鄔盼盼 楊紅娟

“簡(jiǎn)易方程”是人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第五單元內(nèi)容，在“實(shí)際問題與方程”板塊學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)“不會(huì)設(shè)定未知數(shù)”“不會(huì)尋找等量關(guān)系”“列出兩邊有x的方程不會(huì)解”等問題。其中一個(gè)重要原因是教材板塊之間有系統(tǒng)性缺陷，形成了學(xué)習(xí)難點(diǎn)?；趯W(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，我們對(duì)“簡(jiǎn)易方程”單元進(jìn)行整體教學(xué)重組并進(jìn)行實(shí)證研究。

一、單元整體教學(xué)重組簡(jiǎn)述

1.“用字母表示數(shù)”板塊

聚焦“未知數(shù)設(shè)定與未知數(shù)之間代入轉(zhuǎn)換”。第一，降低學(xué)習(xí)起點(diǎn)，數(shù)量關(guān)系中不涉及函數(shù)關(guān)系。第二，把教材原有5個(gè)例題合并、削減為3個(gè)例題，放大“用字母表示特定未知數(shù)”含義，整體推進(jìn)用字母表示一步運(yùn)算和兩級(jí)運(yùn)算的數(shù)量關(guān)系。第三，每個(gè)練習(xí)題設(shè)計(jì)中重視未知數(shù)設(shè)定與代入、字母參與運(yùn)算和代入求值等相關(guān)練習(xí)，開展相關(guān)訓(xùn)練。

2.“方程的意義”板塊

將等量關(guān)系的理解與刻畫作為“方程的意義”教學(xué)硬核。第一，在“方程的意義”教學(xué)中補(bǔ)充教學(xué)“等量”概念，利用含有“單價(jià)、路程、工作總量”（一定）的數(shù)量關(guān)系題組，引導(dǎo)學(xué)生理解在含有兩個(gè)主角的情境中存在等量關(guān)系。第二，淡化形式化的方程定義，重視等量題組情境變式，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立等式關(guān)系，以等量關(guān)系作為建立方程概念的主要線索。

3.“解方程”板塊

依據(jù)等式性質(zhì)擴(kuò)展“兩邊含有未知數(shù)”的解方程技能。在教材解方程各種類型基礎(chǔ)上，增加類似“10+3x=8x”“6x-36=2x”的方程拓展練習(xí)，抓住抵消與平衡的思想方法，逐步建立程序思維，基本學(xué)會(huì)解“兩邊含有未知數(shù)”稍復(fù)雜方程，為列方程解決問題掃清障礙。

二、研究基本思路說明

1.新序列實(shí)踐研究說明

在區(qū)域內(nèi)選取5所學(xué)校（城區(qū)3所、鄉(xiāng)鎮(zhèn)2所）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比研究，每所學(xué)校中選取水平相當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)五年級(jí)平行班，分為對(duì)照班、實(shí)驗(yàn)班，樣本學(xué)生共計(jì)385名。以整個(gè)單元為研究周期，對(duì)照班采用原序列、實(shí)驗(yàn)班采用新序列進(jìn)行教學(xué)。整個(gè)單元教學(xué)結(jié)束后，對(duì)照班和實(shí)驗(yàn)班統(tǒng)一進(jìn)行后測(cè)分析。針對(duì)不同學(xué)業(yè)水平等級(jí)的學(xué)生，把對(duì)照班、實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生劃分為待合格、合格、良好、優(yōu)秀四個(gè)等級(jí)，人數(shù)占比分別約為10%、20%、25%、45%。

2.測(cè)查內(nèi)容說明

學(xué)習(xí)水平測(cè)查分為用字母表示數(shù)、等式性質(zhì)及解方程和用方程解決實(shí)際問題三個(gè)維度。用字母表示數(shù)側(cè)重考查學(xué)生用未知數(shù)設(shè)定與代入、字母參與運(yùn)算和代入求值的能力水平。解方程側(cè)重考查學(xué)生運(yùn)用等式性質(zhì)靈活求解方程的能力。用方程解決實(shí)際問題側(cè)重考查學(xué)生靈活運(yùn)用方程解決問題的意識(shí)，以及綜合運(yùn)用未知數(shù)設(shè)定、用方程解決實(shí)際問題的能力。

