3600。

生：第（2）題把99拆成100-1，然后把99個(gè)36轉(zhuǎn)化成（100-1）個(gè)36，等于100×36-1×36，算出來是3564。

生：第（3）題要先把前面兩組數(shù)進(jìn)行合并，29×（15+18）=29×33，然后再和第三組數(shù)合并，29×33+33×71=（29+71）×33=3300。

本教學(xué)環(huán)節(jié)呈現(xiàn)了“需要補(bǔ)1”“兩次提取相同因數(shù)”等乘法分配律的多種變式，依然可以引導(dǎo)學(xué)生以不變應(yīng)萬變，利用“幾個(gè)幾”的乘法意義進(jìn)行解釋。

2.算用溝通，使知識(shí)關(guān)聯(lián)

乘法分配律并不是學(xué)生在四年級(jí)下冊才第一次接觸，兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算、長方形周長計(jì)算公式、相遇問題，都有乘法分配律的影子。

師：看，這是乘法口算和求長方形的周長（配圖略）。你能看到乘法分配律嗎？

生：12×3的口算，分開來算10×3和2×3，合起來就是12×3。

生：長方形的周長計(jì)算方法，可以是6×2+4×2，也可以是（6+4）×2。

鄭毓信教授指出：基礎(chǔ)知識(shí)不應(yīng)求全而應(yīng)求聯(lián)。學(xué)習(xí)了乘法分配律之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)之前所學(xué)知識(shí)中隱藏的乘法分配律，感知知識(shí)之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

三、測查數(shù)據(jù)彰顯實(shí)效

（一）解題能力明顯增強(qiáng)

表1后測數(shù)據(jù)顯示，對于基本類型的題目，實(shí)驗(yàn)班和對照班差異不明顯。對于結(jié)構(gòu)不完整或者其他變式的題型，實(shí)驗(yàn)班優(yōu)勢明顯。

（二）深度理解概念內(nèi)涵

對于“在我們學(xué)過的一些數(shù)學(xué)知識(shí)里，會(huì)存在乘法分配律的現(xiàn)象。你能舉個(gè)例子，并進(jìn)行解釋說明嗎？”這個(gè)問題，對照班只有5.6%的學(xué)生能回答，而實(shí)驗(yàn)班有24.4%的學(xué)生會(huì)以舉例、文字描述、字母式的形式，對概念進(jìn)行解釋說明。由此可見，教學(xué)中教師提供豐富的乘法分配律相關(guān)素材，對學(xué)生深度理解概念起到了一定的作用。

乘法分配律概念內(nèi)涵理解可以劃分為三個(gè)層次：第一層次是概念性記憶水平，主要表征為識(shí)記結(jié)構(gòu)，記住乘法分配律的多元表征形式;第二層次是說明性理解水平，主要表征為理解意義，能借助乘法意義對乘法豎式進(jìn)行解釋并執(zhí)行運(yùn)算;第三層次是探究性理解水平，主要表征為掌握概念內(nèi)涵，能夠把乘法分配律和長方形周長計(jì)算其他知識(shí)進(jìn)行溝通。本課教學(xué)后三個(gè)層次水平的學(xué)生占比分別為20%、40%、40%，學(xué)生的理解水平呈現(xiàn)較好發(fā)展態(tài)勢。

立足大概念的單元整體教學(xué)，要從提升學(xué)生核心素養(yǎng)出發(fā)，構(gòu)建新的單元教學(xué)體系，以單元的視角發(fā)現(xiàn)兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，根據(jù)兒童的認(rèn)知特征和實(shí)際水平改變教材序列，豐富數(shù)學(xué)概念的表征形式，使小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更具整體性、綜合性和創(chuàng)造性，有效突破學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，讓學(xué)生真正理解知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區(qū)錦屏中心小學(xué)浙江省寧波市奉化區(qū)居敬小學(xué)）