三、后測(cè)數(shù)據(jù)分析

測(cè)查數(shù)據(jù)顯示，“用字母表示數(shù)”“等式性質(zhì)及解方程”“用方程解決實(shí)際問題”三個(gè)維度，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的正確率均高于對(duì)照班學(xué)生。具體表現(xiàn)在三個(gè)維度、六大優(yōu)勢(shì)：

1.在用字母表示數(shù)維度，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生在用字母表示數(shù)維度具有更強(qiáng)的進(jìn)行字母參與運(yùn)算的能力。

看圖填空題，針對(duì)學(xué)生的答題情況，分別從能正確用含有字母的代數(shù)式表征數(shù)量關(guān)系、能用最簡(jiǎn)形式表示兩個(gè)層面進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中“數(shù)量關(guān)系正確”這一層面實(shí)驗(yàn)班相比對(duì)照班并無明顯優(yōu)勢(shì)，但“能用最簡(jiǎn)形式表示”這組數(shù)據(jù)，可以看到實(shí)驗(yàn)班明顯高于對(duì)照班，具體如表1。

尤其是第3、4（2）、5、6這4道小題，實(shí)驗(yàn)班能夠用最簡(jiǎn)形式表示結(jié)果的百分比明顯高于對(duì)照班。學(xué)生錯(cuò)誤的情況主要如表2。

以上4題需要學(xué)生具有較強(qiáng)的字母式運(yùn)算的能力，如做習(xí)題3、6時(shí)，學(xué)生無法將數(shù)字與含有數(shù)字的代數(shù)式進(jìn)行乘、除法運(yùn)算的合并;做習(xí)題4（2）時(shí)，學(xué)生無法進(jìn)行除法式的平方表征;做習(xí)題5時(shí)，學(xué)生無法將兩個(gè)代數(shù)式進(jìn)行乘法或減法運(yùn)算合并。未化簡(jiǎn)的占比，對(duì)照班明顯高于實(shí)驗(yàn)班，說明新序列的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了學(xué)生進(jìn)行字母參與運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展。

2.在用字母表示數(shù)維度，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生具有更強(qiáng)的借助字母探索、表征規(guī)律的能力。

教師出示圖1問題，將學(xué)生回答情況劃分成四個(gè)水平層次，具體占比如表3。

從上表可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生達(dá)到水平3的占了40.77%，而對(duì)照班學(xué)生僅5.26%，說明實(shí)驗(yàn)班學(xué)生借助未知數(shù)進(jìn)行規(guī)律探索的能力大大高于對(duì)照班學(xué)生，新序列對(duì)幫助學(xué)生提高運(yùn)用字母發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索規(guī)律的能力具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

3.在等式性質(zhì)及解方程維度，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生具有更強(qiáng)的應(yīng)用等式性質(zhì)的能力，說明新序列對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用等式性質(zhì)的能力具有優(yōu)勢(shì)。

解方程維度測(cè)查題包括“根據(jù)等式性質(zhì)填空”和“解方程”兩大題，根據(jù)等式性質(zhì)填空測(cè)查數(shù)據(jù)如表4。

從表4可以看出，3道習(xí)題實(shí)驗(yàn)班的正確率均高于對(duì)照班，尤其是第2題，在難度加大、正確率偏低的情況下，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生顯示出了明顯的優(yōu)勢(shì)。學(xué)生的主要錯(cuò)誤如表5。對(duì)于關(guān)系較為復(fù)雜、需要多次運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的題目，學(xué)生有一定的困難，而實(shí)驗(yàn)班學(xué)生在轉(zhuǎn)化關(guān)系復(fù)雜、含有多個(gè)字母的等式時(shí)更加具有優(yōu)勢(shì)。

4.在等式性質(zhì)及解方程維度，實(shí)驗(yàn)班起點(diǎn)較低的學(xué)生正確率明顯高于對(duì)照班，顯示了新序列在低起點(diǎn)學(xué)生掌握解方程技能上發(fā)揮了顯著優(yōu)勢(shì)。

解方程共8道習(xí)題，包含了本單元中涉及的各種類型，按學(xué)生的學(xué)業(yè)水平層次，分待合格、合格、良好、優(yōu)秀四個(gè)層次對(duì)答題情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體如表6。

從表6可以看出，在解方程能力上實(shí)驗(yàn)班良好和優(yōu)秀水平層次的學(xué)生并未顯示出明顯優(yōu)勢(shì)，但是待合格、合格水平層次的學(xué)生，正確率明顯高于對(duì)照班學(xué)生，其中（4）8x÷0.6=2.4、（5）6x+1.2×4=9.6、（7）1.2x+0.6x=36這三道題，實(shí)驗(yàn)班這兩個(gè)水平層次的學(xué)生均高出對(duì)照班10個(gè)百分點(diǎn)以上，說明新序列更加符合學(xué)生學(xué)習(xí)解方程技能的序列，對(duì)低起點(diǎn)學(xué)生掌握解方程技能具有優(yōu)勢(shì)。

5.在用方程解決實(shí)際問題維度，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生使用方程來解決實(shí)際問題的意識(shí)更強(qiáng)，更加主動(dòng)地選擇方程來解決實(shí)際問題。具體數(shù)據(jù)如圖2。

從圖2可以看出，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生主動(dòng)使用方程解決問題的意識(shí)明顯高于對(duì)照班學(xué)生，3題占比相差均在15%左右，其中第3題相差最多，實(shí)驗(yàn)班比對(duì)照班高了近20%。

6.在用方程解決實(shí)際問題維度，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生能更加靈活地根據(jù)信息設(shè)定未知數(shù)，方法更加多元，說明新序列對(duì)培養(yǎng)學(xué)生合理設(shè)定未知數(shù)的能力上具有優(yōu)勢(shì)。

測(cè)查題中提供了如下習(xí)題：王老師從家騎車去學(xué)校上班，如果每分鐘行150米，就要遲到6分鐘;如果每分鐘行200米，就比上班時(shí)間早1分鐘到達(dá)。王老師家與學(xué)校相距多少米？

用方程解答此題時(shí)，對(duì)照班有95.34%的學(xué)生都是將“王老師家與學(xué)校的距離”設(shè)為未知數(shù)x，而實(shí)驗(yàn)班學(xué)生有75.26%的學(xué)生將“王老師所需時(shí)間”設(shè)為未知數(shù)x，另有24.74%的學(xué)生將“王老師家與學(xué)校的距離”設(shè)為未知數(shù)x。說明實(shí)驗(yàn)班學(xué)生能更加靈活地根據(jù)信息選擇合適的量作為未知數(shù)，方法更加多元，能更好地建立等量關(guān)系，進(jìn)而解決問題。

基于以上數(shù)據(jù)，可以看到新序列的學(xué)習(xí)路徑在“用字母表示數(shù)”“等式性質(zhì)及解方程”“用方程解決實(shí)際問題”三個(gè)維度都較大程度地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力水平，針對(duì)起點(diǎn)較低的學(xué)生，新序列能夠幫助學(xué)生更好地掌握解方程技能。但是在數(shù)據(jù)中我們也發(fā)現(xiàn)，雖然實(shí)驗(yàn)班學(xué)生正確率占比高于對(duì)照班，可整體正確率還是偏低，如用字母表示數(shù)維度中，學(xué)生正確化簡(jiǎn)的占比較小，說明同時(shí)包含數(shù)字及字母的合并運(yùn)算可以進(jìn)一步強(qiáng)化;又如，學(xué)生在信息量復(fù)雜的實(shí)際問題中找到等量關(guān)系列出方程的能力，也有待進(jìn)一步提高，這也是后續(xù)優(yōu)化本單元學(xué)習(xí)路徑可以努力的方向。

（作者單位：浙江省寧波市奉化龍津?qū)嶒?yàn)學(xué)校 浙江省寧波市奉化區(qū)爾儀小學(xué)）